الكثافة الطيفية

يمكن أن تكون كثافة القدرة الطيفية (PSD) دالة أحادية الجانب للترددات الموجبة فقط، أو دالة ثنائية الجانب للترددات الموجبة والسالبة ولكن بنصف السعة فقط. وتكون كثافة القدرة الطيفية للضوضاء أحادية الجانب عمومًا في الهندسة وثنائية الجانب في الفيزياء. ^{[ 5 ]}

في معالجة الإشارات ، طاقة الإشارة${\displaystyle x(t)}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$ بافتراض أن الطاقة الكلية محدودة (أي${\displaystyle x(t)}$(دالة قابلة للتكامل التربيعي ) تسمح بتطبيق نظرية بارسيفال (أو نظرية بلانشيريل ). ^{[ 6 ]} أي، $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$ أين $${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$ هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle x(t)}$بتردد​${\displaystyle f}$( بالهرتز ). ^{[ 7 ]} تنطبق النظرية أيضًا على حالات الزمن المتقطع. بما أن التكامل على الجانب الأيسر هو طاقة الإشارة، فإن قيمة${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$يمكن تفسيرها على أنها دالة كثافة مضروبة في فاصل تردد صغير للغاية، يصف الطاقة الموجودة في الإشارة عند التردد${\displaystyle f}$في نطاق التردد${\displaystyle f+df}$.

وبالتالي، فإن كثافة الطاقة الطيفية لـ${\displaystyle x(t)}$يُعرَّف على أنه ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}}$

المعادلة 1

الوظيفة${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$والارتباط الذاتي لـ${\displaystyle x(t)}$تشكل زوج تحويل فورييه، وهي نتيجة تُعرف أيضًا باسم نظرية وينر-خينشين (انظر أيضًا مخطط الفترة ).

كمثال مادي لكيفية قياس كثافة الطاقة الطيفية لإشارة ما، لنفترض${\displaystyle V(t)}$يمثل الجهد ( بالفولت ) لنبضة كهربائية تنتشر على طول خط نقل ذي مقاومة${\displaystyle Z}$ولنفترض أن الخط ينتهي بمقاومة مطابقة (بحيث يتم توصيل كل طاقة النبضة إلى المقاومة ولا ينعكس أي منها). وفقًا لقانون أوم ، فإن القدرة المُسلَّمة إلى المقاومة في الزمن t${\displaystyle t}$يساوي${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$لذا، يتم إيجاد الطاقة الكلية عن طريق التكامل.${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$بالنسبة للزمن خلال مدة النبضة. لإيجاد قيمة كثافة الطاقة الطيفية${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$بتردد${\displaystyle f}$يمكن إدخال مرشح تمرير نطاقي بين خط النقل والمقاوم، بحيث يمرر هذا المرشح نطاقًا ضيقًا من الترددات فقط.${\displaystyle \Delta f}$على سبيل المثال، بالقرب من التردد المطلوب، ثم قم بقياس الطاقة الكلية${\displaystyle E(f)}$تبددت عبر المقاوم. قيمة كثافة الطاقة الطيفية عند${\displaystyle f}$ثم يُقدّر أن${\displaystyle E(f)/\Delta f}$في هذا المثال، بما أن القوة${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$لها الوحدة V ² ⋅Ω ⁻¹ ، الطاقة${\displaystyle E(f)}$لها الوحدة V ² ⋅s⋅Ω ⁻¹  = J ، ومن ثم التقدير${\displaystyle E(f)/\Delta f}$تبلغ وحدة كثافة الطاقة الطيفية J⋅Hz ⁻¹ . في كثير من الحالات، من الشائع حذف خطوة القسمة على${\displaystyle Z}$وبالتالي فإن كثافة الطيف الطاقي لها الوحدة V ² ⋅s·Hz ⁻¹ .

