مارتن ديفيد كروسكال

مارتن ديفيد كروسكال ( 28 سبتمبر 1925 - 26 ديسمبر 2006) [ 1 ] ^كان عالم رياضيات وفيزياء أمريكيًا . قدم إسهامات جوهرية في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم، بدءًا من فيزياء ^{البلازما} وصولًا إلى النسبية ^العامة ، ومن التحليل غير الخطي إلى التحليل التقاربي . وكانت أبرز إسهاماته في نظرية السوليتونات . ^{[ 4 ]}

درس في جامعة شيكاغو وجامعة نيويورك ، حيث نال درجة الدكتوراه تحت إشراف ريتشارد كورانت عام ١٩٥٢. أمضى معظم حياته المهنية في جامعة برينستون ، باحثًا علميًا في مختبر فيزياء البلازما بدءًا من عام ١٩٥١، ثم أستاذًا لعلم الفلك (١٩٦١)، ومؤسسًا ورئيسًا لبرنامج الرياضيات التطبيقية والحسابية (١٩٦٨)، وأستاذًا للرياضيات (١٩٧٩). تقاعد من جامعة برينستون عام ١٩٨٩ وانضم إلى قسم الرياضيات في جامعة روتجرز ، حيث شغل كرسي ديفيد هيلبرت للرياضيات.

إلى جانب أعماله الرياضية الجادة، اشتهر كروسكال بمغامراته الرياضية. فعلى سبيل المثال، ابتكر عدّ كروسكال ، وهو تأثير سحري حيّر السحرة المحترفين لأنه لم يكن قائماً على خفة اليد بل على ظاهرة رياضية.

وُلد مارتن ديفيد كروسكال لعائلة يهودية [ ^{5 ] في} مدينة نيويورك ، ونشأ في نيو روشيل . كان يُعرف بين الناس باسم مارتن، بينما كان يُنادى باسم ديفيد بين أفراد عائلته. كان والده، جوزيف ب. كروسكال الأب، تاجر فراء ناجحًا. أما والدته، ليليان روز فورهاوس كروسكال أوبنهايمر ، فقد اشتهرت بنشر فن الأوريغامي خلال بدايات عصر التلفزيون، وأسست مركز الأوريغامي الأمريكي في مدينة نيويورك، والذي أصبح فيما بعد منظمة OrigamiUSA. ^{[ 6 ]} كان مارتن واحدًا من خمسة أبناء. وكان شقيقاه، وكلاهما من علماء الرياضيات البارزين، هما جوزيف كروسكال (1928-2010؛ مكتشف القياس متعدد الأبعاد ، ونظرية شجرة كروسكال ، وخوارزمية كروسكال ) وويليام كروسكال (1919-2005؛ مكتشف اختبار كروسكال-واليس ).

كانت لورا كروسكال، زوجة مارتن كروسكال، محاضرة وكاتبة في فن طي الورق (الأوريغامي) ومبتكرة للعديد من النماذج الجديدة. ^{[ 7 ]} استمر زواجهما 56 عامًا. كما ابتكر مارتن كروسكال العديد من نماذج الأوريغامي، بما في ذلك ظرف لإرسال الرسائل السرية. كان من السهل فتح الظرف، ولكن لم يكن من السهل إعادة طيه لإخفاء الرسالة. ^{[ 8 ]} أبناؤهما الثلاثة هم: كارين (محامية ^{[ 9 ]} )، وكيري (كاتبة كتب أطفال ^{[ 10 ]} )، وكلايد (عالم حاسوب).

شملت اهتمامات مارتن كروسكال العلمية طيفاً واسعاً من المواضيع في الرياضيات البحتة وتطبيقاتها في العلوم. وقد أبدى اهتماماً بالغاً بالعديد من المواضيع في المعادلات التفاضلية الجزئية والتحليل غير الخطي، وطوّر أفكاراً أساسية حول التوسعات التقاربية ، والثوابت الأديباتية ، والعديد من المواضيع ذات الصلة.

الأعمال المبكرة

كانت أطروحته للدكتوراه، التي كتبها تحت إشراف ريتشارد كوران وبرنارد فريدمان في جامعة نيويورك ، حول موضوع "نظرية الجسر للأسطح الدنيا ". وقد حصل على درجة الدكتوراه في عام 1952.

