التذبذب

التذبذب هو التغير المتكرر أو الدوري ، عادةً مع مرور الوقت ، لمقدار ما حول قيمة مركزية (غالباً نقطة توازن ) أو بين حالتين أو أكثر. من الأمثلة الشائعة على التذبذب البندول المتأرجح والتيار المتردد . تُستخدم التذبذبات بكثرة في الفيزياء لتقريب التفاعلات المعقدة، مثل تلك التي تحدث بين الذرات.

لا تقتصر التذبذبات على الأنظمة الميكانيكية فحسب، بل تشمل أيضاً الأنظمة الديناميكية في جميع مجالات العلوم تقريباً: على سبيل المثال، نبضات القلب البشري (للدورة الدموية)، والدورات الاقتصادية ، ودورات التكاثر بين المفترس والفريسة في علم البيئة ، والينابيع الحرارية في علم الجيولوجيا ، واهتزاز أوتار الغيتار والآلات الوترية الأخرى ، والإشارات العصبية الدورية في الدماغ، والانتفاخ الدوري للنجوم المتغيرة من نوع سيفيد في علم الفلك . ويُستخدم مصطلح "الاهتزاز" تحديداً لوصف التذبذب الميكانيكي.

قد يكون التذبذب، وخاصة التذبذب السريع، ظاهرة غير مرغوب فيها في التحكم بالعمليات ونظرية التحكم (مثل التحكم بالنمط الانزلاقي )، حيث يكون الهدف هو التقارب إلى حالة مستقرة . في هذه الحالات، يُطلق عليه اسم الارتعاش أو الرفرفة، كما هو الحال في ارتعاش الصمامات ورفرفة المسار .

أبسط نظام اهتزازي ميكانيكي هو ثقل متصل بنابض خطي يخضع فقط للوزن والشد . يمكن تقريب هذا النظام على طاولة هوائية أو سطح جليدي. يكون النظام في حالة اتزان عندما يكون النابض ساكنًا. إذا أُزيح النظام عن حالة الاتزان، تتولد قوة استعادة محصلة على الكتلة، تميل إلى إعادتها إلى حالة الاتزان. مع ذلك، عند تحريك الكتلة عائدةً إلى موضع الاتزان، فإنها تكتسب زخمًا يُبقيها متحركةً بعد ذلك الموضع، مما يُنشئ قوة استعادة جديدة في الاتجاه المعاكس. إذا أُضيفت قوة ثابتة ، مثل قوة الجاذبية ، إلى النظام، فإن نقطة الاتزان تتغير. يُشار غالبًا إلى الزمن اللازم لحدوث اهتزاز باسم دورة الاهتزاز .

تُوصَف الأنظمة التي تتناسب فيها قوة الاستعادة المؤثرة على الجسم تناسبًا طرديًا مع إزاحته، مثل ديناميكيات نظام الكتلة والنابض، رياضيًا بواسطة المذبذب التوافقي البسيط ، وتُعرف الحركة الدورية المنتظمة بالحركة التوافقية البسيطة . في نظام الكتلة والنابض، تحدث التذبذبات لأن الكتلة، عند إزاحة التوازن الساكن ، تمتلك طاقة حركية تتحول إلى طاقة كامنة مُخزّنة في النابض عند أقصى نقطة في مسارها. يُوضّح نظام الكتلة والنابض بعض السمات الشائعة للتذبذب، وهي وجود حالة توازن ووجود قوة استعادة تزداد قوتها كلما ابتعد النظام عن حالة التوازن.

في حالة نظام الكتلة والنابض، ينص قانون هوك على أن قوة الاستعادة للنابض هي: $${\displaystyle F=-kx}$$

باستخدام قانون نيوتن الثاني ، يمكن اشتقاق المعادلة التفاضلية: $${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\أوميغا ^{2}x,}$$ أين${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

ينتج عن حل هذه المعادلة التفاضلية دالة موضع جيبية: $${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

حيث ω هي تردد التذبذب، وA هي السعة، و δ هي إزاحة الطور للدالة. وتُحدد هذه القيم بالشروط الابتدائية للنظام. ولأن دالة جيب التمام تتذبذب بين 1 و-1 إلى ما لا نهاية، فإن نظام الكتلة والنابض لدينا سيتذبذب بين السعة الموجبة والسالبة إلى الأبد في غياب الاحتكاك.