يمكن تعميم هذا التعريف بطريقة مباشرة ليشمل إشارة منفصلة ذات عدد لا نهائي قابل للعد من القيم${\displaystyle x_{n}}$مثل إشارة يتم أخذ عينات منها في أوقات منفصلة${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$: $${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$ أين${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$هو تحويل فورييه المتقطع لـ${\displaystyle x_{n}.}$ فترة أخذ العينات${\displaystyle \Delta t}$يلزم ذلك للحفاظ على الوحدة الفيزيائية الصحيحة ولضمان استعادة الحالة المستمرة في الحد${\displaystyle \Delta t\to 0}$لكن في العلوم الرياضية، غالباً ما تُحدد الفترة بـ 1، مما يُبسط النتائج على حساب عموميتها. (انظر أيضاً: التردد المُعَيَّر (الوحدة) )

يُعدّ التعريف المذكور أعلاه لكثافة الطيف الطاقي مناسبًا للإشارات العابرة (الإشارات النبضية) التي تتركز طاقتها حول نافذة زمنية واحدة؛ وفي هذه الحالة، تكون تحويلات فورييه للإشارات موجودة عمومًا. أما بالنسبة للإشارات المستمرة على مدار الزمن، فيجب تعريف كثافة الطيف القدرة (PSD) الموجودة للعمليات المستقرة ؛ وهذا يصف كيفية توزيع قدرة الإشارة أو السلسلة الزمنية على التردد، كما في المثال البسيط المذكور سابقًا. هنا، يمكن أن تكون القدرة هي القدرة الفيزيائية الفعلية، أو غالبًا، لتسهيل التعامل مع الإشارات المجردة، تُعرّف ببساطة على أنها مربع قيمة الإشارة. على سبيل المثال، يدرس الإحصائيون تباين دالة ما مع مرور الوقت.${\displaystyle x(t)}$(أو على متغير مستقل آخر)، وباستخدام تشبيه بالإشارات الكهربائية (من بين عمليات فيزيائية أخرى)، من المعتاد الإشارة إليه باسم طيف القدرة حتى عندما لا تكون هناك قدرة فيزيائية متضمنة. إذا قام المرء بإنشاء مصدر جهد فيزيائي يتبع${\displaystyle x(t)}$وإذا طبقنا ذلك على طرفي مقاومة قيمتها أوم واحد ، فإن القدرة اللحظية المبددة في تلك المقاومة ستُعطى بالعلاقة التالية:${\displaystyle x^{2}(t)}$واط .

متوسط ​​القدرة${\displaystyle P}$إشارة${\displaystyle x(t)}$وبالتالي، يُعطى المتوسط ​​الزمني الإجمالي بالمعادلة التالية، حيث تمثل الفترة${\displaystyle T}$يتمحور حول وقت عشوائي${\displaystyle t=t_{0}}$: $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

عندما يكون من الأنسب التعامل مع الحدود الزمنية في الإشارة نفسها بدلاً من الحدود الزمنية في حدود التكامل، يمكن كتابة متوسط ​​القدرة أيضًا على النحو التالي: $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$ أين${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$و${\displaystyle w_{T}(t)}$الوحدة داخل الفترة التعسفية وصفر في أي مكان آخر.

متى${\displaystyle P}$إذا كانت قيمة التكامل غير صفرية، فيجب أن ينمو التكامل إلى ما لا نهاية على الأقل بنفس سرعة${\displaystyle T}$نعم. هذا هو السبب في أننا لا نستطيع استخدام طاقة الإشارة، وهي ذلك التكامل المتباعد.

في تحليل محتوى التردد للإشارة${\displaystyle x(t)}$قد يرغب المرء في حساب تحويل فورييه العادي${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$مع ذلك، بالنسبة للعديد من الإشارات المهمة، لا يوجد تحويل فورييه عادي بشكل رسمي. ^{[ ملاحظة 1 ]} ومع ذلك، في ظل شروط مناسبة، لا تزال بعض تعميمات تحويل فورييه (مثل تحويل فورييه-ستيلتيس ) متوافقة مع نظرية بارسيفال . على هذا النحو، $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$ حيث يحدد التكامل كثافة الطيف القدرة : ^{[ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,}$

المعادلة 2

ثم تسمح نظرية الالتفاف بالنظر إلى${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$باعتبارها تحويل فورييه للالتفاف الزمني لـ${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$و${\displaystyle x_{T}(t)}$، حيث يمثل * المرافق المركب.

