أقصى اليانصيب

تُعدّ القرعة القصوى قاعدة تصويت احتمالية تستخدم أوراق الاقتراع المُرتبة ، وتُجري قرعة بين المرشحين الذين يُفضّلهم أغلبية الناخبين، في المتوسط، على أي مرشح آخر. وبصورة أدق، تتميز هذه القاعدة بخاصية أنه عند حساب متوسط ​​سلسلة من المواجهات المباشرة المتكررة، فإن نصف الناخبين على الأقل سيُفضّلون نتيجة القرعة القصوى على النتيجة التي تُنتجها أي قاعدة تصويت أخرى . ^{[ 1 ]}

تُحقق اليانصيبات القصوى مجموعة واسعة من الخصائص المرغوبة: فهي تنتخب الفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه باحتمالية 1 إن وُجد ^{[ 1 ]} ، ولا تنتخب أبدًا مرشحين من خارج مجموعة سميث . ^{[ 1 ]} علاوة على ذلك، فهي تُحقق استقلالية الاستنساخات . ^{[ 2 ]} تُعد قاعدة التصويت الاحتمالية التي تُعيد جميع اليانصيبات القصوى هي القاعدة الوحيدة التي تُحقق التعزيز، والاتساق وفقًا لمعيار كوندورسيه، واستقلالية الاستنساخات. ^{[ 2 ]} وقد تم تحديد دالة الرفاه الاجتماعي التي تُعطي الأولوية لليانصيبات القصوى بشكل فريد باستخدام استقلالية آرو للبدائل غير ذات الصلة وكفاءة باريتو . ^{[ 3 ]}

لا تُحقق اليانصيب القصوى المفهوم القياسي للحماية من التلاعب، إذ أثبت آلان جيبارد أن الديكتاتوريات العشوائية فقط هي التي تُحقق الحماية من التلاعب والكفاءة اللاحقة. ^{[ 4 ]} كما أن احتمالات اليانصيب القصوى غير رتيبة ، ما يعني أنه من الممكن أن يتناقص احتمال أحد البدائل إذا زاد هذا البديل. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فهي تُحقق الرتابة النسبية، أي احتمال${\displaystyle x}$مقارنة بـ${\displaystyle y}$لا ينخفض ​​عندما${\displaystyle x}$هو تحسن عن${\displaystyle y}$[ ^{5 ]​}

تُحقق اليانصيب القصوى بعض التعميمات المتعلقة بالتعزيز ^{[ 2 ]} والمشاركة [ ^{6 ]} في الحالة غير الحتمية: إذ تتجاوز احتمالية التفوق 50%، ما يعني أن الناخب سيُفضل النتيجة التي يحصل عليها بالمشاركة على تلك التي يحصل عليها بعدم المشاركة لأكثر من نصف الوقت. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، قد تُظهر اليانصيب القصوى مفارقة عدم الحضور من حيث المنفعة المتوقعة ، بحيث يشعر الناخب أن اليانصيب الذي يحصل ^عليه بالتصويت أسوأ (ذو منفعة متوقعة أقل) من اليانصيب الذي كان سيحصل عليه لو لم يُشارك.

دعم اليانصيب الأقصى، والذي يُعرف بالمجموعة الأساسية أوتمت دراسة المجموعة الحزبية الثنائية بالتفصيل. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

طُرحت فكرة اليانصيب الأقصى لأول مرة من قِبل عالم الرياضيات والعلوم الاجتماعية الفرنسي جيرمان كريويراس عام 1965 ^{[ 11 ]} ، وشاعت بفضل بيتر فيشبورن . ^{[ 1 ]} ومنذ ذلك الحين، أعيد اكتشافها عدة مرات من قِبل الاقتصاديين ^{[ 8 ]} ، والرياضيين ^{[ 1 ] [ 12 ]} ، وعلماء السياسة، والفلاسفة ^{[ 13 ]} ، وعلماء الحاسوب. ^{[ 14 ]}

