الجبر الأسطواني

في الرياضيات ، ينشأ مفهوم الجبر الأسطواني ، الذي طوره ألفريد تارسكي ، بشكل طبيعي في صياغة منطق الرتبة الأولى مع المساواة . وهذا يُشابه دور الجبر البولياني في منطق القضايا . الجبر الأسطواني هو جبر بولياني مُجهز بعمليات أسطوانية إضافية تُحاكي التكميم والمساواة . وهو يختلف عن الجبر متعدد الحدود في أن الأخير لا يُحاكي المساواة.

لا ينبغي الخلط بين الجبر الأسطواني ومفهوم الجبر الأسطواني في نظرية القياس الذي يظهر في دراسة قياسات مجموعة الأسطوانات والجبر الأسطواني σ .

جبر أسطواني ذو بُعد${\displaystyle \alpha }$(أين${\displaystyle \alpha }$(أي عدد ترتيبي ) هو بنية جبرية${\displaystyle (A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }}$بحيث${\displaystyle (A,+,\cdot ,-,0,1)}$هو جبر بولياني ،${\displaystyle c_{\kappa }}$عامل أحادي على${\displaystyle A}$لكل${\displaystyle \kappa }$(وتسمى عملية التسطوين )، و${\displaystyle d_{\kappa \lambda }}$عنصر مميز من${\displaystyle A}$لكل${\displaystyle \kappa }$و${\displaystyle \lambda }$(يسمى قطريًا )، بحيث تتحقق الشروط التالية:

(ج1) ${\displaystyle c_{\kappa}0=0}$

(ج2) ${\displaystyle x\leq c_{\kappa }x}$

(ج3) ${\displaystyle c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y}$

(ج4) ${\displaystyle c_{\kappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_{\kappa }x}$

(ج5) ${\displaystyle d_{\kappa \kappa }=1}$

(ج6) إذا${\displaystyle \kappa \notin \{\lambda ,\mu \}}$، ثم${\displaystyle d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })}$

(ج7) إذا${\displaystyle \kappa \neq \lambda }$، ثم${\displaystyle c_{\kappa}(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa}(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0}$

بافتراض عرض منطق الرتبة الأولى بدون رموز الدوال ، فإن العامل${\displaystyle c_{\kappa }x}$نماذج التحديد الكمي الوجودي على المتغيرات${\displaystyle \kappa }$في الصيغة${\displaystyle x}$بينما المشغل${\displaystyle d_{\kappa \lambda }}$نماذج تساوي المتغيرات${\displaystyle \kappa }$و${\displaystyle \lambda }$وبالتالي، عند إعادة صياغتها باستخدام الرموز المنطقية القياسية، تصبح البديهيات كما يلي:

(ج1) ${\displaystyle \exists \kappa .{\mathit {false}}\iff {\mathit {false}}}$

(ج2) ${\displaystyle x\implies \exists \kappa .x}$

(ج3) ${\displaystyle \exists \kappa .(x\wedge \exists \kappa .y)\iff (\exists \kappa .x)\wedge (\exists \kappa .y)}$

(ج4) ${\displaystyle \exists \kappa \exists \lambda .x\iff \exists \lambda \exists \kappa .x}$

(ج5) ${\displaystyle \kappa =\kappa \iff {\mathit {true}}}$

(ج6) إذا${\displaystyle \kappa }$متغير يختلف عن كليهما${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$، ثم${\displaystyle \lambda =\mu \iff \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )}$

(ج7) إذا${\displaystyle \kappa }$و${\displaystyle \lambda }$إذا كانت متغيرات مختلفة،${\displaystyle \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\iff {\mathit {false}}}$

