موجة ستوكس

وفقًا لنظرية ستوكس من الدرجة الثالثة، فإن ارتفاع السطح الحر η ، وجهد السرعة Φ، وسرعة الطور (أو السرعة) c ، وطور الموجة θ هي ، بالنسبة لموجة جاذبية سطحية متقدمة على المياه العميقة - أي أن طبقة السائل لها عمق لا نهائي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1+{\tfrac {1}{8}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ and}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$ أين

• يمثل x الإحداثي الأفقي؛
• z هو الإحداثي الرأسي، مع اتجاه z الموجب لأعلى - عكس اتجاه جاذبية الأرض - و z  =  0 يتوافق مع متوسط ​​ارتفاع السطح؛
• لقد حان الوقت؛
• a هي سعة الموجة من الدرجة الأولى ؛
• k هو العدد الموجي الزاوي ، k = 2 π / λ حيث λ هو الطول الموجي ؛
• ω هو التردد الزاوي , ω = 2 π / τ حيث τ هي الفترة , و
• g هي قوة جاذبية الأرض، وهي ثابتة في هذا التقريب.

يُعرف معامل التمدد ka بانحدار الموجة. تزداد سرعة الطور مع ازدياد اللاخطية ka للموجات. ارتفاع الموجة H ، وهو الفرق بين ارتفاع سطح الأرض η عند القمة والقاع ، هو: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {1}{2}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

لاحظ أن الحدين من الرتبة الثانية والثالثة في جهد السرعة Φ يساويان صفرًا. ولا تظهر المساهمات المنحرفة عن نظرية الرتبة الأولى - أي نظرية موجات آيري - إلا عند الرتبة الرابعة. ^{[ 6 ]} وحتى الرتبة الثالثة، يتكون حقل السرعة المدارية u  = ∇ Φ من حركة دائرية لمتجه السرعة عند كل موضع ( x , z ). ونتيجة لذلك، يكون ارتفاع سطح أمواج المياه العميقة، بتقريب جيد ، حلزونيًا ، كما أشار ستوكس (1847) . ^{[ 8 ]} 

لاحظ ستوكس كذلك أنه على الرغم من أن حقل السرعة المدارية من الرتبة الثالثة (في هذا الوصف الأويلري ) يتكون من حركة دائرية عند كل نقطة، فإن مسارات لاغرانج لجزيئات السائل ليست دوائر مغلقة. ويعود ذلك إلى انخفاض سعة السرعة مع ازدياد العمق تحت السطح. يُعرف هذا الانجراف اللاغرانجي لجزيئات السائل باسم انجراف ستوكس . ^{[ 8 ]}

يكون ارتفاع السطح η وجهد السرعة Φ وفقًا لنظرية ستوكس من الدرجة الثانية لموجات الجاذبية السطحية على طبقة سائلة ذات عمق متوسط ​​h : ^{[ 6 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{and}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

لاحظ أنه بالنسبة للأعماق المحدودة، يحتوي جهد السرعة Φ على انجراف خطي مع الزمن، مستقل عن الموقع ( x و z ). يتلاشى كل من هذا الانجراف الزمني وحد التردد المزدوج (الذي يحتوي على sin  2θ) في Φ بالنسبة لأمواج المياه العميقة.

علاقة التشتت من الدرجة الثالثة

بالنسبة لموجات ستوكس تحت تأثير الجاذبية، فإن علاقة التشتت من الدرجة الثالثة هي - وفقًا لتعريف ستوكس الأول للسرعة : ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{with}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

تُعد علاقة التشتت من الدرجة الثالثة هذه نتيجة مباشرة لتجنب الحدود العلمانية ، عند إدخال حل ستوكس من الدرجة الثانية في معادلات الدرجة الثالثة (لسلسلة الاضطراب لمسألة الموجة الدورية).

