الهلال (الهندسة)

في الهندسة المستوية ، الهلال ( من الكلمة اللاتينية luna التي تعني " القمر " ) هو منطقة مقعرة محدبة محصورة بين قوسين دائريين . ^{[ 1 ]} يحتوي الهلال على جزء حدودي يتحرك فيه الجزء الواصل بين أي نقطتين متجاورتين خارج المنطقة، وجزء حدودي آخر يقع فيه هذا الجزء الواصل داخل المنطقة بالكامل. تُسمى المنطقة المحدبة المحدبة بالعدسة . ^{[ 2 ]} 

بصورة رسمية، الهلال هو المكمل النسبي لقرص في قرص آخر (حيث يتقاطعان ولكن لا يُعد أي منهما مجموعة جزئية من الآخر). أو بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت أقراصًا،${\displaystyle A\smallsetminus A\cap B}$هو قمر.

في القرن الخامس قبل الميلاد، أثبت أبقراط الخيوسي أن هلال أبقراط وهلالين آخرين يمكن تربيعهما تمامًا (تحويلهما إلى مربع له نفس المساحة) باستخدام المسطرة والفرجار . حوالي عام 1000، حاول ابن الهيثم تربيع دائرة باستخدام هلالين يحملان اسمه. في عام 1766، قام عالم الرياضيات الفنلندي دانيال وينكويست، نقلاً عن دانيال برنولي ، بسرد جميع الأهلة الخمسة القابلة للتربيع هندسيًا، مضيفًا إياها إلى تلك التي عرفها أبقراط. في عام 1771، قدم ليونارد أويلر منهجًا عامًا وحصل على معادلة معينة للمسألة. في عامي 1933 و1947، أثبت نيكولاي تشيبوتاريوف وطالبه أناتولي دورودنوف أن هذه الأهلة الخمسة هي الوحيدة القابلة للتربيع. ^{[ 3 ] [ 1 ]}

مساحة الهلال المتكون من دوائر نصف قطرها a و b ( b>a ) والمسافة c بين مركزيها هي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A=2\Delta +a^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2ac}}\right)-b^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right),}$

أين${\displaystyle {\text{cos}}^{-1}}$هو معكوس جيب التمام أو معكوس جيب التمام، وحيث

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}$

هي مساحة المثلث الذي أضلاعه a و b و c .

• أربيلوس
• هلال
• نظرية غاوس-بونيه
• عدسة

• الأهلة الخمسة القابلة للتربيع في موقع MathPages