التشتت (أمواج الماء)

أبسط موجة منتشرة ذات شكل ثابت هي الموجة الجيبية . موجة جيبية مع ارتفاع سطح الماء${\displaystyle \eta (x,t)}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,}$

حيث a هي السعة (بالمتر) و${\displaystyle \theta =\theta (x,t)}$هي دالة الطور ( بالراديان )، اعتمادًا على الموضع الأفقي ( x ، بالأمتار) والوقت ( t ، بالثواني ): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,}$ مع ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ و ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}},}$

أين:

• λ هو الطول الموجي (بالمتر)،
• T هي الفترة (بالثواني)،
• k هو العدد الموجي (بالراديان لكل متر) و
• ω هو التردد الزاوي (بالراديان في الثانية).

المراحل المميزة لموجة الماء هي:

• نقطة عبور الصفر الصاعدة عند θ  =  0 ،
• قمة الموجة عند θ  =  1/2 π  ،​​​​
• نقطة عبور الصفر الهابطة عند θ  =  π و
• قاع الموجة عند θ  = 3 / 2 π .​  

تتكرر مرحلة معينة بعد مضاعف صحيح m من${\displaystyle 2\pi }$.${\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\theta +2\pi m)}$

من الضروري بالنسبة لموجات الماء، وغيرها من الظواهر الموجية في الفيزياء ، أن الموجات الحرة المنتشرة ذات السعة غير الصفرية لا توجد إلا عندما يكون التردد الزاوي ω والعدد الموجي k (أو ما يعادله الطول الموجي λ والفترة T ) يحققان علاقة وظيفية : علاقة تشتت التردد ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(ك).\,}$

للعلاقة التشتتية حلان:${\displaystyle \omega =+\Omega (k)}$و${\displaystyle \omega =-\Omega (k)}$، وهو ما يتوافق مع الموجات التي تنتشر في الاتجاه الموجب أو السالب لمحور السينات . وتعتمد علاقة التشتت عمومًا على عدة عوامل أخرى بالإضافة إلى العدد الموجي k . بالنسبة لموجات الجاذبية، ووفقًا للنظرية الخطية، فإن هذه العوامل هي تسارع الجاذبية الأرضية g وعمق الماء h . وعلاقة التشتت لهذه الموجات هي: ^{[ 6 ] [ 5 ]}

معادلة ضمنية حيث يرمز tanh إلى دالة الظل الزائدي .

مرحلة الموجة الأولية${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ينتشر كدالة للمكان والزمان . ويُعطى موقعه اللاحق بالصيغة التالية:

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.}$

وهذا يدل على أن الطور يتحرك بالسرعة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},}$

والتي تسمى سرعة الطور.

تنتشر الموجة الجيبية، ذات السعة الصغيرة لارتفاع سطح الماء والطول الموجي الثابت، بسرعة الطور ، والتي تُسمى أيضًا سرعة الطور. بينما تُعد سرعة الطور كمية متجهة ولها اتجاه، فإن سرعة الطور تُشير فقط إلى مقدار سرعة الطور. ووفقًا للنظرية الخطية للأمواج الناتجة عن الجاذبية، تعتمد سرعة الطور على الطول الموجي وعمق الماء. فعند عمق ماء ثابت، تنتشر الأمواج الطويلة (ذات الطول الموجي الكبير) أسرع من الأمواج القصيرة.

في الشكل الأيسر، يمكن ملاحظة أن موجات المياه الضحلة ، ذات الأطوال الموجية λ الأكبر بكثير من عمق الماء h ، تنتقل بسرعة الطور ^{[ 2 ].}

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(ماء ضحل)}}\,}$

حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية و c _هي سرعة الطور. وبما أن سرعة الطور في المياه الضحلة مستقلة عن الطول الموجي، فإن موجات المياه الضحلة لا تعاني من تشتت التردد.

