جبر الكذب الوحشي

في الرياضيات ، جبر لي الوحشي هو جبر كاك-مودي المعمم ذو الأبعاد اللانهائية والذي تم العمل عليه بواسطة مجموعة الوحش ، والذي تم استخدامه لإثبات تخمينات ضوء القمر الوحشي .

جبر لي الوحشي هو جبر لي متدرج من ^Z² . الجزء ذو الدرجة ( m , n ) له بُعد c_{_mn} إذا كان ( m , n ) ≠ (0, 0)، وبُعد 2 إذا كان ( m , n ) = (0, 0). الأعداد الصحيحة c_{_n} هي معاملات q _ⁿ للدالة النمطية الإهليلجية الثابتة j .

${\displaystyle j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .}$

الجبر الفرعي كارتان هو الفضاء الفرعي ثنائي الأبعاد من الدرجة (0، 0)، لذا فإن جبر لي الوحش له رتبة 2.

يحتوي جبر لي الوحشي على جذر بسيط حقيقي واحد فقط ، يُعطى بالمتجه (1، -1)، ومجموعة ويل من الرتبة 2، وتعمل عن طريق تحويل ( m ، n ) إلى ( n ، m ). أما الجذور البسيطة التخيلية فهي المتجهات (1، n ) حيث n = 1، 2، 3، ...، ولها تعدد c _n .

صيغة المقام لجبر لي الوحشي هي صيغة الضرب للثابت j :

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.}$

تم اكتشاف صيغة المقام (التي تسمى أحيانًا متطابقة كويكي-نورتون-زاغير للضرب اللانهائي) في ثمانينيات القرن العشرين. وقد توصل إلى هذا الاكتشاف بشكل مستقل العديد من علماء الرياضيات، بمن فيهم ماساو كويكي، وسيمون ب. نورتون ، ودون زاغير . ^{[ 1 ]}

هناك طريقتان لبناء جبر لي الوحشي. وبما أنه جبر كاك-مودي معمّم ذو جذور بسيطة معروفة، فيمكن تعريفه بواسطة مولدات وعلاقات صريحة؛ ومع ذلك، فإن هذا العرض لا يوضح تأثير مجموعة الوحش عليه.

ويمكن أيضًا بناؤها من جبر رؤوس الوحش باستخدام نظرية غودارد-ثورن في نظرية الأوتار . هذا البناء أصعب بكثير، ولكنه يثبت أيضًا أن مجموعة الوحش تؤثر عليها بشكل طبيعي. ^{[ 1 ]}