في خمسينيات القرن العشرين وأوائل ستينياته، انصبّ تركيزه بشكل كبير على فيزياء البلازما، حيث طوّر العديد من الأفكار التي تُعدّ اليوم أساسية في هذا المجال. وكان لنظريته حول الثوابت الأديباتية دورٌ هام في أبحاث الاندماج النووي. ومن بين المفاهيم المهمة في فيزياء البلازما التي تحمل اسمه: عدم استقرار كروسكال-شافرانوف، وأنماط بيرنشتاين-غرين-كروسكال (BGK) . وقد طوّر، بالتعاون مع آي. بي. بيرنشتاين، وإي. إيه. فريمان، وآر. إم. كولسرود، مبدأ الطاقة المغناطيسية الهيدروديناميكية ⁽ MHD ^{) . وامتدت اهتماماته لتشمل فيزياء البلازما الفلكية ،} بالإضافة إلى بلازما المختبرات.

الثقوب السوداء

في عام 1960، اكتشف كروسكال البنية الكاملة للزمكان الكلاسيكي لأبسط أنواع الثقوب السوداء في النسبية العامة . يمكن وصف الزمكان المتناظر كرويًا بحل شوارزشيلد ، الذي اكتُشف في بدايات النسبية العامة. مع ذلك، يصف هذا الحل، في صيغته الأصلية، المنطقة الخارجية لأفق حدث الثقب الأسود فقط. اكتشف كروسكال (بالتوازي مع جورج سيكيريس ) الامتداد التحليلي الأقصى لحل شوارزشيلد، والذي عرضه ببراعة باستخدام ما يُعرف الآن بإحداثيات كروسكال-سيكيريس .

قاد هذا كروسكال إلى اكتشاف مذهل مفاده أن باطن الثقب الأسود يشبه " الثقب الدودي " الذي يربط بين كونين متطابقين ومسطحين تقاربياً . كان هذا أول مثال حقيقي لحل الثقب الدودي في النسبية العامة. ينهار الثقب الدودي إلى نقطة تفرد قبل أن يتمكن أي مراقب أو إشارة من الانتقال من كون إلى آخر. يُعتقد الآن أن هذا هو المصير العام للثقوب الدودية في النسبية العامة. في سبعينيات القرن الماضي، عندما اكتُشفت الطبيعة الحرارية لفيزياء الثقوب السوداء ، تبين أن خاصية الثقب الدودي لحل شوارزشيلد عنصر مهم. واليوم، يُعتبر هذا الحل دليلاً أساسياً في محاولات فهم الجاذبية الكمومية .

طريقة التشتت العكسي

كان أشهر أعمال كروسكال اكتشافه في ستينيات القرن الماضي لإمكانية تكامل بعض المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية التي تتضمن دوالًا لمتغير مكاني واحد بالإضافة إلى الزمن. بدأت هذه التطورات بمحاكاة حاسوبية رائدة أجراها كروسكال ونورمان زابوسكي (بمساعدة من هاري دايم ) لمعادلة غير خطية تُعرف بمعادلة كورتيغ-دي فريس (KdV). تُعد معادلة KdV نموذجًا تقاربيًا لانتشار الموجات التشتتية غير الخطية . لكن كروسكال وزابوسكي حققا اكتشافًا مذهلاً يتمثل في حل "الموجة المنفردة" لمعادلة KdV، والذي ينتشر بشكل غير تشتتي، بل ويستعيد شكله بعد اصطدامه بموجات أخرى مماثلة. ونظرًا لخصائص هذه الموجة الشبيهة بالجسيمات، أطلقوا عليها اسم " سوليتون "، وهو مصطلح شاع استخدامه على الفور تقريبًا.

استُلهم هذا العمل جزئيًا من مفارقة شبه التكرار التي لوحظت في محاكاة حاسوبية مبكرة جدًا ^{[ 12 ]} لشبكة غير خطية معينة، أجراها إنريكو فيرمي ، وجون باستا ، وستانيسلاف أولام ، وماري تسينغو في لوس ألاموس عام 1955. لاحظ هؤلاء الباحثون سلوكًا شبه تكراري طويل الأمد لسلسلة أحادية البعد من المذبذبات غير التوافقية، على عكس التوازن الحراري السريع المتوقع. قام كروسكال وزابوسكي بمحاكاة معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV)، التي حصل عليها كروسكال كحد متصل لتلك السلسلة أحادية البعد، ووجدا سلوكًا انفراديًا، وهو عكس التوازن الحراري. وقد تبين أن هذا هو جوهر الظاهرة.

