الجبر البولياني الأحادي

في الجبر المجرد ، الجبر البولياني الأحادي هو بنية جبرية A ذات توقيع

⟨·, +, ', 0, 1, ∃⟩ من النوع ⟨2,2,1,0,0,1⟩,

حيث ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ هو جبر بولياني .

يشير المشغل الأحادي / المونادي ∃ إلى الكمي الوجودي ، الذي يلبي الهويات (باستخدام تدوين البادئة المستلمة لـ ∃):

• ∃0 = 0
• ∃ س ≥ س
• ∃( س + ص ) = ∃س + ∃ص
• ∃ x ∃ y = ∃( x ∃ y ).

∃ x هو الإغلاق الوجودي لـ x . ثنائي إلى ∃ هو العامل الأحادي ∀، الكمي الشامل ، والذي يتم تعريفه على أنه ∀ x  := (∃ x ′ ) ′ .

الجبر البولياني الأحادي له تعريف وترميز ثنائي يأخذ ∀ كبدائي و∃ كما هو مُعرَّف، بحيث ∃ x  := (∀ x ′ ) ′ . (قارن هذا بتعريف الجبر البولياني الثنائي .) وبالتالي، مع هذا الترميز، يكون للجبر A توقيع ⟨·, +, ', 0, 1, ∀⟩ ، مع ⟨ A , ·, +, ', 0, 1⟩ جبر بولياني، كما في السابق. علاوة على ذلك، يلبي ∀ الإصدار المزدوج التالي من الهويات المذكورة أعلاه:

1. ∀1 = 1
2. ∀ س ≤ س
3. ∀( xy ) = ∀ x ∀ y
4. ∀ x + ∀ y = ∀( x + ∀ y ) .

∀ x هو الإغلاق الشامل لـ x .

الجبر البولياني الأحادي له ارتباط مهم بالطوبولوجيا . إذا تم تفسير ∀ على أنه العامل الداخلي للطوبولوجيا، فإن (1) - (3) أعلاه بالإضافة إلى البديهية ∀(∀ x ) = ∀ x تشكل البديهيات للجبر الداخلي . ولكن يمكن إثبات ∀(∀ x ) = ∀ x من (1) - (4). علاوة على ذلك، تتكون البديهية البديلة للجبر البولياني الأحادي من البديهيات (المعاد تفسيرها) للجبر الداخلي ، بالإضافة إلى ∀(∀ x )' = (∀ x )' (Halmos 1962: 22). وبالتالي فإن الجبر البولياني الأحادي هو جبر داخلي/ إغلاقي شبه بسيط بحيث:

• يفسر الكمي الشامل (الثنائي الوجودي) عامل الإغلاق الداخلي ؛
• جميع العناصر المفتوحة (أو المغلقة) تكون أيضًا مفتوحة .

هناك بديهية أكثر إيجازًا للجبر البولياني الأحادي وهي (1) و(2) أعلاه، بالإضافة إلى ∀( x ∨∀ y ) = ∀ x ∨∀ y (Halmos 1962: 21). هذه البديهية تحجب الصلة بالطوبولوجيا.

تشكل الجبر البولياني الأحادي مجموعة متنوعة . فهي بالنسبة لمنطق المسند الأحادي ما هي الجبر البولياني بالنسبة لمنطق القضايا ، وما هي الجبر البولياني بالنسبة لمنطق الدرجة الأولى . اكتشف بول هالموس الجبر البولياني الأحادي أثناء عمله على الجبر البولياني؛ وأعاد هالموس (1962) طباعة الأوراق ذات الصلة. تضمن هالموس وجيفانت (1998) معالجة جامعية للجبر البولياني الأحادي.

كما أن الجبر البولياني الأحادي له ارتباط مهم بالمنطق النمطي . المنطق النمطي S5 ، الذي يُنظر إليه كنظرية في S4 ، هو نموذج للجبر البولياني الأحادي بنفس الطريقة التي يُعَد بها S4 نموذجًا للجبر الداخلي. وعلى نحو مماثل، توفر الجبر البولياني الأحادي الدلالات الجبرية لـ S5 . وبالتالي فإن جبر S5 هو مرادف للجبر البولياني الأحادي.

• مجموعة كلوبن
• الجبر الأسطواني
• الجبر الداخلي
• مسلمات إغلاق كوراتوفسكي
• جبر لوكاسيفيتش-مويزيل
• المنطق النمطي
• المنطق الأحادي

• بول هالموس ، 1962. المنطق الجبري . نيويورك: تشيلسي.
• ------ وستيفن جيفانت، 1998. المنطق كجبر . الجمعية الرياضية الأمريكية.