نظرية غاوس-بونيه

في الهندسة التفاضلية ، تعتبر نظرية جاوس - بونيه (أو صيغة جاوس-بونيه ) صيغة أساسية تربط انحناء السطح بطوبولوجيا الأساس الخاص به .

في أبسط تطبيق، وهو حالة المثلث على مستوى ، يكون مجموع زواياه 180 درجة. ^{[ 1 ]} وتوسع نظرية جاوس-بونيه هذا ليشمل الأشكال الأكثر تعقيدًا والأسطح المنحنية، رابطةً بين الهندسة المحلية والعالمية.

سميت النظرية على اسم كارل فريدريش جاوس ، الذي طور نسخة منها لكنه لم ينشرها قط، وبيير أوسيان بونيه ، الذي نشر حالة خاصة في عام 1848.

لنفترض أن M عبارة عن مشعب ريماني ثنائي الأبعاد مضغوط ذو حدود ∂M . ولتكن K هي الانحناء الغاوسي لـ M ، ولتكن kg _هي الانحناء الجيوديسي لـ ∂M . عندئذٍ ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

حيث dA هو عنصر مساحة السطح، و ds هو عنصر الخط على طول حدود M. هنا، χ ( M ) هي خاصية أويلر لـ M.

إذا كان الحد ∂ M سلسًا بشكل جزئي ، فإننا نفسر التكامل ∫ _{∂ M} k _g ds على أنه مجموع التكاملات المقابلة على طول الأجزاء السلسة من الحد ، بالإضافة إلى مجموع الزوايا التي تدور بها الأجزاء السلسة عند زوايا الحد.

تستخدم العديد من البراهين القياسية نظرية المماسات المتحولة، والتي تنص تقريبًا على أن عدد لفات منحنى جوردان هو ±1 بالضبط. ^{[ 2 ]}

لنفترض أن M هي نصف الكرة الشمالي المقطوع من كرة نصف قطرها R. خاصية أويلر لها تساوي 1. في الطرف الأيسر من النظرية، لدينا${\displaystyle K=1/R^{2}}$و${\displaystyle k_{g}=0}$لأن الحدود هي خط الاستواء، وخط الاستواء هو خط جيوديسي على سطح الكرة. إذن، بما أن M لها مساحة${\displaystyle {\frac {4\pi R^{2}}{2}}}$، نستنتج أن${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi }$.

من جهة أخرى، لنفترض أننا قمنا بتسطيح نصف الكرة الأرضية ليصبح قرصًا. هذا التحويل هو تماثل شكلي ، لذا فإن خاصية أويلر لا تزال تساوي 1. ومع ذلك، في الجانب الأيسر من النظرية لدينا الآن${\displaystyle K=0}$و${\displaystyle k_{g}=1/R}$لأن المحيط ليس خطًا جيوديسيًا في المستوى. وبناءً على ذلك، وباستخدام النظرية، يمكننا أن نستنتج أن${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi }$.

وأخيرًا، خذ ثُمن كرة، متماثلة أيضًا مع الحالات السابقة. ثم${\displaystyle \int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}}$. الآن${\displaystyle k_{g}=0}$في كل مكان تقريبًا على طول الحدود، وهو مثلث جيوديسي. لكن لدينا ثلاث زوايا قائمة، لذا${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}}$لذلك، ما زلنا نمتلك ذلك${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi }$كما هو متوقع، لأن الجزء الثماني من الكرة متماثل الشكل مع الحالات السابقة.

تنطبق النظرية بشكل خاص على الأسطح المدمجة بدون حدود، وفي هذه الحالة يكون التكامل

${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\,ds}$

يمكن حذف هذا الجزء. ينص على أن الانحناء الغاوسي الكلي لسطح مغلق كهذا يساوي 2π مضروبًا في خاصية أويلر للسطح. لاحظ أنه بالنسبة للأسطح المدمجة القابلة للتوجيه بدون حدود، فإن خاصية أويلر تساوي 2 - 2g ، حيث g هو جنس السطح: أي سطح مدمج قابل للتوجيه بدون حدود مكافئ طوبولوجيًا لكرة مزودة ببعض المقابض، و g يمثل عدد المقابض.

إذا تم ثني السطح M وتشويهه ، فإن خاصية أويلر الخاصة به، كونها ثابتة طوبولوجية، لن تتغير، بينما ستتغير الانحناءات عند بعض النقاط. تنص النظرية، بشكلٍ مفاجئ نوعًا ما، على أن التكامل الكلي لجميع الانحناءات سيبقى كما هو، بغض النظر عن كيفية إجراء التشوه. فعلى سبيل المثال، إذا كان لديك كرة بها "انخفاض"، فإن انحنائها الكلي هو 4π ( خاصية أويلر للكرة تساوي 2)، بغض النظر عن حجم أو عمق الانخفاض.

إذا كان للسطح المضغوط حدود، فإن النظرية تنص، بشكل مفاجئ إلى حد ما، على أنه يمكن حساب الانحناء الكلي للسطح من انحناء الحدود فقط بالإضافة إلى خاصية أويلر للسطح.

تُعدّ خاصية التراص للسطح ذات أهمية بالغة. لنأخذ على سبيل المثال القرص المفتوح ذي الوحدة ، وهو سطح ريمان غير متراص بدون حدود، ذو انحناء صفري وخاصية أويلر تساوي 1: لا تنطبق عليه صيغة غاوس-بونيه. لكنها تنطبق على القرص المغلق المتراص ذي الوحدة، والذي يتمتع أيضًا بخاصية أويلر تساوي 1، وذلك بسبب التكامل الحدودي المضاف بقيمة 2π .

