عدم استقرار التعديل

يمكن اشتقاق طيف الكسب ^{[ 3 ]} بالبدء بنموذج عدم استقرار التضمين القائم على معادلة شرودنغر غير الخطية.

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

والذي يصف تطور غلاف ذي قيم معقدة متغيرة ببطء${\displaystyle A}$مع مرور الوقت${\displaystyle t}$ومسافة الانتشار${\displaystyle z}$الوحدة التخيلية${\displaystyle i}$يرضي${\displaystyle i^{2}=-1.}$يتضمن النموذج تشتت سرعة المجموعة الموصوف بالمعامل${\displaystyle \beta _{2}}$ودالة كير غير الخطية ذات المقدار${\displaystyle \gamma .}$ شكل موجي دوري ذو قدرة ثابتة${\displaystyle P}$هذا مفترض. ويتم تحديده من خلال الحل

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

حيث التذبذب${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$يُفسر عامل الطور الفرق بين معامل الانكسار الخطي ومعامل الانكسار المُعدَّل، الناتج عن تأثير كير. ويمكن دراسة بداية عدم الاستقرار عن طريق إحداث اضطراب في هذا الحل.

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

أين${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$يمثل حد الاضطراب (الذي تم ضربه، لأغراض التبسيط الرياضي، بنفس عامل الطور كما${\displaystyle A}$). وبإعادة إدخال هذا في معادلة شرودنغر غير الخطية، نحصل على معادلة اضطراب على الشكل التالي

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

حيث يُفترض أن يكون الاضطراب صغيرًا، بحيث${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$المركب المترافق لـ${\displaystyle \varepsilon }$يُشار إليه بـ${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$يمكن الآن اكتشاف عدم الاستقرار من خلال البحث عن حلول لمعادلة الاضطراب التي تنمو أُسّيًا. ويمكن القيام بذلك باستخدام دالة تجريبية من الشكل العام التالي:

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}zi\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

أين${\displaystyle k_{m}}$و${\displaystyle \omega _{m}}$يمثلان العدد الموجي والتردد الزاوي (ذي القيمة الحقيقية) للاضطراب، و${\displaystyle c_{1}}$و${\displaystyle c_{2}}$هي ثوابت. تُبنى معادلة شرودنغر غير الخطية بإزالة الموجة الحاملة للضوء المراد نمذجته، وبالتالي فإن تردد الضوء المضطرب يساوي صفرًا رسميًا. لذلك،${\displaystyle \omega _{m}}$و${\displaystyle k_{m}}$لا تمثل هذه القيم الترددات والأعداد الموجية المطلقة، بل الفرق بينها وبين تلك الخاصة بشعاع الضوء الأولي. ويمكن إثبات صحة الدالة التجريبية، بشرط${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$ورهناً بالشرط

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

تعتمد علاقة التشتت هذه بشكل أساسي على إشارة الحد الموجود داخل الجذر التربيعي، فإذا كانت موجبة، يكون العدد الموجي حقيقيًا ، مما يشير إلى مجرد تذبذبات حول الحل غير المضطرب، بينما إذا كانت سالبة، يصبح العدد الموجي تخيليًا ، مما يشير إلى نمو أسي وبالتالي عدم استقرار. لذلك، سيحدث عدم الاستقرار عندما

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$ هذا من أجل ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

يصف هذا الشرط ضرورة التشتت الشاذ (بحيث${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$(سالبة). يمكن وصف طيف الكسب بتحديد معامل الكسب على النحو التالي:${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$بحيث تزداد قوة الإشارة المزعجة مع المسافة كما${\displaystyle P\,e^{gz}.}$وبالتالي، يُعطى الربح بواسطة

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

كما هو مذكور أعلاه،${\displaystyle \omega _{m}}$هو الفرق بين تردد الاضطراب وتردد الضوء الأولي. يكون معدل النمو أقصى ما يمكن عند${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$