لإثبات الادعاء الوارد في المعادلة 2 أدناه، سنجد تعبيرًا لـ${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$سيكون ذلك مفيدًا لهذا الغرض. في الواقع، سنوضح ذلك.${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$ابدأ بملاحظة أن $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ ودع${\displaystyle z=-t}$، لهذا السبب${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$متى${\displaystyle t\rightarrow \infty }$والعكس صحيح. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$ حيث تم استخدام في السطر الأخير${\displaystyle z}$و${\displaystyle t}$كونها متغيرات وهمية. لذلك، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$ qed

والآن، دعونا نبرهن على صحة الادعاء الوارد في المعادلة 2 باستخدام المتطابقة الموضحة. بالإضافة إلى ذلك، سنقوم بالاستبدال.${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$وبهذه الطريقة، لدينا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$ حيث تم استخدام نظرية الالتفاف عند الانتقال من السطر الثالث إلى السطر الرابع.

الآن، إذا قسمنا عملية الالتفاف الزمني المذكورة أعلاه على الدورة${\displaystyle T}$واعتبر الحد كما يلي${\displaystyle T\rightarrow \infty }$، فتصبح دالة الارتباط الذاتي للإشارة غير المُقاسة.${\displaystyle x(t)}$، والذي يُشار إليه بـ${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$بشرط أن${\displaystyle x(t)}$هي إرجودية ، وهذا صحيح في معظم الحالات العملية، ولكن ليس في جميعها. ^{[ ملاحظة 2 ]}$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

بافتراض خاصية الإرجودية لـ${\displaystyle x(t)}$ويمكن إيجاد كثافة القدرة الطيفية مرة أخرى كتحويل فورييه لدالة الارتباط الذاتي${\displaystyle R_{xx}}$، وهي خاصية تُعرف باسم نظرية وينر-خينشين . ^{[ 11 ]}

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)}$

المعادلة 3

يستخدم العديد من المؤلفين هذه العلاقة لتعريف كثافة القدرة الطيفية بدلالة دالة الارتباط الذاتي بدلاً من تحويل فورييه للإشارة كما فعلنا. ^{[ 12 ]}

قوة الإشارة في نطاق تردد معين${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$، أين${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$يمكن حسابها عن طريق التكامل على التردد. بما أن${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$، ويمكن إسناد قدر متساوٍ من الطاقة إلى نطاقات التردد الموجبة والسالبة، وهو ما يفسر العامل 2 بالشكل التالي (تعتمد هذه العوامل البسيطة على الاصطلاحات المستخدمة): $${\displaystyle P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$ وبشكل أعم، يمكن استخدام تقنيات مماثلة لتقدير الكثافة الطيفية المتغيرة مع الزمن. في هذه الحالة، الفترة الزمنية${\displaystyle T}$تكون محدودة وليست قريبة من اللانهاية. ينتج عن ذلك انخفاض في التغطية الطيفية والدقة، حيث أن الترددات الأقل من${\displaystyle 1/T}$لا يتم أخذ عينات منها، والنتائج عند ترددات ليست مضاعفات صحيحة لـ${\displaystyle 1/T}$ليست مستقلة. باستخدام سلسلة زمنية واحدة فقط، سيكون طيف القدرة المُقدَّر "مشوشًا" للغاية؛ ومع ذلك، يمكن التخفيف من ذلك إذا كان من الممكن تقييم القيمة المتوقعة (في المعادلة أعلاه) باستخدام عدد كبير (أو لا نهائي) من الأطياف قصيرة المدى التي تتوافق مع مجموعات إحصائية من تحقيقات${\displaystyle x(t)}$تم تقييمها خلال الفترة الزمنية المحددة.

كما هو الحال مع كثافة الطيف الطاقي، يمكن تعميم تعريف كثافة الطيف القدرة ليشمل متغيرات الزمن المنفصلة${\displaystyle x_{n}}$كما في السابق، يمكننا اعتبار نافذة من${\displaystyle -N\leq n\leq N}$مع أخذ عينات من الإشارة في أوقات منفصلة${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$لفترة قياس إجمالية${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$. $${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$ لاحظ أنه يمكن الحصول على تقدير واحد لكثافة القدرة الطيفية من خلال عدد محدود من عمليات أخذ العينات. وكما كان الحال سابقًا، يتم الحصول على كثافة القدرة الطيفية الفعلية عندما${\displaystyle N}$(وبالتالي${\displaystyle T}$عندما يقترب عدد القياسات من اللانهاية، يتم تطبيق القيمة المتوقعة رسميًا. في التطبيقات العملية، يُجرى عادةً حساب متوسط ​​كثافة القدرة الطيفية (PSD) لعدد محدود من القياسات عبر العديد من التجارب للحصول على تقدير أدق لكثافة القدرة الطيفية النظرية للعملية الفيزيائية الكامنة وراء القياسات الفردية. تُسمى كثافة القدرة الطيفية المحسوبة هذه أحيانًا مخطط الفترة . يتقارب مخطط الفترة هذا مع كثافة القدرة الطيفية الحقيقية مع ازدياد عدد التقديرات وفترة حساب المتوسط.${\displaystyle T}$يقترب من اللانهاية. ^{[ 13 ]}