في المياه العميقة (طول موجي قصير مقارنة بالعمق): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$ وفي المياه الضحلة (أطوال موجية طويلة مقارنة بالعمق): $${\displaystyle \lim _{kh\to 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

كما هو موضح أعلاه ، فإن توسيع ستوكس للموجات الطويلة لعلاقة التشتت لن يكون صالحًا إلا لقيم صغيرة بما يكفي لمعامل أورسيل: U ≪ 100 .

تتمثل إحدى المشكلات الأساسية في إيجاد حلول لموجات الجاذبية السطحية في ضرورة تطبيق الشروط الحدية عند موضع السطح الحر ، وهو موضع غير معروف مسبقًا، وبالتالي يُعد جزءًا من الحل المطلوب إيجاده. وقد حلّ السير جورج ستوكس هذه المشكلة غير الخطية المتعلقة بالموجات عام 1847 عن طريق توسيع كميات التدفق الكامن ذات الصلة في متسلسلة تايلور حول متوسط ​​ارتفاع السطح (أو ارتفاع السطح الساكن). ^{[ 12 ]} ونتيجة لذلك، يمكن التعبير عن الشروط الحدية بدلالة الكميات عند متوسط ​​ارتفاع السطح (أو ارتفاع السطح الساكن) (وهو ارتفاع ثابت ومعروف).

بعد ذلك، يُبحث عن حل لمسألة الموجة غير الخطية (بما في ذلك متسلسلة تايلور حول متوسط ​​ارتفاع سطح البحر أو ارتفاعه الساكن) باستخدام متسلسلة اضطراب - تُعرف باسم متسلسلة ستوكس - بدلالة مُعامل صغير، غالبًا ما يكون انحدار الموجة. ويمكن حل الحدود المجهولة في المتسلسلة بالتتابع. ^{[ 6 ] [ 8 ]} غالبًا ما يكفي عدد قليل من الحدود لتوفير حل بدقة كافية للأغراض الهندسية. ^{[ 11 ]} ومن التطبيقات النموذجية تصميم المنشآت الساحلية والبحرية ، والسفن .

من خصائص الموجات غير الخطية الأخرى أن سرعة طورها تعتمد على ارتفاع الموجة . في منهج متسلسلة الاضطراب، يؤدي هذا بسهولة إلى تغير علماني زائف في الحل، وهو ما يتعارض مع السلوك الدوري للموجات. وقد حل ستوكس هذه المشكلة بتوسيع علاقة التشتت إلى متسلسلة اضطراب، باستخدام طريقة تُعرف الآن باسم طريقة ليندستيدت-بوانكاريه . ^{[ 6 ]}

تُعدّ نظرية ستوكس الموجية ، عند استخدام رتبة منخفضة من توسيع الاضطراب (مثل الرتبة الثانية أو الثالثة أو الخامسة)، صالحةً للأمواج غير الخطية في المياه المتوسطة والعميقة، أي للأطوال الموجية ( λ ) غير الكبيرة مقارنةً بالعمق المتوسط ​​( h ). أما في المياه الضحلة ، فإن توسيع ستوكس ذي الرتبة المنخفضة يفقد دقته (ويعطي نتائج غير واقعية) عند سعة موجية كبيرة (مقارنةً بالعمق). في هذه الحالة، تكون تقريبات بوسينسك أكثر ملاءمة. وتؤدي تقريبات إضافية على معادلات الموجات من نوع بوسينسك (متعددة الاتجاهات) - بالنسبة لانتشار الموجات أحادي الاتجاه - إلى معادلة كورتيغ-دي فريس أو معادلة بنجامين-بونا-ماهوني . ومثل حلول موجات ستوكس (شبه) الدقيقة، ^{[ 14 ]} فإن لهاتين المعادلتين حلولًا للموجات المنفردة ( السوليتون )، بالإضافة إلى حلول الموجات الدورية المعروفة باسم الموجات الجيبية . ^{[ 11 ]}