جبر مجموعة أسطوانية ذات بُعد${\displaystyle \alpha }$هو بنية جبرية${\displaystyle (A,\cup ,\cap ,-,\emptyset ,X^{\alpha },c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }}$بحيث${\displaystyle \langle X^{\alpha },A\rangle }$هو حقل من المجموعات ،${\displaystyle c_{\kappa }S}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \{y\in X^{\alpha }\mid \exists x\in S\ \forall \beta \neq \kappa \ y(\beta )=x(\beta )\}}$، و${\displaystyle d_{\kappa \lambda }}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \{x\in X^{\alpha }\mid x(\kappa )=x(\lambda )\}}$[ ^{1 ]} إنها بالضرورة تُثبت صحة البديهيات C1–C7 للجبر الأسطواني، ^مع${\displaystyle \cup }$بدلاً من${\displaystyle +}$،${\displaystyle \cap }$بدلاً من${\displaystyle \cdot }$، حدد المتمم للمتمم، والمجموعة الفارغة كـ 0،${\displaystyle X^{\alpha }}$كوحدة، و${\displaystyle \subseteq }$بدلاً من${\displaystyle \leq }$تُسمى المجموعة X بالأساس .

تمثيل الجبر الأسطواني هو تماثل من ذلك الجبر إلى جبر المجموعات الأسطواني. ليس لكل جبر أسطواني تمثيل كجبر مجموعات أسطواني. ^{[ 2 ]} من الأسهل ربط دلالات منطق المسندات من الدرجة الأولى بجبر المجموعات الأسطواني. (للمزيد من التفاصيل، انظر § قراءات إضافية .) 

تم تعميم الجبر الأسطواني إلى حالة المنطق متعدد الأنواع (كاليرو وجونسالفيس 2006)، مما يسمح بنمذجة أفضل للازدواجية بين الصيغ والمصطلحات من الدرجة الأولى.

متى${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \kappa ,\lambda }$إذا اقتصرت على أن تكون صفرًا فقط، فـ${\displaystyle c_{\kappa }}$يصبح${\displaystyle \exists }$، ويمكن حذف الأقطار، والنظرية التالية للجبر الأسطواني (بينتر 1973):

${\displaystyle c_{\kappa }(x+y)=c_{\kappa }x+c_{\kappa }y}$

يتحول إلى بديهية

${\displaystyle \exists (x+y)=\exists x+\exists y}$

في الجبر البولياني الأحادي ، يُحذف المسلّم (C4) (ويصبح تحصيل حاصل). لذا، يمكن اعتبار الجبر البولياني الأحادي تقييدًا للجبر الأسطواني على حالة المتغير الواحد.

• المنطق الجبري المجرد
• حساب لامدا والمنطق التوافقي - مناهج أخرى لنمذجة التحديد الكمي وإزالة المتغيرات
• المذاهب الفائقة هي صياغة فئوية للجبر الأسطواني
• جبر العلاقات (RA)
• الجبر متعدد الأعداد
• التفكيك الجبري الأسطواني

• تشارلز بينتر (1973). "جبر بسيط لمنطق الرتبة الأولى" . مجلة نوتردام للمنطق الصوري . المجلد الرابع عشر : 361-366 .
• ليون هينكين ، ج. دونالد مونك، وألفريد تارسكي (1971). الجبر الأسطواني، الجزء الأول . دار نشر نورث هولاند. رقم ISBN 978-0-7204-2043-2.
• ليون هينكين، ج. دونالد مونك، وألفريد تارسكي (1985) الجبر الأسطواني، الجزء الثاني . نورث هولاند.
• روبن هيرش وإيان هودكينسون (2002) جبر العلاقات من خلال الألعاب، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات، نورث هولاند
• كارلوس كاليرو، ريكاردو غونسالفيس (2006). "حول جبرية المنطق متعدد الأنواع" (ملف PDF) . في: ج. فياديرو وب.-ي. شوبنز (محرران). وقائع المؤتمر الدولي الثامن عشر حول الاتجاهات الحديثة في تقنيات التطوير الجبري (WADT) . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  4409. سبرينغر. الصفحات 21-36 . ISBN  978-3-540-71997-7.

• إيميلينسكي، ت .؛ ليبسكي، و. (1984). "النموذج العلائقي للبيانات والجبر الأسطواني" . مجلة علوم الحاسوب والنظم . 28 : 80-102 . doi : 10.1016/0022-0000(84)90077-1 .

• مثال على الجبر الأسطواني من إعداد CWoo على موقع planetmath.org