في بُعدين أو ثلاثة أبعاد، تتصرف المذبذبات التوافقية بشكل مشابه لسلوكها في بُعد واحد. وأبسط مثال على ذلك هو المذبذب المتناحي ، حيث تتناسب قوة الاستعادة طرديًا مع الإزاحة عن وضع الاتزان، مع ثبات ثابت الاستعادة في جميع الاتجاهات. $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

ينتج عن هذا حل مشابه، ولكن الآن توجد معادلة مختلفة لكل اتجاه. $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

جميع أنظمة التذبذب في العالم الحقيقي غير قابلة للانعكاس من الناحية الديناميكية الحرارية . وهذا يعني وجود عمليات تبديدية، مثل الاحتكاك أو المقاومة الكهربائية ، التي تحوّل باستمرار جزءًا من الطاقة المخزنة في المذبذب إلى حرارة في البيئة المحيطة. يُسمى هذا التخميد. وبالتالي، تميل التذبذبات إلى التلاشي مع مرور الوقت ما لم يكن هناك مصدر صافٍ للطاقة في النظام. ويمكن توضيح أبسط وصف لعملية التلاشي هذه من خلال تلاشي تذبذب المذبذب التوافقي.

تتولد المذبذبات المخمدة عند تطبيق قوة مقاومة تعتمد على المشتقة الأولى للموضع، أو السرعة في هذه الحالة. تضيف المعادلة التفاضلية الناتجة عن قانون نيوتن الثاني هذه القوة المقاومة مع ثابت اختياري b . يفترض هذا المثال اعتمادًا خطيًا على السرعة. $${\displaystyle م{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كما كانت من قبل: $${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ أين${\textstyle 2\beta ={\frac {b}{m}}}$.

وهذا ينتج عنه الحل العام: $${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$ أين${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$.

يمثل الحد الأسي خارج القوسين دالة التضاؤل ، و β هو معامل التخميد. توجد ثلاث فئات من المذبذبات المخمدة: المخمدة جزئيًا، حيث β < ω₀ ؛ والمخمدة كليًا، حيث β > ω₀ _{؛ والمخمدة} حرجًا، حيث β = ω₀ _.

بالإضافة إلى ذلك، قد يتعرض النظام المتذبذب لقوة خارجية، كما هو الحال عند توصيل دائرة التيار المتردد بمصدر طاقة خارجي. في هذه الحالة، يُقال إن التذبذب مدفوع .

أبسط مثال على ذلك هو نظام الكتلة والنابض ذو قوة دافعة جيبية .$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$أين${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

وهذا يعطي الحل:$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$ أين${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$و${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

يمثل الحد الثاني من x ( t ) الحل العابر للمعادلة التفاضلية. ويمكن إيجاد هذا الحل باستخدام الشروط الابتدائية للنظام.

يمكن إثارة بعض الأنظمة عن طريق نقل الطاقة من البيئة المحيطة. ويحدث هذا النقل عادةً عندما تكون الأنظمة مغمورة في تدفق سائل . على سبيل المثال، تحدث ظاهرة الرفرفة في الديناميكا الهوائية عندما تؤدي إزاحة صغيرة لجناح طائرة (عن وضع اتزانه) إلى زيادة زاوية هجوم الجناح على تدفق الهواء، وبالتالي زيادة معامل الرفع ، مما يؤدي إلى إزاحة أكبر. عند الإزاحات الكبيرة بما يكفي، تتغلب صلابة الجناح لتوفير قوة الاستعادة التي تُمكّن من حدوث التذبذب.

يمتلك المذبذب التوافقي والأنظمة التي يُحاكيها درجة حرية واحدة . أما الأنظمة الأكثر تعقيدًا فلها درجات حرية أكثر، مثل كتلتين وثلاثة نوابض (كل كتلة مُثبتة بنقاط ثابتة وبالكتل الأخرى). في مثل هذه الحالات، يؤثر سلوك كل متغير على سلوك المتغيرات الأخرى، مما يؤدي إلى اقتران تذبذبات درجات الحرية الفردية. على سبيل المثال، تميل ساعتا بندول (ذات تردد متطابق) مثبتتان على جدار مشترك إلى التزامن. وقد لاحظ كريستيان هويغنز هذه الظاهرة لأول مرة عام 1665. ^{[ 2 ]} عادةً ما تبدو الحركات الظاهرية للتذبذبات المركبة معقدة للغاية، ولكن يُمكن تقديم وصف أكثر اقتصادية وأبسط حسابيًا وأعمق من الناحية المفاهيمية من خلال تحليل الحركة إلى أنماط طبيعية .

