خاصية مضادة للتبديل

في الرياضيات ، تُعدّ خاصية عدم التبديل خاصيةً مميزةً لبعض العمليات الرياضية غير التبديلية . يؤدي تبديل موضع وسيطين في عملية مضادة للتناظر إلى نتيجة معكوسة للنتيجة في حالة عدم تبديل الوسيطين. يشير مفهوم المعكوس إلى بنية زمرة على المجال المقابل للعملية ، ربما مع عملية أخرى. الطرح عملية مضادة للتبديل لأن تبديل معاملاتها${\displaystyle ab}$أعطِ${\displaystyle ba=-(ab)}$؛ على سبيل المثال،${\displaystyle 2-10=-(10-2)=-8}$ومن الأمثلة البارزة الأخرى على العمليات المضادة للتبديل قوس لي .

في الفيزياء الرياضية ، حيث يكون التناظر ذا أهمية مركزية، أو حتى في الجبر متعدد الخطوط، تسمى هذه العمليات في الغالب (متعددة الخطوط بالنسبة لبعض الهياكل المتجهة ثم) عمليات مضادة للتناظر ، وعندما لا تكون ذات عدد أكبر من اثنين، يتم توسيعها في إطار ترابطي لتغطية أكثر من وسيطين .

لو${\displaystyle A,B}$هما مجموعتان أبيليتان ، خريطة ثنائية الخطية${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$تكون مضادة للتبديل إذا كان لكل${\displaystyle x,y\in A}$لدينا

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

وبشكل أعم، خريطة متعددة الخطوط${\displaystyle g:A^{n}\to B}$تكون مضادة للتبديل إذا كان لكل${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$لدينا

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

أين${\displaystyle {\text{sgn}}(\sigma )}$هي علامة التبديل​${\displaystyle \sigma }$.

إذا كانت المجموعة الأبيلية${\displaystyle B}$ليس له التواء من الدرجة الثانية ، مما يعني أنه إذا${\displaystyle x=-x}$ثم${\displaystyle x=0}$ثم أي خريطة ثنائية خطية مضادة للتبديل${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$يرضي

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

وبشكل أعم، عن طريق تبديل عنصرين، يمكن تحويل أي خريطة متعددة الخطوط مضادة للتبديل${\displaystyle g\colon A^{n}\to B}$يرضي

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

إذا كان أي من${\displaystyle x_{i}}$إذا كانت القيمتان متساويتين، يُقال إن هذه الدالة متناوبة . وعلى العكس، باستخدام خاصية التعدد الخطي، فإن أي دالة متناوبة تكون مضادة للتبديل. في الحالة الثنائية، يكون هذا على النحو التالي: إذا${\displaystyle f\colon A^{2}\to B}$إذا كان التناوب متبادلاً، فبواسطة الخطية الثنائية لدينا

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

والبرهان في الحالة متعددة الخطية هو نفسه ولكن في اثنين فقط من المدخلات.

لو${\displaystyle e_{i}^{2}=1,\quad e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0,i\neq j\ ,}$ ثم${\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}.}$^{[ 1 ]}

تتضمن أمثلة العمليات الثنائية المضادة للتبديل ما يلي:

• الضرب الاتجاهي
• قوس لي في جبر لي
• قوس الكذب لحلقات الكذب
• الطرح
• حاصل ضرب i و j و k في الكواترنيونات

• التبادلية
• المبدل
• الجبر الخارجي
• حلقة تبديلية متدرجة
• العمليات (الرياضيات)
• التناظر في الرياضيات
• إحصاءات الجسيمات (لخاصية التبادلية المضادة في الفيزياء).

• بورباكي، نيكولاس (1989)، "الفصل الثالث: جبر الموترات ، الجبر الخارجي ، الجبر المتناظر "، الجبر. الفصول 1-3 ، عناصر الرياضيات (الطبعة الثانية  )، برلين - هايدلبرغ - مدينة نيويورك : سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-64243-9، MR 0979982 ، Zbl 0904.00001  .

• جاينوف، أ. ت. (2001) [1994]، "الجبر المضاد للتبديل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMSوالذي يشير إلى العمل الروسي الأصلي
• وايسشتاين، إريك دبليو. "مضاد التبادل" . عالم الرياضيات .