باستخدام معيار آخر لنفس علاقة تشتت التردد، يُظهر الشكل على اليمين أنه عند طول موجي ثابت λ، تزداد سرعة الطور c_{_p مع ازدياد عمق الماء.} ^{[ 1 ]} إلى أن تصبح سرعة الطور c_{_p} مستقلة عن عمق الماء في المياه العميقة التي يزيد عمقها h عن نصف الطول الموجي λ (أي عندما h/λ  >  0.5 ). ^{[ 2 ]}

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(deep water),}}}$

حيث T هي دورة الموجة ( مقلوب التردد f ، T=1/f ). لذا في المياه العميقة ، تزداد سرعة الطور مع الطول الموجي، ومع الدورة.

بما أن سرعة الطور تحقق المعادلة c _p = λ/T = λf ، فإن الطول الموجي والدورة (أو التردد) مرتبطان. على سبيل المثال في المياه العميقة:

${\displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(deep water).}}}$

ترد أدناه خصائص التشتت للأعماق المتوسطة.

ينتج عن تداخل موجتين جيبيتين مختلفتين قليلاً في الطول الموجي، ولكن لهما نفس السعة واتجاه الانتشار، نمط خفقان يُسمى مجموعة الموجات. وكما هو موضح في الرسوم المتحركة، تتحرك المجموعة بسرعة جماعية (c _g) تختلف عن سرعة الطور (c _p) نتيجة لتشتت التردد.

يُظهر الشكلان أعلاه سرعة المجموعة بالخطوط الحمراء (المُشار إليها بالحرف B ). في المياه الضحلة، تتساوى سرعة المجموعة مع سرعة الطور في المياه الضحلة، وذلك لأن موجات المياه الضحلة غير مُشتتة. أما في المياه العميقة، فتتساوى سرعة المجموعة مع نصف سرعة الطور.${\displaystyle c_{g}={\frac {1}{2}}c_{p}}$[ ^{7 ]​}

تُعدّ سرعة المجموعة أيضاً سرعة نقل الطاقة. وهي السرعة التي تنتقل بها طاقة الموجة المتوسطة أفقياً في مجال موجي ضيق النطاق . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في حالة اختلاف سرعة المجموعة عن سرعة الطور، ينتج عن ذلك اختلاف عدد الموجات المحسوبة في مجموعة موجية عند حسابها من لقطة مكانية في لحظة معينة، عن حسابها زمنيًا من ارتفاع السطح المقاس عند موضع ثابت. لنفترض مجموعة موجية طولها Λg ومدة المجموعة _τg . سرعة المجموعة هي _: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.}$

عدد الموجات في مجموعة موجية، مقاسًا في الفضاء عند لحظة معينة، هو: Λ _g  /  λ . أما عند قياسه في موقع ثابت في الزمن، فإن عدد الموجات في المجموعة هو: τ _g  /  T. لذا، فإن نسبة عدد الموجات المقاسة في الفضاء إلى تلك المقاسة في الزمن هي:

${\displaystyle {\tfrac {\text{No. of waves in space}}{\text{No. of waves in time}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.}$

لذا في المياه العميقة، مع${\displaystyle c_{g}={\frac {1}{2}}c_{p}}$[ ^{11 ]} تحتوي مجموعة الموجات على ضعف عدد الموجات في الزمن مقارنة بعددها في المكان ^{. [ 12 ]}

يمكن صياغة ارتفاع سطح الماء η(x,t) ، كدالة للموضع الأفقي x والوقت t ، لمجموعة موجات ثنائية اللون ذات تعديل كامل رياضيا على النحو التالي: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),}$

مع:

• أ- سعة الموجة لكل مكون ترددي بالمتر،
• k1 و k2 _هما العدد الموجي لكل مكون موجي، بوحدة الراديان لكل متر، _و
• ω ₁ و ω ₂ التردد الزاوي لكل مكون من مكونات الموجة، بالراديان في الثانية.