كانت ظاهرة الموجات الانفرادية لغزًا محيرًا في القرن التاسع عشر، يعود تاريخه إلى أعمال جون سكوت راسل الذي لاحظ عام 1834 ما يُعرف اليوم باسم السوليتون، وهو ينتشر في قناة، ثم تتبعه على ظهر حصان. ^{[ 13 ]} على الرغم من ملاحظاته للسوليتونات في تجارب أحواض الأمواج، لم يُدرك سكوت راسل أنها كذلك، نظرًا لتركيزه على "موجة الانتقال العظيمة"، وهي الموجة الانفرادية ذات السعة الأكبر. وقد قوبلت ملاحظاته التجريبية، التي قدمها في تقريره عن الأمواج إلى الجمعية البريطانية لتقدم العلوم عام 1844، بالتشكيك من قِبل جورج إيري وجورج ستوكس، لأن نظرياتهما حول الموجات المائية الخطية لم تكن قادرة على تفسيرها. نشر جوزيف بوسينسك (1871) واللورد رايلي (1876) نظريات رياضية تُبرر ملاحظات سكوت راسل. في عام 1895، قام ديدريك كورتويج وجوستاف دي فريس بصياغة معادلة KdV لوصف أمواج المياه الضحلة (مثل الأمواج في القناة التي لاحظها راسل)، ولكن لم يتم فهم الخصائص الأساسية لهذه المعادلة حتى عمل كروسكال والمتعاونين معه في الستينيات.

أشارت السلوكيات الانفرادية إلى أن معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV) لا بد أن تخضع لقوانين حفظ تتجاوز قوانين حفظ الكتلة والطاقة والزخم البديهية. وقد اكتشف جيرالد ويذام قانون حفظ رابعًا ، وخامسًا اكتشفه كروسكال وزابوسكي. كما اكتشف روبرت ميورا يدويًا عدة قوانين حفظ جديدة ، وأظهر أيضًا وجود العديد من قوانين الحفظ لمعادلة ذات صلة تُعرف بمعادلة كورتيغ-دي فريس المعدلة (MKdV). ^{[ 14 ]} وباستخدام هذه القوانين، أوضح ميورا وجود صلة (تُسمى تحويل ميورا) بين حلول معادلتي KdV وMKdV. وكان هذا دليلًا مكّن كروسكال، بالتعاون مع كليفورد إس. غاردنر ، وجون إم. غرين ، وميورا (GGKM)، ^{[ 15 ]} من اكتشاف تقنية عامة للحل الدقيق لمعادلة KdV وفهم قوانين حفظها. كانت هذه طريقة التشتت العكسي ، وهي طريقة مدهشة وأنيقة تُثبت أن معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV) تقبل عددًا لا نهائيًا من الكميات المحفوظة التي تتبادل وفقًا لتوزيع بواسون، وأنها قابلة للتكامل تمامًا. وقد أرست هذه الاكتشافات الأساس الحديث لفهم ظاهرة السوليتون: إذ تُعاد توليد الموجة المنفردة في الحالة الخارجة لأن هذه هي الطريقة الوحيدة لتحقيق جميع قوانين الحفظ. وبعد فترة وجيزة من تطبيق نظرية GGKM، قام بيتر لاكس بتفسير طريقة التشتت العكسي تفسيرًا شهيرًا باستخدام التشوهات متساوية الطيف وأزواج لاكس .

حظيت طريقة التشتت العكسي بتنوع مذهل في التعميمات والتطبيقات في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء. وقد كان كروسكال نفسه رائدًا في بعض هذه التعميمات، مثل وجود عدد لا نهائي من الكميات المحفوظة لمعادلة ساين-غوردون . أدى ذلك إلى اكتشاف طريقة التشتت العكسي لهذه المعادلة على يد إم. جيه. أبلوويتز ، ودي. جيه. كاوب، وإيه. سي. نيويل، وإتش. سيغور (AKNS). ^{[ 16 ]} تُعد معادلة ساين-غوردون معادلة موجية نسبية في بُعدين مكانيين (1+1) تُظهر أيضًا ظاهرة السوليتون، وقد أصبحت نموذجًا مهمًا لنظرية المجال النسبي القابلة للحل . في عمل رائد سبق AKNS، اكتشف زاخاروف وشابات طريقة التشتت العكسي لمعادلة شرودنغر غير الخطية.

