البعد (الفضاء المتجهي)

في الرياضيات ، يُعرف بُعد الفضاء المتجهي V بأنه عدد عناصر أساس V على حقله الأساسي (أي عدد المتجهات) . [ ^{1 ] [ 2 ] ويُطلق} عليه أحيانًا بُعد هامل (نسبةً إلى جورج هامل ) أو البُعد الجبري لتمييزه عن أنواع الأبعاد الأخرى .

لكل فضاء متجهي يوجد أساس، ^{[ أ ]} وجميع أسس الفضاء المتجهي لها عدد متساوٍ؛ ^{[ ب ]} ونتيجة لذلك، يتم تحديد بُعد الفضاء المتجهي بشكل فريد.${\displaystyle V}$يقال إنهيكون ذا أبعاد محدودة إذا كان بُعد${\displaystyle V}$محدود ، ولا نهائي الأبعاد إذا كان بُعدهلا نهائيًا.

بُعد الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$في الملعب${\displaystyle F}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \dim _{F}(V)}$أو كما${\displaystyle [V:F],}$اقرأ "بعد${\displaystyle V}$زيادة${\displaystyle F}$". متى${\displaystyle F}$يمكن استنتاج البُعد من السياق، وعادةً ما يُكتب على النحو التالي:${\displaystyle \dim(V)}$بدلاً من.

الفضاء المتجهي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$لديه $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$ كأساس معياري ، وبالتالي${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$وبشكل عام،${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$وبشكل أعم من ذلك،${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$لأي مجال${\displaystyle F.}$

الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$كلاهما فضاء متجهي حقيقي ومركب. يعتمد بُعدهما على الحقل الأساسي، كما${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$و${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1}$على سبيل المثال، يشكل العدد 1 كأساس والأعداد المركبة ككميات قياسية (عناصر الحقل للفضاء المتجهي ) فضاءً متجهيًا أحادي البعد، بينما${\textstyle \{1,i\}}$تشكل الأعداد الحقيقية كأساس وأعداد حقيقية ككميات قياسية فضاءً متجهيًا ثنائي الأبعاد.

الفضاء المتجهي الوحيد ذو البعد${\displaystyle 0}$يكون${\displaystyle \{0\},}$الفضاء المتجهي الذي يتكون فقط من عنصره الصفري.

لو${\displaystyle W}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle V}$، ثم${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

لإثبات تساوي فضاءين متجهيين محدودَي الأبعاد، يمكن استخدام المعيار التالي: إذا${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة و${\displaystyle W}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle V}$مع${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ثم${\displaystyle W=V.}$

المساحة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له الأساس القياسي${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$أين${\displaystyle e_{i}}$هو${\displaystyle i}$العمود رقم n من مصفوفة الوحدة المقابلة . لذلك،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له أبعاد${\displaystyle n.}$

أي فضاءين متجهين محدودي الأبعاد على${\displaystyle F}$تكون الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المتماثلة متماثلة . ويمكن تمديد أي دالة تقابلية بين قواعدها بشكل فريد إلى دالة تقابلية خطية بين الفضاءات المتجهة.${\displaystyle B}$هي مجموعة ما، فضاء متجهي ذو بُعد${\displaystyle |B|}$زيادة${\displaystyle F}$يمكن بناؤها على النحو التالي: خذ المجموعة${\displaystyle F(B)}$من بين جميع الوظائف${\displaystyle f:B\to F}$بحيث${\displaystyle f(b)=0}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle b}$في${\displaystyle B.}$يمكن جمع هذه الدوال وضربها بعناصر من${\displaystyle F}$للحصول على المطلوب${\displaystyle F}$فضاء المتجهات.

تُعطى نتيجة مهمة تتعلق بالأبعاد من خلال نظرية الرتبة والفراغ للتطبيقات الخطية .

لو${\displaystyle F/K}$إذا كان امتدادًا للحقل ، فـ${\displaystyle F}$وهي على وجه الخصوص فضاء متجهي على${\displaystyle K.}$علاوة على ذلك، كل${\displaystyle F}$فضاء المتجهات${\displaystyle V}$وهو أيضًا${\displaystyle K}$الفضاء المتجهي. ترتبط الأبعاد بالصيغة التالية $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ على وجه الخصوص، كل فضاء متجهي معقد ذو بُعد${\displaystyle n}$هو فضاء متجهي حقيقي ذو بُعد${\displaystyle 2n.}$

تربط بعض الصيغ بُعد الفضاء المتجهي بعدد عناصر الحقل الأساسي وعدد عناصر الفضاء نفسه. إذا${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي على حقل${\displaystyle F}$وإذا كان بُعد${\displaystyle V}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \dim V,}$ثم:

إذا كان خافتًا${\displaystyle V}$إذا كانت محدودة${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

إذا كان خافتًا${\displaystyle V}$إذن، يكون العدد لانهائيًا${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

يمكن اعتبار الفضاء المتجهي حالة خاصة من الماترويد ، وفي الأخير يوجد مفهوم محدد جيدًا للبعد. يشترك كل من طول الوحدة النمطية ورتبة المجموعة الأبيلية في العديد من الخصائص المشابهة لبعد الفضاءات المتجهة.

يُعرَّف بُعد كرول للحلقة التبادلية ، الذي سمي على اسم فولفغانغ كرول (1899 - 1971)، بأنه الحد الأقصى لعدد العناصر المضمنة الصارمة في سلسلة متزايدة من المُثُل الأولية في الحلقة.

• البعد الكسري – عدد حقيقي من الأبعاد المكانية 
• بُعد كرول – في الرياضيات، بُعد الحلقة 
• رتبة الماترويد - الحد الأقصى لحجم مجموعة مستقلة من الماترويد 
• الرتبة (الجبر الخطي) - بُعد فضاء الأعمدة للمصفوفة 
• البُعد الطوبولوجي – تعريف ثابت طوبولوجيًا لبُعد الفضاء. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه ، وتُسمى أيضًا بُعد تغطية ليبيغ. 

• أكسلر، شيلدون (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح . نصوص جامعية في الرياضيات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر . ISBN 978-3-319-11079-0.

• محاضرة في الجبر الخطي من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حول الاستقلال والأساس والبعد، يقدمها جيلبرت سترانج على منصة MIT OpenCourseWare