يجب أن تحقق كل من ω ₁ و k ₁ ، وكذلك ω ₂ و k ₂ ، علاقة التشتت:

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\Omega ^{2}(k_{1})\,}$ و ${\displaystyle \omega _{2}^{2}=\Omega ^{2}(k_{2}).\,}$

باستخدام المتطابقات المثلثية ، يُكتب ارتفاع السطح على النحو التالي: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).}$

الجزء بين القوسين المربعين هو السعة المتغيرة ببطء للمجموعة، حيث يبلغ عدد موجة المجموعة 1/2 ( k1 - k2 ) وترددها الزاوي 1/2 ( ^ω1 - ω2 ₎ . _ونتيجة لذلك ^، تكون سرعة ^{المجموعة} _، في ^حالة k1 _→ k2 ، كما ^يلي : [ ₁₀ ] ^[ ₁₁ ]             

${\displaystyle c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.}$

لا يمكن تمييز مجموعات الموجات إلا في حالة الإشارة ذات النطاق الضيق، حيث _يكون فرق رقم الموجة k ₁  −  k ₂ صغيرًا مقارنة بمتوسط ​​رقم الموجة 1 / 2 (k 1 + k ₂ ) .   

يتمثل تأثير تشتت التردد في أن الموجات تنتقل تبعًا لطولها الموجي، مما يؤدي إلى تغير مستمر في خصائص الطور المكانية والزمانية للموجة المنتشرة. فعلى سبيل المثال، تحت تأثير الجاذبية، تنتقل موجات الماء ذات الطول الموجي الأطول أسرع من تلك ذات الطول الموجي الأقصر.

بينما تمتلك موجتان جيبيتان متراكبتان، تُسميان موجة ثنائية اللون، غلافًا ينتقل دون تغيير، فإن ثلاث مركبات موجية جيبية أو أكثر تُؤدي إلى نمط متغير للموجات وغلافها. يمكن وصف حالة البحر - أي: الأمواج الحقيقية على سطح البحر أو المحيط - بأنها تراكب للعديد من الموجات الجيبية ذات أطوال موجية وسعات وأطوار ابتدائية واتجاهات انتشار مختلفة. تنتقل كل مركبة من هذه المركبات بسرعة طورها الخاصة، وفقًا لعلاقة التشتت. يمكن وصف إحصائيات هذا السطح بواسطة طيف قدرته . ^{[ 13 ]}

في الجدول أدناه، علاقة التشتت${\displaystyle \omega ^{2}=[\Omega (k)]^{2}}$يتم تحديد العلاقة بين التردد الزاوي ω = 2π / T والعدد الموجي k = 2π / λ ، بالإضافة إلى سرعات الطور والمجموعة. ^{[ 10 ]}

تشتت تردد موجات الجاذبية على سطح المياه العميقة والضحلة والمتوسطة العمق، وفقًا لنظرية الموجات الخطية
كمية	رمز	وحدات	المياه العميقة${\displaystyle \left(h>{\tfrac {1}{2}}\lambda \right)}$	المياه الضحلة${\displaystyle \left(h<{\tfrac {1}{20}}\lambda \right)}$	عمق متوسط ​​(صيغة عامة صالحة للجميع)${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle h}$)
علاقة التشتت	${\displaystyle \displaystyle \Omega (k)}$	راد / ثانية	${\displaystyle {\sqrt {gk}}={\sqrt {\frac {2\pi \,g}{\lambda }}}}$	${\displaystyle k{\sqrt {gh}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {gk\,\tanh \left(kh\right)}}\,\\[1.2ex]&={\sqrt {{\frac {2\pi g}{\lambda }}\tanh \left({\frac {2\pi h}{\lambda }}\right)}}\,\end{aligned}}}$
سرعة الطور	${\displaystyle \displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}}$	آنسة	${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {g}{\omega }}={\frac {g}{2\pi }}T}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh \left(kh\right)}}}$
سرعة المجموعة	${\displaystyle \displaystyle c_{g}={\frac {\partial \Omega }{\partial k}}}$	آنسة	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{\omega }}={\frac {g}{4\pi }}T}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}c_{p}\left(1+{\frac {2kh}{\sinh \left(2kh\right)}}\right)}$
نسبة	${\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{g}}{c_{p}}}}$	-	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle \displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {2kh}{\sinh \left(2kh\right)}}\right)}$
الطول الموجي	${\displaystyle \displaystyle \lambda }$	م	${\displaystyle {\frac {g}{2\pi }}T^{2}}$	${\displaystyle T{\sqrt {gh}}}$	بالنسبة لفترة زمنية معينة T ، يكون حل المعادلة التالية: ${\displaystyle \displaystyle \left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}={\frac {2\pi g}{\lambda }}\tanh \left({\frac {2\pi h}{\lambda }}\right)}$