في عام 1914، قام ويلتون بتوسيع متسلسلة ستوكس لأمواج الجاذبية السطحية في المياه العميقة حتى الرتبة العاشرة، مع إدخال أخطاء عند الرتبة الثامنة. ^{[ 15 ]} وقد اشتق دي نظرية من الرتبة الخامسة للأعماق المحدودة في عام 1955. ^{[ 16 ]} تُعد صيغ فينتون من الرتبة الخامسة ملائمة للاستخدام الهندسي، حيث يمكن تطبيقها على كلٍ من تعريف ستوكس الأول والثاني لسرعة الطور (السرعة). ^{[ 17 ]} ويُفضل استخدام نظرية ستوكس من الرتبة الخامسة على نظرية الموجة الجيبية من الرتبة الخامسة عندما تكون معاملات أورسيل أقل من 40 تقريبًا. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

تتيح طرق ستوكس لحل مشكلة الموجات غير الخطية خياراتٍ متعددة لإطار المرجعية ومعاملات التوسع. ففي عام ١٨٨٠، عكس ستوكس نفسه المتغيرات التابعة والمستقلة، باعتبار جهد السرعة ودالة التدفق متغيرين مستقلين، والإحداثيات ( س ، ع ) متغيرين تابعين، حيث يمثل س الإحداثيات الأفقية ، وع الإحداثيات الرأسية. ^{[ ١٨ ]} تتمثل ميزة هذه الطريقة في أن السطح الحر، في إطار مرجعي تكون فيه الموجة مستقرة (أي تتحرك بسرعة الطور)، يتوافق مع خط تكون فيه دالة التدفق ثابتة. وبالتالي، يكون موقع السطح الحر معروفًا مسبقًا، وليس جزءًا مجهولًا من الحل. أما عيبها، فهو انخفاض نصف قطر تقارب متسلسلة التوسع المعاد صياغتها. ^{[ ١٩ ]}

ثمة نهج آخر يتمثل في استخدام إطار لاغرانج المرجعي ، باتباع حزم المائع . تُظهر صيغ لاغرانج تقاربًا مُحسَّنًا، مقارنةً بالصيغ في كلٍّ من إطار أويلر ، وفي الإطار الذي يكون فيه الجهد ودالة التدفق متغيرين مستقلين. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

توصل كرابر عام 1957 إلى حل دقيق للأمواج الشعرية النقية غير الخطية ذات الشكل الدائم، وذلك لعمق سائل لانهائي. تجدر الإشارة إلى أن هذه الأمواج الشعرية - كونها أمواجًا قصيرة ناتجة عن التوتر السطحي ، إذا تم إهمال تأثيرات الجاذبية - تتميز بانخفاضات حادة وقمم مسطحة. وهذا يختلف عن أمواج الجاذبية السطحية غير الخطية، التي تتميز أيضًا بقمم حادة وانخفاضات مسطحة. ^{[ 22 ]}

باستخدام النماذج الحاسوبية، واصل شوارتز (1974) توسيع ستوكس لموجات الجاذبية السطحية حتى الرتبة 117. وقد وجد شوارتز أن سعة الموجة الأساسية من الرتبة الأولى ( a أو a₁ ) تصل إلى أقصى قيمة لها قبل بلوغ أقصى ارتفاع للموجة (H) _. ونتيجة لذلك، فإن انحدار الموجة (ka) بدلالة سعة الموجة ليس دالة رتيبة حتى أعلى موجة، ولذا يستخدم شوارتز ( kH) كمعامل للتوسيع. ولتقدير أعلى موجة في المياه العميقة، استخدم شوارتز تقريبات باديه ومخططات دومب-سايكس لتحسين تقارب توسيع ستوكس. وتُقدم جداول موسعة لموجات ستوكس على أعماق مختلفة، محسوبة بطريقة مختلفة (ولكنها تتوافق مع نتائج باحثين آخرين)، في ويليامز ( 1981 ، 1985 ) . 