أبسط أشكال المذبذبات المتصلة هو نظام مكون من ثلاثة نوابض وكتلتين، حيث تكون الكتل وثوابت النوابض متساوية. تبدأ هذه المسألة باشتقاق قانون نيوتن الثاني لكلا الكتلتين. $${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

ثم يتم تعميم المعادلات إلى شكل مصفوفة. $${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$ أين${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$، ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$، و${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

يمكن استبدال قيم k و m في المصفوفات. $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

يمكن الآن إدخال هذه المصفوفات في الحل العام.$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(kM\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}}$$

محدد هذه المصفوفة ينتج عنه معادلة تربيعية. $$\begin{aligned}\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(km\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

اعتمادًا على نقطة انطلاق الكتلتين، يمتلك هذا النظام ترددين محتملين (أو مزيجًا منهما). إذا بدأت الكتلتان بإزاحاتهما في نفس الاتجاه، يكون التردد هو تردد نظام كتلة واحدة، لأن الزنبرك الأوسط لا يمتد أبدًا. أما إذا بدأت الكتلتان في اتجاهين متعاكسين، فإن التردد الثاني، وهو الأسرع، هو تردد النظام. ^{[ 1 ]}

ومن الحالات الخاصة الأخرى المذبذبات المقترنة حيث تتناوب الطاقة بين شكلين من أشكال التذبذب. ومن الأمثلة المعروفة بندول ويلبرفورس ، حيث يتناوب التذبذب بين استطالة نابض رأسي ودوران جسم في نهاية ذلك النابض.

المذبذبات المقترنة هي وصف شائع لظاهرتين مترابطتين، لكنهما مختلفتان. في الحالة الأولى، يؤثر كلا التذبذبين على الآخر بشكل متبادل، مما يؤدي عادةً إلى ظهور حالة تذبذب واحدة متزامنة، حيث يتذبذب كلاهما بتردد متقارب . أما في الحالة الثانية، فيؤثر تذبذب خارجي على تذبذب داخلي، دون أن يتأثر به. في هذه الحالة، يمكن أن تؤدي مناطق التزامن، المعروفة باسم "ألسنة أرنولد" ، إلى ظواهر بالغة التعقيد، مثل الديناميكيات الفوضوية.

في الفيزياء، يمكن تقريب نظام ذي مجموعة من القوى المحافظة ونقطة اتزان على أنه مذبذب توافقي قريب من حالة الاتزان. ومن الأمثلة على ذلك جهد لينارد-جونز ، حيث يُعطى الجهد بالصيغة التالية: $${\displaystyle U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

ثم يتم إيجاد نقاط التوازن للدالة: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

ثم يتم إيجاد المشتقة الثانية، وتستخدم لتكون ثابت الجهد الفعال: $$\displaystyle \begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

سيخضع النظام لتذبذبات بالقرب من نقطة التوازن. وتُستمد القوة التي تُحدث هذه التذبذبات من ثابت الجهد الفعال المذكور أعلاه. $${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة التفاضلية في شكل مذبذب توافقي بسيط: $${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0}$$

وبالتالي، فإن تردد التذبذبات الصغيرة هو: $${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}}$$

أو، بشكل عام ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

يمكن فهم هذا التقريب بشكل أفضل من خلال النظر إلى منحنى الجهد للنظام. تخيّل منحنى الجهد كجبل، فإذا وُضعت كرة في أي مكان على هذا المنحنى، فإنها ستتدحرج إلى أسفل بانحدار منحنى الجهد. هذا صحيح بسبب العلاقة بين طاقة الوضع والقوة. $${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

بالتفكير في الإمكانات بهذه الطريقة، سيتضح أنه عند أي حد أدنى محلي، توجد "بئر" تتدحرج فيها الكرة ذهابًا وإيابًا (تتذبذب) بينها${\displaystyle r_{\text{min}}}$و${\displaystyle r_{\text{max}}}$يُعد هذا التقريب مفيدًا أيضًا للتفكير في مدارات كبلر .

عندما يصبح عدد درجات الحرية كبيرًا جدًا، يقترب النظام من حالة الاستمرارية ؛ ومن الأمثلة على ذلك الوتر أو سطح الماء . تمتلك هذه الأنظمة (في الحد الكلاسيكي ) عددًا لا نهائيًا من الأنماط الطبيعية، وتحدث تذبذباتها على شكل موجات يمكن أن تنتشر بشكل مميز.

يتناول علم رياضيات التذبذب تحديد مقدار تحرك متتالية أو دالة بين القيم القصوى. وهناك عدة مفاهيم ذات صلة: تذبذب متتالية من الأعداد الحقيقية ، وتذبذب دالة حقيقية عند نقطة معينة، وتذبذب دالة على فترة (أو مجموعة مفتوحة ).

• الوسائط المتعلقة بالتذبذب على ويكيميديا ​​كومنز
• اهتزازات مؤرشفة بتاريخ 14 ديسمبر 2010 على موقع Wayback Machine - فصل من كتاب مدرسي إلكتروني