تربيع الدائرة

تربيع الدائرة مسألة هندسية طُرحت لأول مرة في الرياضيات اليونانية . وهي تتمثل في تحدي إنشاء مربع بمساحة دائرة معينة باستخدام عدد محدود من الخطوات فقط بالفرجار والمسطرة . وقد أثارت صعوبة هذه المسألة تساؤلاً حول ما إذا كانت بديهيات محددة في الهندسة الإقليدية، تتعلق بوجود الخطوط والدوائر ، تستلزم وجود مثل هذا المربع.

في عام 1882، ثبت استحالة المهمة، كنتيجة لنظرية ليندمان-فايرشتراس ، التي تثبت أن باي (${\displaystyle \pi }$) هو عدد متسامٍ . أي،${\displaystyle \pi }$ليس جذرًا لأي متعددة حدود ذات معاملات نسبية . كان معروفًا منذ عقود أن هذا البناء سيكون مستحيلاً إذا${\displaystyle \pi }$كانت متعالية، لكن هذه الحقيقة لم تثبت حتى عام 1882. توجد تركيبات تقريبية بدقة غير كاملة معينة، وقد تم العثور على العديد من هذه التركيبات.

على الرغم من ثبوت استحالة ذلك، فقد شاعت محاولات تربيع الدائرة في بعض الممارسات الرياضية الغريبة . ويُستخدم مصطلح "تربيع الدائرة" أحيانًا كاستعارة لمحاولة فعل المستحيل. ^{[ 1 ]} ويُستخدم مصطلح " تربيع الدائرة " أحيانًا كمرادف لتربيع الدائرة. وقد يُشير أيضًا إلى الطرق التقريبية أو العددية لإيجاد مساحة الدائرة . وبشكل عام، يُمكن تطبيق التربيع على الأشكال المستوية الأخرى .

كانت طرق حساب المساحة التقريبية لدائرة معينة، والتي يمكن اعتبارها مسألة تمهيدية لتربيع الدائرة، معروفةً بالفعل في العديد من الحضارات القديمة. ويمكن تلخيص هذه الطرق بذكر القيمة التقريبية لـ π التي تنتجها. في حوالي عام 2000 قبل الميلاد، استخدم علماء الرياضيات البابليون هذا التقريب.${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$وفي نفس الوقت تقريبًا استخدم علماء الرياضيات المصريون القدماء${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$بعد مرور أكثر من ألف عام، استخدمت أسفار الملوك في العهد القديم التقريب الأبسط.${\displaystyle \pi \approx 3}$[ ^{2 ]} استخدمت الرياضيات الهندية القديمة ، كما ورد في شاتاباثا براهمانا وشولبا سوتراس ، العديد ^من التقريبات المختلفة لـ${\displaystyle \pi }$[ ^{3 ]} أثبت أرخميدس صيغة ^لحساب مساحة الدائرة، والتي بموجبها${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$[ ^{2 ]} في الرياضيات الصينية ، في القرن الثالث الميلادي، وجد ليو هوي تقريبات أكثر دقة باستخدام طريقة مشابهة لطريقة أرخميدس، وفي القرن الخامس الميلادي ^وجد زو تشونغ تشي${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$، وهو تقريب يُعرف باسم ميلو . ^{[ 4 ]}

إن مشكلة إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة الدائرة تمامًا، لا تقاربها، تعود إلى الرياضيات اليونانية . فقد اكتشف علماء الرياضيات اليونانيون طرقًا باستخدام الفرجار والمسطرة لتحويل أي مضلع إلى مربع ذي مساحة مكافئة. ^{[ 5 ]} واستخدموا هذه الطريقة لمقارنة مساحات المضلعات هندسيًا، بدلًا من الحساب العددي للمساحة الذي يُعدّ أكثر شيوعًا في الرياضيات الحديثة. وكما كتب بروكلس بعد قرون عديدة، فقد حفّز هذا البحث عن طرق تسمح بإجراء مقارنات مع الأشكال غير المضلعة.

