مونشاين وحشي

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( مايو 2018 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات ، يُعَد القمر العملاق ، أو نظرية القمر العملاق ، هو الارتباط غير المتوقع بين المجموعة العملاقة M والدوال المعيارية ، وخاصة الدالة j . وقد قام جون ماكاي بالملاحظة العددية الأولية في عام 1978، وصاغ العبارة جون كونواي وسيمون ب. نورتون في عام 1979. ^{[1] [2] [3]}

من المعروف الآن أن القمر العملاق يعتمد على جبر مشغل الرؤوس المسمى وحدة القمر (أو جبر الرؤوس العملاق) الذي بناه إيغور فرينكل وجيمس ليبوفسكي وأرن مورمان في عام 1988، والذي يحتوي على مجموعة الوحش كمجموعة من التناظرات . يُفسر جبر مشغل الرؤوس هذا عادةً على أنه بنية أساسية لنظرية المجال المطابق ثنائية الأبعاد ، مما يسمح للفيزياء بتكوين جسر بين منطقتين رياضيتين. أثبت ريتشارد بورشردز التخمينات التي قدمها كونواي ونورتون لوحدة القمر في عام 1992 باستخدام نظرية عدم الشبح من نظرية الأوتار ونظرية جبر مشغل الرؤوس وجبر كاك-مودي المعمم .

في عام 1978، وجد جون ماكاي أن الحدود القليلة الأولى في توسع فورييه للمتغير الثابت J الطبيعي (التسلسل A014708 في OEIS ) يمكن التعبير عنها من حيث التركيبات الخطية لأبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة الوحش M (التسلسل A001379 في OEIS ) ذات المعاملات الصغيرة غير السلبية. المتغير الثابت J هو مع و τ كنسبة نصف الفترة ، وتعبيرات M ، مع ترك = 1، 196883، 21296876، 842609326، 18538750076، 19360062527، 293553734298، ...، هي ${\displaystyle r_{n}}$$${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots }$$${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r _{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{ 4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{محاذاة}}}$$

الجانب الأيسر هو معاملات ، بينما في الجانب الأيمن، الأعداد الصحيحة هي أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة الوحش M. (نظرًا لأنه يمكن أن تكون هناك علاقات خطية متعددة بين مثل ، فقد يكون التمثيل بأكثر من طريقة.) ${\displaystyle j(\tau )}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

اعتبر ماكاي هذا دليلاً على وجود تمثيل متدرج لانهائي الأبعاد يحدث بشكل طبيعي لـ M ، والذي يتم تحديد بعده المتدرج بواسطة معاملات J ، والذي تتحلل قطعه ذات الوزن المنخفض إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال كما هو مذكور أعلاه. بعد أن أبلغ جون جي تومسون بهذه الملاحظة، اقترح تومسون أنه نظرًا لأن البعد المتدرج هو مجرد أثر متدرج لعنصر الهوية ، فإن الآثار المتدرجة للعناصر غير التافهة g لـ M على مثل هذا التمثيل قد تكون مثيرة للاهتمام أيضًا.

حسب كونواي ونورتون الحدود ذات الترتيب الأدنى لمثل هذه الآثار المتدرجة، والمعروفة الآن باسم سلسلة ماكاي-تومسون T _g ، ووجدوا أن جميعها تبدو وكأنها توسعات لـ Hauptmoduln . بعبارة أخرى، إذا كانت G _g هي المجموعة الفرعية لـ SL ₂ ( R ) التي تثبت T _g ، فإن حاصل قسمة النصف العلوي من المستوى المركب بواسطة G _g هو كرة مع إزالة عدد محدود من النقاط، وعلاوة على ذلك، تولد T _g مجال الدوال الميرومورفية على هذه الكرة.

استنادًا إلى حساباتهم، أنتج كونواي ونورتون قائمة من Hauptmoduln ، وتكهنوا بوجود تمثيل متدرج ذو أبعاد لا نهائية لـ M ، حيث تكون آثاره المتدرجة T _g عبارة عن توسعات للوظائف الموجودة في قائمتهم على وجه التحديد.

