رياضيات الطاقة الكهربائية ثلاثية الأطوار

من الخصائص المهمة للطاقة ثلاثية الأطوار أن الطاقة اللحظية المتاحة لحمل مقاوم،${\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}}$، ثابت في جميع الأوقات. في الواقع، ليكن

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}}$

لتبسيط العمليات الحسابية، نُعرّف قوة غير بُعدية لإجراء الحسابات الوسيطة.${\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R}$

${\displaystyle p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}$

وبالتالي (بالتعويض):

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.}$

بما أننا قد استبعدنا${\displaystyle \theta }$نلاحظ أن إجمالي الطاقة لا يتغير مع مرور الوقت. وهذا أمر ضروري لضمان استمرار تشغيل المولدات والمحركات الكبيرة بسلاسة.

لاحظ أيضًا أنه باستخدام متوسط ​​الجذر التربيعي للجهد${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$، التعبير عن${\displaystyle P_{TOT}}$يأخذ ما سبق الشكل الكلاسيكي التالي:

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}}$.

لا يشترط أن يكون الحمل مقاومًا لتحقيق قدرة لحظية ثابتة، فما دام متوازنًا أو متساويًا لجميع الأطوار، فإنه قد يكون كذلك.${\displaystyle j}$كونها الوحدة التخيلية ، و${\displaystyle \varphi }$يمكن كتابة فرق الطور بين الجهد والتيار على النحو التالي :

${\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}$

بحيث يكون تيار الذروة

${\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}$

لجميع الأطوار والتيارات اللحظية هي

${\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

أما القوى اللحظية في الأطوار فهي

${\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

باستخدام صيغ طرح الزوايا :

${\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

والتي تتراكم لتشكل قوة لحظية إجمالية

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}$

بما أن الحدود الثلاثة المحصورة بين قوسين مربعين تمثل نظامًا ثلاثي الأطوار، فإن مجموعها يساوي صفرًا وتصبح القدرة الكلية

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }$

أو

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }$

يوضح ذلك الادعاء المذكور أعلاه.

مرة أخرى، باستخدام متوسط ​​الجذر التربيعي للجهد${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$،${\displaystyle P_{TOT}}$يمكن كتابتها بالشكل المعتاد

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi }$.

في حالة تساوي الأحمال على كل طور من الأطوار الثلاثة، لا يمر تيار صافٍ في السلك المحايد. تيار السلك المحايد هو مقلوب المجموع الاتجاهي لتيارات الخطوط. انظر قوانين كيرشوف للدوائر الكهربائية .

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}}$

نُعرّف تيارًا غير بُعدي،${\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}}$

بما أننا أثبتنا أن تيار الحياد يساوي صفرًا، يتضح لنا أن إزالة سلك الحياد لن تؤثر على الدائرة، شريطة أن يكون النظام متوازنًا. تُستخدم هذه التوصيلات عادةً فقط عندما يكون الحمل على الأطوار الثلاثة جزءًا من نفس الجهاز (مثل محرك ثلاثي الأطوار)، وإلا فإن تبديل الأحمال والاختلالات الطفيفة ستؤدي إلى تقلبات كبيرة في الجهد.

في حالة الأحمال الخطية، يحمل السلك المحايد التيار فقط نتيجةً لعدم التوازن بين الأطوار. أما الأجهزة التي تستخدم دوائر تقويم-مكثف أمامية (مثل وحدات التغذية الكهربائية ذات الوضع التبديل لأجهزة الكمبيوتر ومعدات المكاتب وما شابهها) فتُدخل توافقيات من الرتبة الثالثة. وتكون تيارات التوافقيات الثالثة متوافقة في الطور على كل طور من أطوار التغذية، وبالتالي تتجمع في السلك المحايد، مما قد يؤدي إلى تجاوز تيار السلك المحايد في نظام التوصيل النجمي لتيارات الأطوار. ^{[ 3 ] [ 4 ]}