كان أناكسغوراس أول يوناني معروف درس هذه المسألة ، وقد عمل عليها أثناء وجوده في السجن. عالج أبقراط الخيوسي المسألة بإيجاد شكل محاط بأقواس دائرية، وهو هلال أبقراط ، يمكن تربيعه. اعتقد أنطيفون السفسطائي أن رسم مضلعات منتظمة داخل دائرة ومضاعفة عدد أضلاعها سيؤدي في النهاية إلى ملء مساحة الدائرة (وهذه هي طريقة الاستنفاد ). وبما أن أي مضلع يمكن تربيعه، ^{[ 5 ]} فقد جادل بأنه يمكن تربيع الدائرة. في المقابل، جادل أوديموس بأن المقادير يمكن تقسيمها بلا حدود، وبالتالي لن تُستنفد مساحة الدائرة أبدًا. ^{[ 7 ]} في نفس فترة أنطيفون، جادل برايسون الهيراكلي بأنه بما أن الدوائر الكبيرة والصغيرة موجودة، فلا بد من وجود دائرة مساوية لها في المساحة؛ ويمكن اعتبار هذا المبدأ شكلاً من أشكال نظرية القيمة المتوسطة الحديثة . ^{[ 8 ]} غالبًا ما يُنسب الهدف الأكثر عمومية المتمثل في تنفيذ جميع الإنشاءات الهندسية باستخدام الفرجار والمسطرة فقط إلى أوينوبيدس ، لكن الأدلة على ذلك ظرفية. ^{[ 9 ]}

كانت مسألة إيجاد المساحة تحت منحنى عشوائي، والمعروفة الآن بالتكامل في حساب التفاضل والتكامل ، أو التربيع في التحليل العددي ، تُعرف بالتربيع قبل اختراع حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 10 ]} ولأن تقنيات حساب التفاضل والتكامل كانت غير معروفة آنذاك، فقد كان يُفترض عمومًا أن التربيع يجب أن يتم عبر الإنشاءات الهندسية، أي باستخدام الفرجار والمسطرة. على سبيل المثال، كتب نيوتن إلى أولدنبورغ عام 1676: "أعتقد أن السيد لايبنتز لن يمانع النظرية الواردة في بداية رسالتي، الصفحة 4، بشأن تربيع الخطوط المنحنية هندسيًا". ^{[ 11 ]} في الرياضيات الحديثة، تباينت معاني المصطلحات، حيث يُستخدم مصطلح التربيع عمومًا عندما تكون طرق حساب التفاضل والتكامل مسموحة، بينما يحتفظ مصطلح تربيع المنحنى بفكرة استخدام الطرق الهندسية المحدودة فقط.

في عام 1647، تعرّضت محاولة غريغوار دي سان فنسان لتربيع الدائرة، والتي عُرفت باسم Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum ، لانتقادات شديدة من فنسنت لوتو . ^{[ 12 ]} ومع ذلك، نجح دي سان فنسان في تربيع القطع الزائد ، وبذلك كان من أوائل من طوروا اللوغاريتم الطبيعي . ^{[ 13 ]} وعلى خطى دي سان فنسان، حاول جيمس غريغوري تقديم برهان آخر على استحالة تربيع الدائرة في كتابه Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (التربيع الحقيقي للدائرة والقطع الزائد) عام 1667. ورغم أن برهانه كان معيبًا، إلا أنه كان أول بحث يحاول حل المشكلة باستخدام الخصائص الجبرية لـ${\displaystyle \pi }$[ ^{14 ] [ 15 ] أثبت يوهان} هاينريش لامبرت في عام 1761 أن${\displaystyle \pi }$هو عدد غير نسبي . ^{[ 16 ] [ 17 ]} لم ينجح فرديناند فون ليندمان في إثبات أن π عدد متسامٍ بشكل قاطع إلا في عام 1882 ، وبذلك أثبت أيضًا استحالة تربيع الدائرة باستخدام الفرجار والمسطرة. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