لوحظت العديد من الديناميكيات الطبيعية التي تتقارب نحو أقصى احتمالات الفوز في علم الأحياء والفيزياء والكيمياء والتعلم الآلي. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

يتكون مدخل نظام التصويت هذا من تفضيلات الوكلاء الترتيبية للنتائج (وليس اليانصيب على البدائل)، ولكن يمكن إنشاء علاقة على مجموعة اليانصيب بالطريقة التالية: إذا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$هل اليانصيب أفضل من البدائل؟${\displaystyle p\succ q}$إذا كانت القيمة المتوقعة لهامش الفوز لنتيجة مختارة بتوزيع${\displaystyle p}$في تصويت مباشر ضد نتيجة مختارة بالتوزيع${\displaystyle q}$إيجابي. بعبارة أخرى،${\displaystyle p\succ q}$إذا كان من المرجح أن يفضل الناخب الذي تم اختياره عشوائياً البدائل التي تم أخذ عينة منها من${\displaystyle p}$إلى البديل الذي تم أخذ عينات منه من${\displaystyle q}$^{[ 3 ]} على الرغم من أن هذه العلاقة ليست بالضرورة متعدية، إلا أنها تقبل دائمًا عنصرًا أقصى واحدًا على الأقل.

من الممكن وجود عدة احتمالات قصوى من هذا القبيل، نتيجةً للتعادل. ومع ذلك، يكون الاحتمال الأقصى فريدًا عندما يكون عدد الناخبين فرديًا. ^{[ 18 ]} وبناءً على الحجة نفسها، تُعرَّف المجموعة الثنائية الحزبية بشكل فريد من خلال أخذ دعم الاحتمال الأقصى الفريد الذي يحل لعبة البطولة. ^{[ 8 ]}

تُعادل احتمالات الفوز القصوى استراتيجيات الحد الأقصى المختلطة (أو توازنات ناش ) للعبة المتناظرة ذات المجموع الصفري، والتي تُحدد بهوامش الأغلبية الثنائية. ولذلك، فهي تُفسَّر تفسيراً طبيعياً من حيث المنافسة الانتخابية بين حزبين سياسيين ^{[ 19 ]} ، ويمكن حسابها في وقت متعدد الحدود باستخدام البرمجة الخطية.

لنفترض أن هناك خمسة ناخبين لديهم التفضيلات التالية من بين ثلاثة بدائل:

• 2 ناخبين:${\displaystyle a\succ b\succ c}$
• 2 ناخبين:${\displaystyle b\succ c\succ a}$
• ناخب واحد:${\displaystyle c\succ a\succ b}$

يمكن تمثيل تفضيلات الناخبين الثنائية في المصفوفة المتماثلة المائلة التالية ، حيث يمثل العنصر في الصف${\displaystyle x}$والعمود${\displaystyle y}$يشير إلى عدد الناخبين الذين يفضلون${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$مطروحًا منه عدد الناخبين الذين يفضلون${\displaystyle y}$ل${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

يمكن تفسير هذه المصفوفة على أنها لعبة مجموعها صفر وتسمح بتوازن ناش فريد (أو استراتيجية مينيمكس ).${\displaystyle p}$أين${\displaystyle p(a)=3/5}$،${\displaystyle p(b)=1/5}$،${\displaystyle p(c)=1/5}$بحسب التعريف، هذه هي أيضًا القرعة القصوى الفريدة لملف التفضيل المذكور أعلاه. تم اختيار المثال بعناية لتجنب وجود فائز وفقًا لمعيار كوندورسيه . تسمح العديد من ملفات التفضيل بوجود فائز وفقًا لمعيار كوندورسيه، وفي هذه الحالة ستُخصص القرعة القصوى الفريدة احتمال 1 للفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه. إذا قام الناخب الأخير في المثال أعلاه بتبديل البدائل...${\displaystyle a}$و${\displaystyle c}$في علاقة تفضيلاته،${\displaystyle a}$يصبح الفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه وسيتم اختياره باحتمالية 1.

• موقع vote.ml (موقع إلكتروني لحساب أقصى قيمة لليانصيب)