يتوافق الماء العميق مع أعماق تزيد عن نصف طول الموجة ، وهو الوضع الشائع في المحيط. في الماء العميق، تنتشر الموجات ذات الفترات الأطول بسرعة أكبر وتنقل طاقتها بسرعة أكبر. سرعة المجموعة في الماء العميق تساوي نصف سرعة الطور . أما في الماء الضحل ، بالنسبة لأطوال الموجات التي تزيد عن عشرين ضعف عمق الماء، ^{[ 14 ]} كما هو شائع بالقرب من الساحل، فإن سرعة المجموعة تساوي سرعة الطور.

تظهر تأثيرات تشتت السعة، على سبيل المثال، في الموجة الانفرادية : وهي عبارة عن نتوء مائي واحد يتحرك بسرعة ثابتة في المياه الضحلة ذات القاع الأفقي. تجدر الإشارة إلى أن الموجات الانفرادية هي شبه سوليتونات ، ولكنها ليست كذلك تمامًا؛ فبعد تفاعل موجتين انفراديتين (متصادمتين أو متداخلتين)، تتغير سعتهما قليلًا ، ويتبقى أثر تذبذبي. ^{[ 18 ]} يتحرك حل السوليتون المنفرد لمعادلة كورتيغ-دي فريس ، بارتفاع موجة H في عمق ماء h بعيدًا عن قمة الموجة، بالسرعة التالية:

${\displaystyle c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.}$

لذا، بالنسبة لهذه الموجة الجاذبية غير الخطية، فإن عمق الماء الكلي أسفل قمة الموجة هو الذي يحدد سرعتها، حيث تنتقل الموجات الأعلى بسرعة أكبر من الموجات الأدنى. تجدر الإشارة إلى أن حلول الموجات المنفردة لا توجد إلا للقيم الموجبة لـ H ، أما موجات الجاذبية المنفردة المنخفضة فلا وجود لها.

تُعدّ علاقة التشتت الخطية - غير المتأثرة بسعة الموجة - صحيحةً أيضًا بالنسبة للموجات غير الخطية عند الرتبة الثانية من توسيع نظرية الاضطراب ، حيث تُحسب الرتب بدلالة انحدار الموجة ka (حيث a هي سعة الموجة ). أما عند الرتبة الثالثة، وفي المياه العميقة، فتكون علاقة التشتت كما يلي ^{[ 19 ].}

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\left[1+(ka)^{2}\right],}$ لذا ${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g}{k}}}\,\left[1+{\tfrac {1}{2}}\,(ka)^{2}\right]+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

هذا يعني أن الموجات الكبيرة تنتقل أسرع من الموجات الصغيرة ذات التردد نفسه. ولا يُلاحظ هذا إلا عندما يكون انحدار الموجة (ka) كبيرًا.

• معادلة تفاضلية جزئية تشتتية
• الموجة الشعرية

• نظرية الموجات الهوائية
• معادلة بنجامين-بونا-ماهوني
• تقريب بوسينسق (موجات الماء)
• الموجة الجيبية
• معادلة كاماسا-هولم
• معادلة ديفي-ستيوارتسون
• معادلة كادومتسيف-بيتفياشفيلي (المعروفة أيضًا باسم معادلة KP)
• معادلة Korteweg – de Vries (المعروفة أيضًا باسم معادلة KdV)
• مبدأ لوقا التبايني
• معادلة شرودنغر غير الخطية
• معادلات المياه الضحلة
• نظرية ستوكس الموجية
• الموجة التروكويدية
• اضطراب الأمواج
• معادلة ويذام