بعد برهان ليندمان على استحالة حل المسألة، اعتبرها علماء الرياضيات المحترفون محسومة، وسيطر على تاريخها الرياضي اللاحق محاولاتٌ شبه رياضية لإنشاء طرق تربيع الدائرة، قام بها في الغالب هواة، بالإضافة إلى دحض هذه المحاولات. ^{[ 20 ]} كما طوّر العديد من علماء الرياضيات اللاحقين، بمن فيهم سرينيفاسا رامانوجان، طرقًا باستخدام الفرجار والمسطرة تُقارب المسألة بدقة في خطوات قليلة. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

من المسائل الكلاسيكية الأخرى في العصور القديمة، والتي اشتهرت باستحالة حلها، مضاعفة المكعب وتثليث الزاوية . ومثل تربيع الدائرة، لا يمكن حل هاتين المسألتين باستخدام الفرجار والمسطرة. إلا أنهما تختلفان عن تربيع الدائرة في أن حلهما يتضمن جذر معادلة تكعيبية ، بدلاً من كونه مشتقًا. لذلك، يمكن استخدام طرق أكثر فعالية من الفرجار والمسطرة، مثل طريقة نيوسيس أو طي الورق الرياضي ، لإيجاد حلول لهاتين المسألتين. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

يتطلب حل مسألة تربيع الدائرة باستخدام الفرجار والمسطرة بناء العدد${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$، وهو طول ضلع مربع مساحته تساوي مساحة دائرة الوحدة. إذا${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$لو كان عددًا قابلًا للإنشاء ، لكان من المتوقع، وفقًا للإنشاءات القياسية باستخدام الفرجار والمسطرة، أن${\displaystyle \pi }$سيكون من الممكن أيضًا إنشاء هذه الأطوال. في عام 1837، أثبت بيير وانتزل أن الأطوال التي يمكن إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة يجب أن تكون حلولًا لمعادلات متعددة الحدود ذات معاملات نسبية. ^{[ 25 ] [ 26 ]} وبالتالي، يجب أن تكون الأطوال القابلة للإنشاء أعدادًا جبرية . إذا كان من الممكن تربيع الدائرة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط، فإن${\displaystyle \pi }$لا بد أن يكون عددًا جبريًا. ولم يثبت فرديناند فون ليندمان تجاوز هذا العدد إلا في عام 1882.${\displaystyle \pi }$وهكذا أظهر استحالة هذا البناء. كانت فكرة ليندمان هي الجمع بين برهان تجاوز عدد أويلر${\displaystyle e}$، كما أوضحها تشارلز هيرميت في عام 1873، مع تحديد هوية أويلر$${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ تُظهر هذه الهوية على الفور أن${\displaystyle \pi }$هو عدد غير نسبي ، لأن القوة النسبية لعدد متسامٍ تبقى متسامية. وقد تمكن ليندمان من توسيع هذه الحجة، من خلال نظرية ليندمان-فايرشتراس حول الاستقلال الخطي للقوى الجبرية لـ${\displaystyle e}$، لإظهار ذلك${\displaystyle \pi }$هو متعالٍ، وبالتالي فإن تربيع الدائرة مستحيل. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