في عام 1980، قدم AOL Atkin وPaul Fong وStephen D. Smith أدلة حسابية قوية على وجود مثل هذا التمثيل المتدرج، من خلال تحليل عدد كبير من معاملات J إلى تمثيلات لـ M. تم إنشاء تمثيل متدرج يكون بعده المتدرج هو J ، والذي يسمى وحدة Moonshine، صراحةً بواسطة Igor Frenkel و James Lepowsky و Arne Meurman ، مما أعطى حلاً فعالاً لتخمين McKay-Thompson، كما حددوا أيضًا الآثار المتدرجة لجميع العناصر في مركزية تراجع M ، مما أدى جزئيًا إلى تسوية تخمين Conway-Norton. علاوة على ذلك، أظهروا أن فضاء المتجه الذي بنوه، والذي يسمى وحدة Moonshine ، له بنية إضافية لجبر مشغل الرأس ، حيث تكون مجموعة التماثل التلقائي الخاصة به هي M على وجه التحديد . ${\displaystyle V^{\natural }}$

في عام 1985، نشر مجموعة من علماء الرياضيات، بما في ذلك جون كونواي ، أطلس المجموعات المنتهية . وقد تضمن الأطلس، الذي يعدد جميع المجموعات المتفرقة ، "مونشاين" كقسم في قائمته للخصائص البارزة للمجموعة العملاقة . ^[4]

أثبت بورشردز صحة تخمين كونواي-نورتون لوحدة مونشاين في عام 1992. وفاز بميدالية فيلدز في عام 1998 جزئيًا لحله للتخمين.

يبدأ بناء فرينكل-ليبوفسكي-مورمان بأداتين رئيسيتين:

1. إنشاء جبر مشغل رأس الشبكة V _L لشبكة زوجية L من الرتبة n . من الناحية الفيزيائية، هذا هو الجبر الكيرالي لوتر بوزوني مضغوط على حلقة R ⁿ / L. يمكن وصفه تقريبًا بأنه حاصل ضرب الموتر لحلقة المجموعة L مع تمثيل المذبذب في أبعاد n (وهو في حد ذاته متماثل لحلقة متعددة الحدود في عدد لا نهائي من المولدات ) . بالنسبة للحالة المعنية، نضع L لتكون شبكة Leech ، التي لها الرتبة 24.
2. بناء أوربفولد . من الناحية الفيزيائية ، يصف هذا وترًا بوزونيًا ينتشر على أوربفولد حاصل القسمة . كان بناء فرينكل-ليبوفسكي-مورمان هو المرة الأولى التي ظهرت فيها أوربفولد في نظرية المجال المطابق . متصلًا بالتراجع -1 لشبكة ليتش ، يوجد تراجع h لـ V _L ، ووحدة V _L ملتوية غير قابلة للاختزال h ، والتي ترث تراجعًا يرفع h . للحصول على وحدة مونشاين، نأخذ فضاء النقطة الثابتة لـ h في المجموع المباشر لـ V _L ووحدتها الملتوية .

ثم أظهر فرينكل وليبوسكي ومورمان أن مجموعة التماثل الذاتي لوحدة مونشاين، باعتبارها جبر عامل رأس، هي M. وعلاوة على ذلك، فقد حددوا أن الآثار المتدرجة للعناصر في المجموعة الفرعية 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ تتطابق مع الدوال التي تنبأ بها كونواي ونورتون (فرينكل وليبوسكي ومورمان (1988)).

يمكن تقسيم دليل ريتشارد بورشيردز على تخمين كونواي ونورتون إلى الخطوات الرئيسية التالية:

1. يبدأ الأمر بجبر V لمشغل الرأس مع شكل خطي ثنائي ثابت، وفعل M بواسطة التماثلات الذاتية، وبتحليل معروف للمساحات المتجانسة من أدنى سبع درجات إلى تمثيلات M غير قابلة للاختزال . وقد تم توفير ذلك من خلال بناء وتحليل Frenkel–Lepowsky–Meurman لوحدة Moonshine.
2. يتم إنشاء جبر لاي، المسمى جبر لاي الوحشي، من V باستخدام مُستقبِل التكميم . وهو جبر لاي مُعمم من نوع كاك-مودي مع عمل وحش بواسطة التماثلات التلقائية. باستخدام نظرية جودارد- ثورن "عدم وجود شبح" من نظرية الأوتار ، وجد أن مضاعفات الجذر هي معاملات J.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. يستخدم المرء هوية حاصل الضرب اللانهائي كويكي-نورتون-زاجير لبناء جبر كاك-مودي لاي المعمم من خلال المولدات والعلاقات. يتم إثبات الهوية باستخدام حقيقة أن مشغلات هيكي المطبقة على J تنتج حدودًا في J.
4. من خلال مقارنة مضاعفات الجذر، نجد أن جبر لاي متماثلان، وعلى وجه الخصوص، صيغة مقام ويل هي بالضبط متطابقة كويكي-نورتون-زاجير.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. باستخدام تشابه جبر لاي وعمليات آدمز ، يتم إعطاء هوية مقام ملتوية لكل عنصر . ترتبط هذه الهويات بمتسلسلة ماكاي-تومسون T _g بنفس الطريقة التي ترتبط بها هوية كويكي-نورتون-زاجير بـ J.
6. تشير متطابقات المقامات الملتوية إلى علاقات تكرارية على معاملات T _g ، وقد أظهر العمل غير المنشور لكوكي أن الدوال المرشحة لكونواي ونورتون تلبي علاقات التكرار هذه. هذه العلاقات قوية بما يكفي بحيث لا يحتاج المرء إلا إلى التحقق من أن الحدود السبعة الأولى تتفق مع الدوال التي قدمها كونواي ونورتون. يتم إعطاء الحدود الأدنى من خلال تحلل المساحات السبع المتجانسة ذات الدرجة الأدنى المعطاة في الخطوة الأولى.