إذا كان لكل من الإشارتين كثافة طيفية للقدرة، فيمكن حساب الكثافة الطيفية المتقاطعة بشكل مماثل؛ وبما أن الكثافة الطيفية للقدرة مرتبطة بالارتباط الذاتي، فإن الكثافة الطيفية المتقاطعة مرتبطة بالارتباط المتبادل .

بافتراض إشارتين${\displaystyle x(t)}$و${\displaystyle y(t)}$، وكل منها يمتلك كثافة طيفية للقدرة${\displaystyle S_{xx}(f)}$و${\displaystyle S_{yy}(f)}$من الممكن تعريف كثافة القدرة الطيفية المتقاطعة ( CPSD ) أو الكثافة الطيفية المتقاطعة ( CSD ). ولنبدأ بالنظر إلى متوسط ​​قدرة هذه الإشارة المركبة. $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

باستخدام نفس الرموز والأساليب المستخدمة في اشتقاق كثافة القدرة الطيفية، نستغل نظرية بارسيفال ونحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$ حيث، مرة أخرى، مساهمات${\displaystyle S_{xx}(f)}$و${\displaystyle S_{yy}(f)}$هذا مفهوم بالفعل. لاحظ أن${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$لذا، فإن المساهمة الكاملة في القوة المتقاطعة، بشكل عام، تأتي من ضعف الجزء الحقيقي لأي من توزيعات كثافة القدرة المتقاطعة الفردية . وكما في السابق، نعيد صياغة هذه النواتج من هنا على أنها تحويل فورييه لعملية التفاف زمني، والتي عند قسمتها على الدورة وأخذها إلى النهاية${\displaystyle T\to \infty }$يصبح تحويل فورييه لدالة الارتباط المتبادل . ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$هو الارتباط المتبادل لـ${\displaystyle x(t)}$مع${\displaystyle y(t)}$و${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$هو الارتباط المتبادل لـ${\displaystyle y(t)}$مع${\displaystyle x(t)}$في ضوء ذلك، يُنظر إلى قسم خدمات الحماية الشخصية على أنه حالة خاصة من قسم خدمات الحماية المدنية.${\displaystyle x(t)=y(t)}$. لو${\displaystyle x(t)}$و${\displaystyle y(t)}$هي إشارات حقيقية (مثل الجهد أو التيار)، وتحويلات فورييه الخاصة بها${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$و${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$عادةً ما تقتصر الترددات على الترددات الموجبة وفقًا للعرف. لذلك، في معالجة الإشارات النموذجية، فإنّ كثافة طيف القدرة الكاملة (CPSD) هي مجرد واحدة من كثافات طيف القدرة الكاملة (CPSD) مضروبة في اثنين. $${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

بالنسبة للإشارات المنفصلة x _n و y _n ، فإن العلاقة بين الكثافة الطيفية المتقاطعة والتباين المتقاطع هي $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

يُعدّ مفهوم طيف القدرة للإشارة واستخدامه أساسيًا في الهندسة الكهربائية ، لا سيما في أنظمة الاتصالات الإلكترونية ، بما في ذلك الاتصالات اللاسلكية والرادارات والأنظمة ذات الصلة، بالإضافة إلى تقنية الاستشعار عن بُعد السلبي . وتُستخدم أجهزة إلكترونية تُسمى محللات الطيف لمراقبة وقياس أطياف قدرة الإشارات.

يقيس محلل الطيف مقدار تحويل فورييه قصير المدى (STFT) لإشارة دخل. إذا أمكن اعتبار الإشارة المراد تحليلها عملية ثابتة، فإن تحويل فورييه قصير المدى يُعد تقديرًا جيدًا ومُنعّمًا لكثافة طيف قدرتها.

يتم تحديد التقلبات البدائية ، وهي اختلافات الكثافة في الكون المبكر، من خلال طيف القدرة الذي يعطي قوة الاختلافات كدالة للمقياس المكاني.