توجد عدة علاقات دقيقة بين الخصائص التكاملية، مثل الطاقة الحركية والطاقة الكامنة ، وزخم الموجة الأفقي ، وإجهاد الإشعاع ، كما وجد لونغيت-هيغينز (1975) . وقد بيّن، بالنسبة لموجات المياه العميقة، أن العديد من هذه الخصائص التكاملية تصل إلى قيمتها القصوى قبل بلوغ أقصى ارتفاع للموجة (مؤيدًا بذلك نتائج شوارتز). وباستخدام طريقة مشابهة لطريقة شوارتز، قام كوكليت (1978) بحساب الخصائص التكاملية وجدولتها لمجموعة واسعة من أعماق المياه المحدودة (حيث تصل جميعها إلى قيمها القصوى قبل بلوغ أعلى ارتفاع للموجة). علاوة على ذلك، تلعب هذه الخصائص التكاملية دورًا هامًا في قوانين حفظ الطاقة لموجات الماء، من خلال نظرية نوثر . ^{[ 25 ]}

في عام 2005، قدم هاماك وهندرسون وسيغور أول دليل تجريبي على وجود موجات تقدمية ثلاثية الأبعاد ذات شكل دائم في المياه العميقة، أي أنماط موجات تقدمية ثنائية الدورية وثنائية الأبعاد ذات شكل دائم. ^{[ 26 ]} وقد كُشف عن وجود هذه الموجات الثلاثية الأبعاد المستقرة في المياه العميقة في عام 2002، من خلال دراسة تشعب موجات ستوكس ثنائية الأبعاد أجراها كريغ ونيكولز، باستخدام الطرق العددية. ^{[ 27 ]}

في كثير من الحالات، يمكن وصف التدفق التذبذبي داخل المائع في الأمواج السطحية بدقة باستخدام نظرية التدفق الكامن ، باستثناء الطبقات الحدية القريبة من السطح الحر والقاع (حيث تكون الدوامة مهمة بسبب التأثيرات اللزجة ، انظر طبقة ستوكس الحدية ). ^{[ 49 ]} عندئذٍ، يمكن وصف سرعة التدفق u بأنها تدرج جهد السرعة .${\displaystyle \Phi }$:

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi .}$$

أ

وبالتالي، وبافتراض أن التدفق غير قابل للانضغاط ، فإن حقل السرعة u يكون خالياً من التباعد ويكون جهد السرعة${\displaystyle \Phi }$يحقق معادلة لابلاس ^{[ 49 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$$

ب

في الداخل السائل.

تُوصَف منطقة المائع باستخدام إحداثيات ديكارتية ثلاثية الأبعاد ( x ، y ، z )، حيث يُمثل x و y الإحداثيات الأفقية، و z الإحداثي الرأسي - مع كون الاتجاه الموجب لـ z معاكساً لاتجاه تسارع الجاذبية . يُرمز للزمن بـ t . يقع السطح الحر عند z = η ( x , y , t ) ، ويقع قاع منطقة المائع عند z = −h ( x , y ) .

تتألف شروط الحدود للسطح الحر لأمواج الجاذبية السطحية - باستخدام وصف التدفق الكامن - من شرط حدودي حركي وشرط حدودي ديناميكي . ^{[ 50 ]} يضمن الشرط الحدودي الحركي أن يكون المكون العمودي لسرعة تدفق المائع ،${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$في تدوين المصفوفات، عند السطح الحر، يساوي مركبة السرعة العمودية لحركة السطح الحر z = η ( x , y , t ) :

$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$$

ج

تنص شروط الحدود الديناميكية على أنه في غياب تأثيرات التوتر السطحي ، يكون الضغط الجوي فوق السطح الحر مساويًا لضغط المائع أسفل السطح مباشرةً. بالنسبة للتدفق الكامن غير المستقر، يعني هذا تطبيق معادلة برنولي على السطح الحر. أما في حالة ثبات الضغط الجوي، فتصبح شروط الحدود الديناميكية كما يلي:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}+g\,\eta =0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t),}$$

د

حيث تم اعتبار الضغط الجوي الثابت مساوياً للصفر، دون فقدان للعمومية .