إنّ تجاوز القواعد بإدخال أداة إضافية، أو السماح بعدد لا نهائي من عمليات الفرجار والمسطرة، أو بإجراء العمليات في هندسات غير إقليدية معينة ، يجعل تربيع الدائرة ممكنًا بمعنى ما. على سبيل المثال، تستخدم نظرية دينوستراتوس مصفوفة هيباس لتربيع الدائرة، ما يعني أنه إذا كان هذا المنحنى معطى مسبقًا، فيمكن إنشاء مربع ودائرة متساويين في المساحة منه. ويمكن استخدام اللولب الأرخميدسي لإنشاء مماثل آخر. ^{[ 27 ]} مع ذلك، لا يمكن لإنشاء نيوسيس تربيع الدائرة، لأنه لا يستطيع سوى إنشاء نسب جبرية معينة، وليس النسبة المتسامية المطلوبة لهذه المسألة. ^{[ 28 ]} على الرغم من أنه لا يمكن تربيع الدائرة في الفضاء الإقليدي ، إلا أنه يمكن تربيعها أحيانًا في الهندسة الزائدية بتفسيرات مناسبة للمصطلحات. لا يحتوي المستوى الزائدي على مربعات (أشكال رباعية ذات أربع زوايا قائمة وأربعة أضلاع متساوية)، بل يحتوي على أشكال رباعية منتظمة ، وهي أشكال ذات أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا متساوية أكبر من الزوايا القائمة. يوجد في المستوى الزائدي ( بشكل قابل للعد ) عدد لا نهائي من أزواج الدوائر والأشكال الرباعية المنتظمة القابلة للإنشاء ذات المساحة المتساوية، والتي تُنشأ في آن واحد. لا توجد طريقة للبدء بشكل رباعي منتظم عشوائي وإنشاء دائرة مساوية له في المساحة. وبالمثل، لا توجد طريقة للبدء بدائرة عشوائية وإنشاء شكل رباعي منتظم ذي مساحة متساوية، وبالنسبة للدوائر الكبيرة بما يكفي، لا يوجد شكل رباعي من هذا النوع. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

على الرغم من استحالة تربيع الدائرة بدقة باستخدام الفرجار والمسطرة، إلا أنه يمكن الحصول على تقريبات لتربيع الدائرة عن طريق إنشاء أطوال قريبة من${\displaystyle \pi }$لا يتطلب الأمر سوى الهندسة الأساسية لتحويل أي تقريب كسري معطى لـ${\displaystyle \pi }$يمكن تحويلها إلى رسم هندسي باستخدام الفرجار والمسطرة ، إلا أن هذه الطرق عادةً ما تكون مطولة للغاية مقارنةً بالدقة التي تحققها. بعد أن ثبت استحالة حل المسألة الأصلية، وظّف بعض علماء الرياضيات براعتهم لإيجاد تقريبات لتربيع الدائرة تتسم بالبساطة الشديدة، من بين طرق هندسية أخرى يمكن تخيلها، والتي تعطي دقة مماثلة.

تولى كوتشانسكي أعمال البناء

البناء التقريبي لكوتشانسكي

الاستمرار مع دائرة ومربع متساويي المساحة؛${\displaystyle r}$يشير إلى نصف القطر الأولي

إحدى الطرق التاريخية التقريبية العديدة التي استخدمت فيها البوصلة والمسطرة في الإنشاءات هي تلك الواردة في ورقة بحثية كتبها اليسوعي البولندي آدم آدماندي كوتشانسكي عام 1685 ، والتي أنتجت تقريبًا يختلف عن${\displaystyle \pi }$في المنزلة العشرية الخامسة. على الرغم من وجود تقريبات عددية أكثر دقة لـ${\displaystyle \pi }$على الرغم من أن هذه الطرق كانت معروفة بالفعل، إلا أن تصميم كوتشانسكي يتميز ببساطته. ^{[ 31 ]} في الرسم التخطيطي الأيسر $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {|P_{3}P_{9}|}{|P_{1}P_{2}|}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\\[3mu]&=3.141\;5{\color {red}33\,338\;\ldots }\end{aligned}}}$$ وفي العمل نفسه، استنتج كوتشانسكي أيضًا سلسلة من التقريبات العقلانية ذات الدقة المتزايدة لـ${\displaystyle \pi }$[ ^{32 ]​}

الإنشاءات باستخدام 355/113

بناء جاكوب دي جيلدر 355/113

بناء رامانوجان 355/113

نشر جاكوب دي جيلدر في عام 1849 بناءً قائماً على التقريب $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {355}{113}}\\[3mu]&=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }\end{aligned}}}$$ هذه القيمة دقيقة إلى ستة منازل عشرية، وقد عُرفت في الصين منذ القرن الخامس باسم ميلو ، وفي أوروبا منذ القرن السابع عشر. ^{[ 33 ]}

لم يقم غيلدر ببناء ضلع المربع؛ بل كان يكفيه أن يجد قيمته. $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$ يوضح الرسم التوضيحي تصميم دي غيلدر.