بات من المعروف الآن أن السوليتونات منتشرة في كل مكان في الطبيعة، من الفيزياء إلى علم الأحياء.

مساهمات لاحقة

في ثمانينيات القرن العشرين، أبدى كروسكال اهتمامًا بالغًا بمعادلات بانليفيه . غالبًا ما تنشأ هذه المعادلات كاختزالات تناظرية لمعادلات السوليتون، وقد أثار اهتمام كروسكال العلاقة الوثيقة التي بدت قائمة بين الخصائص التي تميز هذه المعادلات والأنظمة التكاملية الكاملة. وقد انصبّ جزء كبير من أبحاثه اللاحقة على رغبته في فهم هذه العلاقة وتطوير أساليب جديدة مباشرة وبسيطة لدراسة معادلات بانليفيه. ونادرًا ما كان كروسكال يكتفي بالأساليب التقليدية لدراسة المعادلات التفاضلية.

تتميز معادلات بانليفيه الست بخاصية فريدة تُعرف بخاصية بانليفيه: حلولها أحادية القيمة حول جميع النقاط الشاذة التي تعتمد مواقعها على الشروط الابتدائية. ويرى كروسكال أنه بما أن هذه الخاصية تُعرّف معادلات بانليفيه، فينبغي البدء بها، دون أي بنى إضافية غير ضرورية، لاستخلاص جميع المعلومات المطلوبة حول حلولها. وكانت النتيجة الأولى دراسة تقاربية لمعادلات بانليفيه مع ناليني جوشي ، وهي دراسة غير مألوفة في ذلك الوقت لأنها لم تتطلب استخدام مسائل خطية مرتبطة بها. وقد أدى تساؤله المستمر حول النتائج الكلاسيكية إلى ابتكار طريقة مباشرة وبسيطة، طُوّرت أيضًا بالتعاون مع جوشي، لإثبات خاصية بانليفيه لمعادلات بانليفيه.

في الجزء الأخير من مسيرته المهنية، كان أحد اهتمامات كروسكال الرئيسية نظرية الأعداد السريالية . تتميز الأعداد السريالية، التي تُعرَّف تعريفًا بنائيًا، بجميع الخصائص والعمليات الأساسية للأعداد الحقيقية. فهي تشمل الأعداد الحقيقية إلى جانب أنواع عديدة من اللانهائيات والمتناهيات في الصغر. ساهم كروسكال في تأسيس هذه النظرية، وفي تعريف الدوال السريالية، وفي تحليل بنيتها. وقد اكتشف صلةً وثيقةً بين الأعداد السريالية، والسلوك التقاربي، والسلوك التقاربي الأسي. ومن الأسئلة المهمة التي طُرحت في أواخر سبعينيات القرن الماضي، والتي بحثها كروسكال بإصرار كبير، ما إذا كانت الدوال السريالية ذات السلوك الجيد تمتلك تكاملات محددة. وقد أجاب كوستين وفريدمان وإيرليخ على هذا السؤال بالنفي بشكل عام، كما كان يأمل كونواي وزملاؤه، في عام 2015. ^{[ 17 ]} ومع ذلك، فإن تحليل كوستين وزملاؤه... يُظهر هذا أن التكاملات المحددة موجودة بالفعل لفئة واسعة بما يكفي من الدوال السريالية التي ينطبق عليها مفهوم كروسكال للتحليل التقاربي، بمفهومه الواسع. عند وفاته، كان كروسكال بصدد تأليف كتاب عن التحليل السريالي بالاشتراك مع أو. كوستين.

صاغ كروسكال مصطلح " علم التقارب" لوصف "فن التعامل مع الأنظمة الرياضية التطبيقية في الحالات الحدية". ^{[ 18 ]} وقد وضع سبعة مبادئ لعلم التقارب: 1. مبدأ التبسيط؛ 2. مبدأ الاستدعاء الذاتي؛ 3. مبدأ التفسير؛ 4. مبدأ السلوك الجامح؛ 5. مبدأ الإفناء؛ 6. مبدأ التوازن الأقصى؛ 7. مبدأ الهراء الرياضي.