يحتوي كلا الشرطين الحدوديين على الجهد${\displaystyle \Phi }$بالإضافة إلى ارتفاع السطح η . شرط حدودي (ديناميكي) بدلالة الجهد فقط${\displaystyle \Phi }$يمكن بناؤها عن طريق أخذ المشتق المادي لشرط الحدود الديناميكي، واستخدام شرط الحدود الحركي: ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]}$${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$$${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

$${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0\qquad {\text{ at }}z=\eta (x,y,t).}$$

هـ

في أسفل طبقة السائل، يتطلب عدم النفاذية أن يختفي المكون الطبيعي لسرعة التدفق: ^{[ 49 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial n}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial y}}\right)^{2}}}}\,\left\{{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+{\frac {\partial h}{\partial x}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial h}{\partial y}}\,{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\right\}=0,\qquad {\text{ at }}z=-h(x,y),}$$

F

حيث h ( x , y ) هو عمق الطبقة أسفل المرجع z = 0 و n هو مكون الإحداثيات في الاتجاه العمودي على الطبقة .

بالنسبة للأمواج الدائمة فوق قاع أفقي، يكون متوسط ​​العمق h ثابتًا وتصبح شروط الحدود عند القاع كما يلي: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

تُطبَّق شروط الحدود للسطح الحر (D) و (E) عند ارتفاع السطح الحر غير المعروف بعد z = η ( x , y , t ) . ويمكن تحويلها إلى شروط حدودية عند ارتفاع ثابت z = ثابت باستخدام متسلسلات تايلور لحقل التدفق حول هذا الارتفاع. ^{[ 49 ]} وبدون فقدان للعمومية، يمكن اعتبار متوسط ​​ارتفاع السطح - الذي تُطوَّر حوله متسلسلات تايلور - عند z = 0. وهذا يضمن أن يكون التوسع حول ارتفاع قريب من ارتفاع السطح الحر الفعلي. وقد أثبت ليفي-سيفيتا (1925) تقارب متسلسلات تايلور لحركة الموجة المستقرة ذات السعة الصغيرة .

يتم استخدام الترميز التالي: متسلسلة تايلور لبعض الحقول f ( x , y , z , t ) حول z = 0 – ويتم تقييمها عند z = η ( x , y , t ) – هي: ^{[ 52 ]}$${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$ مع الرمز السفلي صفر يعني التقييم عند z = 0 ، على سبيل المثال: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) .

بتطبيق توسيع تايلور على شرط الحدود السطحية الحرة المعادلة (E) بدلالة الجهد Φ يعطي: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}+\left[{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)\right]_{0}\\&\quad +\cdots =0,\end{aligned}}}$$

جي

يُظهر الشكل الحدود حتى حاصل الضرب الثلاثي لـ η و Φ و u ، كما هو مطلوب لبناء متسلسلة ستوكس حتى الرتبة الثالثة O (( ka ) ^³ ). هنا، ka هو انحدار الموجة، و k هو عدد موجي مميز ، و a هو سعة موجة مميزة للمسألة قيد الدراسة. يُفترض أن الحقول η و Φ و u من الرتبة O ( ka ).

يمكن تقييم شرط الحدود الديناميكي للسطح الحر (D) بدلالة الكميات عند z = 0 كما يلي: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\,\eta \right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t\,\partial z}}\right]_{0}+{\biggl [}{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}{\biggr ]}_{0}\\&\quad +{\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\left[{\frac {\partial ^{3}\Phi }{\partial t\,\partial z^{2}}}\right]_{0}+\eta \left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} \right|^{2}\right)\right]_{0}+\cdots =0.\end{aligned}}}$$

ح

تظهر مزايا توسعات سلسلة تايلور هذه بشكل كامل عند دمجها مع نهج سلسلة الاضطراب، بالنسبة للموجات غير الخطية الضعيفة ( ka ≪ 1) .