في عام 1914، قدم عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان بناءً هندسيًا آخر لنفس التقريب. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

الإنشاءات باستخدام النسبة الذهبية

بناء النسبة الذهبية لهوبسون

بناء النسبة الذهبية لديكسون

بناء بياتريكس المكون من 13 خطوة

يُعدّ بناء إي دبليو هوبسون التقريبي في عام 1913 ^{[ 33 ]} دقيقًا إلى ثلاثة منازل عشرية. ويتوافق بناء هوبسون مع قيمة تقريبية لـ $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)\\[3mu]&=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle \varphi }$هي النسبة الذهبية ،${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$.

تظهر القيمة التقريبية نفسها في تصميم روبرت ديكسون عام 1991. ^{[ 34 ]} وفي عام 2022 ، قدم فريدريك بياتريكس تصميمًا هندسيًا في 13 خطوة. ^{[ 35 ]}

البناء الثاني من تصميم رامانوجان

تربيع الدائرة، بناء تقريبي وفقًا لرامانوجان عام 1914، مع استمرار البناء (خطوط متقطعة، خط أحمر متناسب متوسط)، انظر الرسوم المتحركة .

رسم تخطيطي لـ "مخطوطة الكتاب الأول لسْرينيفاسا رامانوجان" صفحة 54، بناء رامانوجان 355/113

في عام 1914، قدم رامانوجان بناءً يعادل أخذ القيمة التقريبية لـ${\displaystyle \pi }$يكون $$\begin{aligned}\pi &\approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}\\[3mu]&=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }\end{aligned}}}$$ إعطاء ثمانية منازل عشرية من${\displaystyle \pi }$[ ^{21 ] [ 22 ]} يصف بناء القطعة المستقيمة OS على النحو التالي ^{. [ 21 ]}

ليكن AB (الشكل 2) قطر دائرة مركزها O. نَصِّف القوس ACB عند النقطة C، وقَسِّم AO إلى ثلاثة أجزاء متساوية عند النقطة T. صِل BC، واقطع منه CM وMN، بحيث يكون طول MN مساويًا لـ AT. صِل AM وAN، واقطع من الأخير AP، بحيث يكون طول AP مساويًا لـ AM. ارسم PQ من النقطة P، موازيًا لـ MN، ويتقاطع مع AM عند النقطة Q. صِل OQ، وارسم TR من النقطة T، موازيًا لـ OQ، ويتقاطع مع AQ عند النقطة R. ارسم AS عموديًا على AO، بحيث يكون طوله مساويًا لـ AR، ثم صِل OS. عندئذٍ، سيكون متوسط ​​التناسب بين OS وOB مساويًا تقريبًا لسدس محيط الدائرة، ويكون الخطأ أقل من جزء من اثني عشر من البوصة عندما يكون طول القطر 8000 ميل.

في شيخوخته، اقتنع الفيلسوف الإنجليزي توماس هوبز بأنه نجح في تربيع الدائرة، وهو ادعاء دحضه جون واليس في إطار جدل هوبز-واليس . ^{[ 36 ]} خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، شاعت بين الراغبين في تربيع الدائرة مفاهيم خاطئة مفادها أن مشكلة تربيع الدائرة مرتبطة بطريقة ما بمشكلة خط الطول ، وأن مكافأة كبيرة ستُمنح لمن يجد حلاً. ^{[ 37 ] [ 38 ]} في عام 1851، نشر جون باركر كتابًا بعنوان "تربيع الدائرة" زعم فيه أنه قد تربيع الدائرة. في الواقع، لم تُنتج طريقته سوى تقريب لـ${\displaystyle \pi }$بدقة تصل إلى ستة أرقام. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