كتطبيق عملي، يمتلك السطح الحلقي خاصية أويلر تساوي صفرًا، لذا يجب أن يكون انحناؤه الكلي صفرًا أيضًا. إذا كان السطح الحلقي يحمل المقياس الريماني العادي من تضمينه في الفضاء ثلاثي الأبعاد ^R³ ، فإن باطنه يمتلك انحناءً غاوسيًا سالبًا، وظاهره يمتلك انحناءً غاوسيًا موجبًا، وبالتالي يكون انحناؤه الكلي صفرًا. من الممكن أيضًا إنشاء سطح حلقي بتحديد الأضلاع المتقابلة لمربع، وفي هذه الحالة يكون المقياس الريماني على السطح الحلقي مسطحًا وله انحناء ثابت يساوي صفرًا، مما ينتج عنه أيضًا انحناء كلي يساوي صفرًا. لا يمكن تحديد مقياس ريماني على السطح الحلقي بانحناء غاوسي موجب أو سالب في كل مكان.

أحيانًا تُصاغ صيغة جاوس-بونيه على النحو التالي

${\displaystyle \int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g},}$

حيث T مثلث جيوديسي . هنا، نُعرّف "المثلث" على M بأنه منطقة بسيطة الاتصال تتكون حدودها من ثلاثة خطوط جيوديسية . يمكننا بعد ذلك تطبيق GB على السطح T المُشكّل من داخل هذا المثلث وحدوده المُجزأة.

انحناء الجيوديسية للجيوديسيات الحدودية يساوي صفرًا، وخاصية أويلر لـ T تساوي 1.

وبالتالي، فإن مجموع زوايا دوران المثلث الجيوديسي يساوي 2π ناقص الانحناء الكلي داخل المثلث. وبما أن زاوية الدوران عند أي ركن تساوي π ناقص الزاوية الداخلية، فيمكننا إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث الجيوديسي يساوي π زائد الانحناء الكلي المحصور داخل المثلث:${\displaystyle \sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.}$

في حالة المستوى (حيث يكون انحناء غاوس صفرًا والخطوط الجيوديسية خطوطًا مستقيمة)، نستعيد الصيغة المألوفة لمجموع زوايا المثلث العادي. أما على الكرة القياسية، حيث يكون الانحناء 1 في كل مكان، فنلاحظ أن مجموع زوايا المثلثات الجيوديسية يكون دائمًا أكبر من π .

تم دمج عدد من النتائج السابقة في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية، التي تم اكتشافها على مدى القرون السابقة، كحالات خاصة من جاوس-بونيه.

توجد عدة نظائر توافقية لنظرية غاوس-بونيه. نذكر النظير التالي: ليكن M فضاءً شبه مشعب ثنائي الأبعاد محدودًا . ولتكن χ ( v ) عدد المثلثات التي تحتوي على الرأس v . عندئذٍ

${\displaystyle \sum _{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl (}6-\chi (v){\bigr )}+\sum _{v\,\in \,\partial M}{\bigl (}3-\chi (v){\bigr )}=6\chi (M),\ }$

حيث يمتد المجموع الأول على الرؤوس في داخل M ، والمجموع الثاني على رؤوس الحدود، و χ ( M ) هي خاصية أويلر لـ M.

يمكن الحصول على صيغ مماثلة للمتشعبات الزائفة ثنائية الأبعاد عند استبدال المثلثات بمضلعات ذات أبعاد أعلى. بالنسبة للمضلعات ذات n رأسًا، يجب استبدال 3 و6 في الصيغة أعلاه بـ n / ( n -2 ) و 2 n /( n -2 ) على التوالي. على سبيل المثال، بالنسبة للمضلعات الرباعية، يجب استبدال 3 و6 في الصيغة أعلاه بـ 2 و4 على التوالي. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كان M متشعبًا رقميًا مغلقًا ثنائي الأبعاد ، فإن الجنس يصبح ^{[ 5 ].}

${\displaystyle g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},}$

حيث يشير M _i إلى عدد نقاط السطح التي لكل منها i نقطة مجاورة على السطح. هذه هي أبسط صيغة لنظرية غاوس-بونيه في الفضاء الرقمي ثلاثي الأبعاد.

نظرية تشيرن (بعد شيينغ-شين تشيرن 1945) هي تعميم 2 n- الأبعاد لـ GB (انظر أيضًا تماثل تشيرن-ويل ).

يمكن أيضًا اعتبار نظرية ريمان -روخ بمثابة تعميم لنظرية GB على المشعبات المعقدة .

إن تعميمًا واسع النطاق يشمل جميع النظريات المذكورة أعلاه هو نظرية مؤشر أتياس-سينجر .

إن تعميم متباينة كوهن-فوسن على المشعبات الثنائية التي لا يشترط أن تكون مضغوطة .

في رواية جريج إيجان " الشتات" ، يناقش شخصيتان اشتقاق هذه النظرية.

يمكن استخدام النظرية مباشرة كنظام للتحكم في النحت - على سبيل المثال، في أعمال إدموند هاريس الموجودة في مجموعة كلية الشرف بجامعة أركنساس . ^{[ 6 ]}

• نظرية تشيرن-غاوس-بونيه
• نظرية مؤشر أتياس-سينجر

• نظرية غاوس-بونيه في عالم وولفرام الرياضي