نصف القطر المكافئ

في العلوم التطبيقية ، يُعرف نصف القطر المكافئ (أو نصف القطر المتوسط ) بأنه نصف قطر دائرة أو كرة لها نفس المحيط أو المساحة أو الحجم لجسم غير دائري أو غير كروي. أما القطر المكافئ (أو القطر المتوسط ) (${\displaystyle D}$) هو ضعف نصف القطر المكافئ.

محيط دائرة نصف قطرها R هو${\displaystyle 2\pi R}$بمعرفة محيط جسم غير دائري P ، يمكن حساب نصف قطره المكافئ للمحيط عن طريق وضع

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{eq}}}$

أو بدلاً من ذلك:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {P}{2\pi }}}$

على سبيل المثال، مربع طول ضلعه L محيطه يساوي${\displaystyle 4L}$إن جعل ذلك المحيط مساوياً لمحيط الدائرة يعني أن

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {4L}{2\pi }}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

التطبيقات:

• مقاس القبعة الأمريكي هو محيط الرأس، مقاسًا بالبوصة، مقسومًا على باي ، ومقربًا إلى أقرب 1/8 بوصة. وهذا يتوافق مع متوسط ​​القطر أحادي البعد. ^{[ 1 ]}
• القطر عند مستوى الصدر هو محيط جذع الشجرة ، مقاسًا على ارتفاع 4.5 قدم، مقسومًا على باي. وهذا يُعادل متوسط ​​القطر أحادي البعد. ويمكن قياسه مباشرةً باستخدام شريط قياس المحيط . ^{[ 2 ]}

مساحة دائرة نصف قطرها R هي${\displaystyle \pi R^{2}}$بمعرفة مساحة جسم غير دائري A ، يمكن حساب نصف قطره المكافئ للمساحة عن طريق تحديد

${\displaystyle A=\pi R_{\text{eq}}^{2}}$

أو بدلاً من ذلك:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

غالباً ما تكون المنطقة التي يتم النظر فيها هي منطقة المقطع العرضي .

على سبيل المثال، مساحة مربع طول ضلعه L تساوي${\displaystyle L^{2}}$إن جعل تلك المساحة مساوية لمساحة دائرة يعني أن

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {L^{2}}{\pi }}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.5642L}$

وبالمثل، فإن القطع الناقص ذو المحور شبه الرئيسي${\displaystyle a}$والمحور شبه الصغير${\displaystyle b}$تبلغ مساحتها${\displaystyle \pi ab}$وبالتالي

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {\pi ab}{\pi }}}={\sqrt {ab}}}$.

التطبيقات:

• يُعرَّف القطر الهيدروليكي بشكل مماثل بأنه أربعة أضعاف مساحة المقطع العرضي للأنبوب A ، مقسومة على محيطه "المبلل" P. بالنسبة لأنبوب دائري نصف قطره R ، عند التدفق الكامل، يكون هذا

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

كما هو متوقع. وهذا يُعادل التعريف المذكور أعلاه للقطر المتوسط ​​ثنائي الأبعاد. مع ذلك، ولأسباب تاريخية، يُعرَّف نصف القطر الهيدروليكي بأنه مساحة المقطع العرضي للأنبوب A مقسومة على محيطه المبلل P ، مما يؤدي إلى${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\text{H}}}$ونصف القطر الهيدروليكي يساوي نصف متوسط ​​نصف القطر ثنائي الأبعاد. ^{[ 3 ]}

• في تصنيف الركام ، القطر المكافئ هو "قطر دائرة ذات مساحة مقطعية متساوية من الركام"، والذي يتم حسابه بواسطة${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$يُستخدم في العديد من برامج معالجة الصور الرقمية. ^{[ 4 ]}

حجم كرة نصف قطرها R هو${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$بمعرفة حجم جسم غير كروي V ، يمكن حساب نصف قطره المكافئ للحجم عن طريق وضع

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{eq}}^{3}}$

أو بدلاً من ذلك:

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

على سبيل المثال، مكعب طول ضلعه L حجمه يساوي${\displaystyle L^{3}}$إن جعل ذلك الحجم مساوياً لحجم الكرة يعني أن

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3L^{3}}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

وبالمثل، فإن القطع الناقص ثلاثي المحاور ذو المحاور${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$يبلغ حجمه${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$وبالتالي ^{[ 5 ]}

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3{\frac {4}{3}}\pi abc}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{abc}}}$.

صيغة القطع الناقص الدوراني هي الحالة الخاصة حيث${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$[ ^{6 ]​}

التطبيقات:

• بالنسبة لكوكب الأرض ، الذي يمكن تقريبه على أنه شكل كروي مفلطح بنصف قطر6378.1 كم  و​​ يبلغ متوسط ​​نصف القطر ثلاثي الأبعاد 6356.8 كم${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$[ ^{6 ]​}

• نصف قطر الهوائي المكافئ
• نصف قطر تأثير سقوط السحب
• المتوسط ​​التكعيبي
• شكل الأرض الإهليلجي
• نصف قطر الأرض
• نصف القطر الفعال للمجرة
• الجيود
• المتوسط ​​الهندسي
• نصف القطر