تُعطى متسلسلة الاضطراب بدلالة معامل ترتيب صغير ε ≪ 1 ، والذي يتضح لاحقًا أنه يتناسب مع (ومن رتبة) ميل الموجة ka ، انظر حل المتسلسلة في هذا القسم . ^{[ 53 ]} لذا، نأخذ ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

عند تطبيقها في معادلات التدفق، ينبغي أن تكون صالحة بغض النظر عن القيمة المحددة لـ ε . وبمساواة الحدود بقوى ε ، يجب أن يساوي كل حد متناسب مع ε مرفوعًا لقوة معينة صفرًا. كمثال على كيفية عمل منهج سلسلة الاضطراب، لنأخذ شرط الحدود غير الخطي (G) ؛ فيصبح كما يلي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

تكون شروط الحدود الناتجة عند z = 0 للرتب الثلاث الأولى كما يلي:

الطلب الأول:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}=0,}$$

J1

الترتيب الثاني:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right),}$$

J2

الدرجة الثالثة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)-\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)\\&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right).\end{aligned}}}$$

J3

وبالمثل، من خلال شرط الحدود الديناميكي (H) ، تصبح الشروط عند z = 0 عند الرتب 1 و2 و3 كما يلي:

الطلب الأول:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial t}}+g\,\eta _{1}=0,}$$

K1

الترتيب الثاني:

$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial t}}+g\,\eta _{2}=-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-{\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2},}$$

K2

الدرجة الثالثة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial t}}+g\,\eta _{3}=&-\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t\,\partial z}}-\eta _{2}\,{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z}}-\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\\&-{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{3}\Phi _{1}}{\partial t\,\partial z^{2}}}-\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\tfrac {1}{2}}\,\left|\mathbf {u} _{1}\right|^{2}\right).\end{aligned}}}$$

K3

بالنسبة للمعادلات الخطية (أ) و (ب) و (و)، فإن تقنية الاضطراب تؤدي إلى سلسلة من المعادلات المستقلة عن حلول الاضطراب عند الرتب الأخرى:

$${\displaystyle \left.{\begin{array}{rcl}\mathbf {u} _{j}&=&{\boldsymbol {\nabla }}\Phi _{j},\\[1ex]\nabla ^{2}\Phi _{j}&=&0,\\[1ex]\displaystyle {\frac {\partial \Phi _{j}}{\partial n}}&=&0\quad {\text{ at }}z=-h,\end{array}}\right\}\qquad {\text{for all orders }}j\in \mathbb {N} ^{+}.}$$

ل

يمكن حل معادلات الاضطراب المذكورة أعلاه بشكل متسلسل، أي بدءًا من الدرجة الأولى، ثم الاستمرار بالدرجة الثانية، والدرجة الثالثة، وما إلى ذلك.

تنتشر الموجات ذات الشكل الدائم بسرعة طور ثابتة (أو سرعة ثابتة )، يُرمز لها بـ c . إذا كانت حركة الموجة المستقرة في الاتجاه الأفقي x ، فإن كميات التدفق η و u لا تعتمد بشكل منفصل على x والزمن t ، ولكنها دوال لـ x − ct : ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

علاوة على ذلك، فإن الموجات دورية - ولأنها ذات شكل ثابت - سواء في الفضاء الأفقي x أو في الزمن t ، بطول موجي λ ودورة τ على التوالي. تجدر الإشارة إلى أن Φ ( x , z , t ) نفسها ليست دورية بالضرورة نظرًا لإمكانية حدوث انحراف ثابت (خطي) في x و/أو t : ^{[ 56 ]}$${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$ مع كون φ ( x , z , t ) - وكذلك المشتقات ∂Φ / ∂t و∂ Φ / ∂x - دورية. هنا، β هي متوسط ​​سرعة التدفق أسفل مستوى القاع ، و γ مرتبطة بالضغط الهيدروليكي كما يُلاحظ في إطار مرجعي يتحرك بسرعة طور الموجة c (وبالتالي يصبح التدفق مستقرًا في هذا الإطار المرجعي).

