هلال أبقراط

في الهندسة ، يُعرف هلال أبقراط ، نسبةً إلى أبقراط الخيوسي ، بأنه هلال محصور بين قوسين من دائرتين ، قطر أصغرهما وتر يشكل زاوية قائمة على الدائرة الأكبر. وبصورة مكافئة، هو منطقة مستوية غير محدبة محصورة بين قوس دائري قياسه 180 درجة وقوس دائري قياسه 90 درجة. وهو أول شكل منحني تم تربيعه، أي تم إنشاء مربع له بنفس المساحة باستخدام المسطرة والفرجار فقط. ^{[ 1 ]}

أراد أبقراط حلّ المسألة الكلاسيكية المتمثلة في تربيع الدائرة ، أي إنشاء مربع باستخدام المسطرة والفرجار ، بحيث تكون مساحته مساوية لمساحة دائرة معينة . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد أثبت أن الهلال المحصور بين القوسين E و F في الشكل له نفس مساحة المثلث ABO . كما قام بتربيع تركيب من هلال (أو هلالات) ودائرة (أو نصف دائرة). 

أتاح هذا بعض الأمل في حل مشكلة تربيع الدائرة: فإذا رُبِّعَ شكلٌ مُركَّبٌ من دائرةٍ وهلال، فإن تربيع الهلال يستلزم تربيع الدائرة. (ملاحظة: لم يُقَرِّب أبقراط الهلال الذي يُمكن تربيعه مع الدائرة). كما أن إمكانية تربيع شكلٍ منحنيٍّ بحد ذاتها تُعدّ مثالًا مُضادًّا للادعاء باستحالة هذا التربيع، استنادًا إلى اختلاف الأشكال الخطية والمنحنية في طبيعتها.

تتمثل الملاحظة الأساسية في هذا البرهان في أن مساحات الدوائر والقطاعات الدائرية تتناسب طرديًا مع مربعات أقطارها. ويخلص هيث إلى أن أبقراط أثبت ذلك ^{[ 2 ]} ، بينما يدعي مولر أن أبقراط ربما افترض ذلك دون برهان ^{[ 4 ]} .

فُقد كتاب أبقراط، الذي احتوى على هذه النتيجة بالإضافة إلى تربيع هلالين آخرين ودائرة مُدمجة مع هلال. ^{[ 3 ]} لكن محتوى الكتاب حُفظ من خلال كتاب "تاريخ الهندسة" الذي جمعه أوديموس الرودسي ، والذي لم ينجُ بدوره، ولكنه معروف من خلال المقتطفات التي حفظها سيمبليكيوس الكيليكي في تعليقه على كتاب " الطبيعة" لأرسطو . ^{[ 2 ] [ 5 ]} كما أورد ألكسندر الأفروديسي برهانًا آخر على تربيع هلال أبقراط، بالإضافة إلى تركيب نصف دائرة مع ثلاثة أهلة، وهذا أيضًا محفوظ في نص سيمبليكيوس. في هذه المقالة، نتبع بشكل أساسي رواية ألكسندر المختصرة، على الرغم من أن نسخة أوديموس، التي تتبنى خطًا مختلفًا نوعًا ما في الحجة، تُعتبر غالبًا أنها تحتفظ بشكل أكثر أصالة.

لم يثبت استحالة تربيع الدائرة إلا في عام 1882، مع برهان فرديناند فون ليندمان على تجاوز π . ^{[ 6 ]}

يمكن إثبات نتيجة أبقراط على النحو التالي (يستند البرهان التالي إلى نسخة ألكسندر )  : مركز الدائرة التي يقع عليها القوس AEB هو النقطة D ، وهي منتصف وتر المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين ABO . لذلك ، فإن قطر الدائرة الأكبر ABC هو${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يساوي قطر الدائرة الأصغر التي يقع عليها القوس AEB ضعف قطر الدائرة الأصغر. بالتالي، فإن مساحة الدائرة الأصغر تساوي نصف مساحة الدائرة الأكبر، ومن ثم فإن مساحة ربع الدائرة AFBOA تساوي مساحة نصف الدائرة AEBDA . بطرح مساحة الهلال AFBDA من ربع الدائرة نحصل على المثلث ABO ، وبطرح مساحة الهلال نفسه من نصف الدائرة نحصل على الهلال. ولأن المثلث والهلال كلاهما يتكون من طرح مساحتين متساويتين من مساحتين متساويتين، فإنهما متساويان في المساحة. ^{[ 2 ] [ 7 ]}

باستخدام برهان مشابه لما سبق، بيّن عالم الرياضيات العربي الحسن بن الهيثم (الاسم اللاتيني : ابن الهيثم ، حوالي 965 - حوالي 1040) أنه عند تشكّل هلالين على ضلعين من مثلث قائم الزاوية ، حدوده الخارجية نصفا دائرة وحدوده الداخلية دائرة محيطة بالمثلث، فإن مجموع مساحتي هذين الهلالين يساوي مساحة المثلث. ^{[ 8 ] [ 9 ]} يُعرف الهلالان المتشكّلان بهذه الطريقة من مثلث قائم الزاوية بهلالي ابن الهيثم . ^{[ 10 ] [ 11 ]} لم يقتصر استخدام ابن الهيثم لهذه النظرية على برهانه على تربيع هلال أبقراط، بل استخدمها أيضًا لإثبات نظريات مختلفة تتعلق بمساحات الأهلة. ^{[ 12 ] [ 13 ]} وقد ألّف ثلاث رسائل في الأهلة، استوحى أول اثنتين منها من مسألة تربيع الدائرة. أما الأخيرة، التي تم تأليفها في وقت لاحق إلى حد ما، فتتخلى عن هذا المنظور وتسعى بدلاً من ذلك إلى اتباع نظرية تربيع الأهلة في حد ذاتها.

يمكن تحديد جميع الأهلة القابلة للتربيع والتي يمكن إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة من خلال الزاويتين المتكونتين من القوسين الداخلي والخارجي على دائرتيهما؛ في هذه الصيغة، على سبيل المثال، سيكون للهلال الذي وضعه أبقراط الزاويتان الداخليتان والخارجيتان (90°، 180°) بنسبة 1:2. وقد وجد أبقراط هلالين مقعرين آخرين قابلين للتربيع، بزوايا تقريبية (107.2°، 160.9°) بنسبة 2:3 و(68.5°، 205.6°) بنسبة 1:3. تم اكتشاف هلالين مقعرين آخرين قابلين للتربيع، بزوايا تقريبية (46.9°، 234.4°) بنسبة 1:5 و(100.8°، 168.0°) بنسبة 3:5، في عام 1766 على يد مارتن يوهان فالينيوس ، ثم مرة أخرى في عام 1771 على يد أويلر ^{[ 14 ]} ، وفي عام 1840 على يد توماس كلاوسن . في منتصف القرن العشرين، قام عالما الرياضيات الروسيان، نيكولاي تشيبوتاريوف وطالبه أناتولي دورودنوف، بتصنيف الأهلّة القابلة للإنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة، والتي تساوي مساحتها مساحة مربع معين. وكما بيّن تشيبوتاريوف ودورودنوف، فإن هذه الأزواج الخمسة من الزوايا تُعطي الأهلّة الوحيدة القابلة للتربيع والإنشاء؛ وبالتحديد، لا توجد أهلّة أخرى قابلة للتربيع والإنشاء. ^{[ 1 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 11 ]}

• مقتطفات من الرياضيات القديمة بقلم هنري مندل، جامعة ولاية كاليفورنيا، لوس أنجلوس (رابط)