مصطلح "علم التقارب" ليس شائع الاستخدام كمصطلح " السوليتون" . وقد استُخدمت الأساليب التقاربية بأنواعها المختلفة بنجاح منذ نشأة العلم تقريبًا. ومع ذلك، حاول كروسكال أن يُبين أن علم التقارب فرعٌ خاص من المعرفة، وسيطٌ، بمعنى ما، بين العلم والفن. وقد وُجد أن اقتراحه مثمرٌ للغاية. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

تعرُّف

حظيت إسهامات كروسكال بتقدير واسع. ففي عام ١٩٨٦، تقاسم كروسكال وزابوسكي ميدالية هوارد ن. بوتس الذهبية من معهد فرانكلين "لإسهاماتهما في الفيزياء الرياضية، وابتكاراتهما المبكرة في دمج التحليل والحساب، ولا سيما لأعمالهما الرائدة في خصائص السوليتونات". وعند منح جائزة ستيل لعام ٢٠٠٦ لكل من غاردنر، وغرين، وكروسكال، وميورا، صرّحت الجمعية الأمريكية للرياضيات بأنه قبل أعمالهم "لم تكن هناك نظرية عامة للحل الدقيق لأي فئة مهمة من المعادلات التفاضلية غير الخطية". وأضافت الجمعية: "في تطبيقات الرياضيات، دخلت السوليتونات ومشتقاتها (الانحناءات، والانحناءات المضادة، واللحظات، والتنفسات) مجالات متنوعة وغيرتها، مثل البصريات غير الخطية، وفيزياء البلازما، وعلوم المحيطات والغلاف الجوي والكواكب. لقد شهدت اللاخطية ثورة حقيقية: من كونها مصدر إزعاج يجب التخلص منه، إلى أداة جديدة يجب استغلالها".

حصل كروسكال على الميدالية الوطنية للعلوم في عام 1993 "لتأثيره كقائد في العلوم غير الخطية لأكثر من عقدين من الزمن باعتباره المهندس الرئيسي لنظرية حلول السوليتون لمعادلات التطور غير الخطية".

في مقال ^{[ 22 ]} استعرض فيه عالم الرياضيات البارز فيليب أ. غريفيثس حالة الرياضيات في مطلع الألفية، كتب أن اكتشاف قابلية تكامل معادلة كورتيغ-دي فريس (KdV) "أظهر بأبهى صورة وحدة الرياضيات. فقد تضمن تطورات في الحوسبة، وفي التحليل الرياضي، وهو الأسلوب التقليدي لدراسة المعادلات التفاضلية. واتضح أنه يمكن فهم حلول هذه المعادلات التفاضلية من خلال بعض البنى الهندسية الجبرية الأنيقة . كما ترتبط هذه الحلول ارتباطًا وثيقًا بنظرية التمثيل ، إذ تبين أن لهذه المعادلات عددًا لا نهائيًا من التناظرات الخفية. وأخيرًا، ترتبط هذه الحلول بمسائل في الهندسة الابتدائية."

تضمنت الأوسمة والجوائز التي حصل عليها كروسكال ما يلي:

• عدّ كروسكال في الرياضيات الترفيهية

• في ذكرى الراحل: مارتن ديفيد كروسكال
• زابوسكي، نورمان ج. (2005). "فيرمي-باستا-أولام، السوليتونات، وبنية العلوم غير الخطية والحسابية: التاريخ، التآزر، والقياسات البصرية". الفوضى . 15 (1): 015102. رمز Bibcode : 2005Chaos..15a5102Z . doi : 10.1063/1.1861554 . PMID 15836279 . 
• السوليتونات، والغرائب، والسرياليات وما شابه: مؤتمر تكريمًا لميلاد مارتن كروسكال الثمانين
• نعي في صحيفة نيويورك تايمز، 13 يناير 2007
• نعي في النشرة الأسبوعية لجامعة برينستون، 5 فبراير 2007
• كريس إيلبيك/جامعة هيريوت وات، إدنبرة، المملكة المتحدة
• نعي في صحيفة لوس أنجلوس تايمز، 6 يناير 2007
• نعوات – مارتن ديفيد كروسكال، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 11 أبريل 2007