أبدى عالم الرياضيات والمنطق والكاتب الفيكتوري تشارلز لوتويدج دودجسون، المعروف باسمه المستعار لويس كارول ، اهتمامًا بتفنيد نظريات تربيع الدائرة غير المنطقية. في إحدى مذكراته لعام 1855، ذكر دودجسون الكتب التي كان يأمل في تأليفها، بما في ذلك كتاب بعنوان "حقائق بسيطة لمُقَرِّبي الدائرة". في مقدمة كتابه "نظرية جديدة للمتوازيات"، روى دودجسون محاولته إثبات أخطاء منطقية لزوجين من مُقَرِّبي الدائرة، قائلاً: ^{[ 42 ]}

يظهر سخرية من تربيع الدائرة في كتاب أوغسطس دي مورغان "ميزانية المفارقات" ، الذي نشرته أرملته بعد وفاته عام 1872. وكان دي مورغان قد نشر العمل في الأصل كسلسلة مقالات في مجلة "ذا أثينيوم" ، وكان يُراجعه للنشر عند وفاته. وقد تراجعت شعبية تربيع الدائرة بعد القرن التاسع عشر، ويُعتقد أن عمل دي مورغان ساهم في ذلك. ^{[ 20 ]}

حتى بعد ثبوت استحالة ذلك، ادعى عالم الرياضيات الهاوي إدوين ج. غودوين عام ١٨٩٤ أنه طور طريقة لتربيع الدائرة. إلا أن التقنية التي طورها لم تكن دقيقة في تربيع الدائرة، بل أعطت مساحة غير صحيحة للدائرة، مما أدى إلى إعادة تعريفها بشكل جذري.${\displaystyle \pi }$باعتبارها تساوي 3.2. ثم اقترح غودوين مشروع قانون إنديانا باي في المجلس التشريعي لولاية إنديانا، والذي يسمح للولاية باستخدام طريقته في التعليم دون دفع أي رسوم له. وقد أُقرّ مشروع القانون بالإجماع في مجلس النواب، لكنه أُجّل ولم يُطرح للتصويت في مجلس الشيوخ، وسط سخرية متزايدة من الصحافة. ^{​​[ 43 ]}

ادعى كارل ثيودور هايزل، وهو عالم رياضيات غريب الأطوار، أنه قد حل مسألة تربيع الدائرة في كتابه الصادر عام 1934 بعنوان "انظروا!  : المشكلة الكبرى لم تعد بلا حل: تربيع الدائرة بشكل قاطع". ^{[ 44 ]} وقد وصف بول هالموس الكتاب بأنه "كتاب كلاسيكي لعالم غريب الأطوار". ^{[ 45 ]}

ذُكرت معضلة تربيع الدائرة في العديد من العصور الأدبية، بمعانٍ مجازية متنوعة . ^{[ 46 ]} يعود استخدامها الأدبي إلى عام 414 قبل الميلاد على الأقل، عندما عُرضت مسرحية الطيور لأريستوفان لأول مرة. في هذه المسرحية، ^يذكر ميتون الأثيني تربيع الدائرة، ربما للإشارة إلى الطبيعة المتناقضة لمدينته المثالية. [ ^{47 ]}

يحتوي كتاب دانتي الفردوسي ، النشيد الثالث والثلاثون، الأسطر 133-135، على البيت الشعري التالي:

بالنسبة لدانتي، يُمثل تربيع الدائرة مهمةً تفوق إدراك البشر، وهو ما يُشبهه بعجزه عن فهم الفردوس. ^{[ 48 ]} كما تُذكّرنا صورة دانتي بمقطع من كتاب فيتروفيوس ، الذي اشتهر لاحقًا في لوحة " الرجل الفيتروفي" لليوناردو دافنشي ، لرجلٍ مُحاطٍ بدائرة ومربع في آنٍ واحد. ^{[ 49 ]} يستخدم دانتي الدائرة كرمزٍ لله، وربما أشار إلى هذا التداخل بين الأشكال في إشارةٍ إلى الطبيعة الإلهية والبشرية المتزامنة ليسوع. ^{[ 46 ] [ 49 ]} في وقتٍ سابق، في النشيد الثالث عشر، ينتقد دانتي برايسون، مُشكِّل الدائرة اليوناني، لكونه سعى إلى المعرفة بدلًا من الحكمة. ^{[ 46 ]}