من أجل تطبيق توسيع ستوكس على الموجات الدورية التقدمية، من المفيد وصفها من خلال متسلسلة فورييه كدالة لطور الموجة θ ( x , t ): ^{[ 48 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

بافتراض انتشار الموجات في اتجاه المحور السيني . هنا k = 2 π / λ هو العدد الموجي ، و ω = 2 π / τ هو التردد الزاوي، و c = ω / k (= λ / τ ) هي سرعة الطور .

الآن، يمكن وصف ارتفاع السطح الحر η ( x , t ) لموجة دورية على أنه سلسلة فورييه : ^{[ 11 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

وبالمثل، فإن التعبير المقابل لجهد السرعة Φ ( x , z , t ) هو: ^{[ 56 ]}$${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

تحقيق كل من معادلة لابلاس ∇ ² Φ = 0 في الجزء الداخلي للسائل، وكذلك شرط الحدود ∂ Φ /∂ z = 0 عند الطبقة z = − h .

بالنسبة لقيمة معينة للعدد الموجي k ، لم يتم تحديد المعاملات التالية بعد: A _{_n} ، B _{_n} (حيث n = 1، 2، 3، ... )، c ، β ، و γ . ويمكن توسيعها جميعًا كمتسلسلات اضطراب في ε . وقد قدم فينتون (1990) هذه القيم لنظرية ستوكس الموجية من الرتبة الخامسة.

بالنسبة للموجات الدورية التقدمية، يمكن التعبير عن مشتقات الدوال f ( θ , z ) لـ θ ( x , t ) بالنسبة إلى x و t كمشتقات بالنسبة إلى θ : $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

تكمن النقطة المهمة في الموجات غير الخطية - على عكس نظرية موجات آيري الخطية - في أن سرعة الطور c تعتمد أيضًا على سعة الموجة a ، بالإضافة إلى اعتمادها على الطول الموجي λ = 2π / k ومتوسط ​​العمق h . يؤدي إهمال اعتماد c على سعة الموجة إلى ظهور حدود علمانية في المساهمات ذات الرتبة الأعلى لحل متسلسلة الاضطراب. وقد طبق ستوكس (1847) التصحيح غير الخطي المطلوب لسرعة الطور c لمنع السلوك العلماني. يُعرف النهج العام للقيام بذلك الآن باسم طريقة ليندستيدت-بوانكاريه . بما أن العدد الموجي k مُعطى وبالتالي ثابت، يتم أخذ السلوك غير الخطي لسرعة الطور c = ω / k في الاعتبار عن طريق توسيع التردد الزاوي ω في متسلسلة اضطراب: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

هنا _، سيتبين أن ω₀ مرتبط بالعدد الموجي k من خلال علاقة التشتت الخطية . مع ذلك، فإن المشتقات الزمنية، من خلال ∂f / ∂t = −ω₀ و∂ f / ∂θ ، تُسهم أيضًا - بما في ذلك ω₁ وω₂، إلخ - في المعادلات الحاكمة عند الرتب العليا في سلسلة الاضطراب. من خلال ضبط ω₁ و ω₂ _، إلخ ، يمكن منع _السلوك العلماني _. بالنسبة لموجات الجاذبية السطحية، وُجد أن ω₁ = 0 وأن أول مساهمة غير صفرية في علاقة التشتت تأتي من ω₂ (انظر _{، على سبيل المثال ،} القسم الفرعي " علاقة التشتت من الرتبة الثالثة " أعلاه) ^{. [ 9} _]