تتناول العديد من أعمال الشاعرة مارغريت كافنديش، التي عاشت في القرن السابع عشر ، مشكلة تربيع الدائرة ومعانيها المجازية، بما في ذلك التباين بين وحدة الحقيقة والانقسام، واستحالة ترشيد "الخيال والطبيعة الأنثوية". ^{[ 46 ]} وبحلول عام 1742، عندما نشر ألكسندر بوب الكتاب الرابع من قصيدته "دونسياد" ، أصبحت محاولات تربيع الدائرة تُعتبر "عبثية وغير مثمرة": ^{[ 40 ]}

وبالمثل، تتضمن الأوبرا الكوميدية "الأميرة إيدا" لجيلبرت وسوليفان أغنيةً تسرد بأسلوب ساخر الأهداف المستحيلة لجامعة النساء التي تديرها الشخصية الرئيسية، مثل إيجاد الحركة الدائمة . أحد هذه الأهداف هو: "والدائرة - سيربعونها/في يوم من الأيام". ^{[ 50 ]}

يُقال إنّ قصيدة السستينا ، وهي شكل شعري استخدمه أرنوت دانيال لأول مرة في القرن الثاني عشر ، تُجسّد مجازيًا مفهوم "تربيع الدائرة" من خلال استخدامها لعدد مربع من الأسطر (ستة مقاطع، كل منها ستة أسطر) مع نمط دائري من ست كلمات متكررة. يكتب سبانوس (1978) أن هذا الشكل الشعري يحمل دلالة رمزية، حيث ترمز الدائرة إلى السماء، ويرمز المربع إلى الأرض. ^{[ 51 ]} وقد استُخدمت استعارة مماثلة في قصة "تربيع الدائرة" القصيرة، التي كتبها أو. هنري عام 1908 ، والتي تتناول نزاعًا عائليًا طويل الأمد. في عنوان هذه القصة، تُمثل الدائرة العالم الطبيعي، بينما يُمثل المربع المدينة، عالم الإنسان. ^{[ 52 ]}

في أعمال لاحقة، يُنظر إلى شخصيات مثل ليوبولد بلوم في رواية جيمس جويس " يوليسيس " والمحامي بارافانت في رواية توماس مان " الجبل السحري" على أنهم واهمون بشكل مؤسف أو حالمون غير واقعيين، غير مدركين لاستحالة ذلك رياضياً، ويضعون خططاً طموحة لنتيجة لن يحققوها أبداً. ^{[ 53 ] [ 54 ]}

• مسألة السيدة مينيفير – مسألة تتعلق بمساحات الدوائر المتقاطعة 
• رابط المربع الدائري – معالجة فلسفية للتناقضات اللفظية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• شكل دائري مربع – شكل يقع بين المربع والدائرة 
• مسألة تربيع الدائرة لتارسكي – مسألة تقطيع وإعادة تجميع قرص إلى مربع 

• بوغومولني، ألكسندر. "تربيع الدائرة" . قطع العقدة .
• غرايم، جيمس (25 مارس 2013). "تربيع الدائرة" . نمبرفايل . برادي هاران – عبر يوتيوب.
• هاربر، سوزان؛ دريسكيل، شانون (أغسطس 2010). "دراسة في الإنشاءات الهندسية التاريخية" . التقارب . الجمعية الرياضية الأمريكية.
• أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (أبريل 1999). "تربيع الدائرة" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات .
• أوتيرو، دانيال إي. (يوليو 2010). "تربيع الدائرة وأهلة أبقراط" . التقارب . الجمعية الرياضية الأمريكية.
• بولستر، بوركارد (29 يونيو 2019). "لغز لم يُحل منذ 2000 عام: لماذا يستحيل مضاعفة المكعبات وتربيع الدوائر؟" . ماثولوجر - عبر يوتيوب.