وبهذا يكون الإثبات قد اكتمل (بورشيردز (1992)). وقد نُقل عن بورشيردز فيما بعد قوله "لقد كنت في قمة السعادة عندما أثبتت فرضية مشروب مونشاين"، و"أتساءل أحيانًا عما إذا كان هذا هو الشعور الذي ينتابك عندما تتناول بعض العقاقير. لا أعرف في الواقع، لأنني لم أختبر هذه النظرية الخاصة بي". (روبرتس 2009، ص 361)

وقد عملت أعمال أحدث على تبسيط وتوضيح الخطوات الأخيرة من الإثبات. فقد وجد جوريسيتش (Jurisich (1998)، وJurisich، وLepowsky، وWilson (1995)) أن حساب التماثل يمكن اختصاره بشكل كبير عن طريق استبدال التحليل المثلثي المعتاد لجبر Monster Lie بالتحليل إلى مجموع gl ₂ وجبرين حرين لجبر Lie. وأظهر كومينز وجانون أن علاقات التكرار تعني تلقائيًا أن سلسلة McKay-Thompson إما أن تكون Hauptmoduln أو تنتهي بعد 3 حدود على الأكثر، وبالتالي القضاء على الحاجة إلى الحساب في الخطوة الأخيرة.

اقترح كونواي ونورتون في ورقتهما البحثية لعام 1979 أن ظاهرة مونشاين ربما لا تقتصر على الوحش، ولكن قد توجد ظواهر مماثلة لمجموعات أخرى. ^[أ] في حين لم تكن ادعاءات كونواي ونورتون محددة للغاية، فإن الحسابات التي أجرتها لاريسا كوين في عام 1980 اقترحت بقوة أنه يمكن للمرء أن يبني توسعات العديد من وحدات هاوبتمودلن من مجموعات بسيطة من أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات المتفرقة . على وجه الخصوص، قامت بتحليل معاملات سلسلة ماكاي-تومسون إلى تمثيلات لحصص فرعية للوحش في الحالات التالية:

• T _2B و T _4A في تمثيلات مجموعة كونواي Co ₀
• T _3B و T _6B في تمثيلات مجموعة سوزوكي 3.2. سوزوكي
• T _3C في تمثيلات مجموعة طومسون Th = F ₃
• T _5A في تمثيلات مجموعة Harada–Norton HN = F ₅
• T _5B و T _10D في تمثيلات المجموعة Hall–Janko 2. HJ
• T _7A في تمثيلات المجموعة المحتجزة He = F ₇
• T _7B و T _14C في تمثيلات 2. A ₇
• T _11A في تمثيلات مجموعة ماثيو 2. M ₁₂

وجد كوين أن آثار العناصر غير المتطابقة أسفرت أيضًا عن توسعات q لـ Hauptmoduln، بعضها لم يكن سلسلة McKay-Thompson من Monster. في عام 1987، جمع نورتون نتائج كوين مع حساباته الخاصة لصياغة تخمين Moonshine المعمم. يؤكد هذا التخمين أن هناك قاعدة تعين لكل عنصر g من الوحش، مساحة متجهة متدرجة V ( g )، ولكل زوج متبادل من العناصر ( g ، h ) دالة هولومورفية f ( g ، h ، τ) على نصف المستوى العلوي ، بحيث:

1. كل V ( g ) هو تمثيل إسقاطي متدرج لمركزية g في M.
2. كل f ( g , h , τ) هي إما دالة ثابتة أو Hauptmodul.
3. كل f ( g ، h ، τ) ثابت تحت الاقتران المتزامن لـ g و h في M ، حتى الغموض القياسي.
4. لكل ( g , h )، يوجد رفع لـ h إلى تحويل خطي على V ( g )، بحيث يتم إعطاء توسع f ( g , h , τ) بواسطة التتبع التدريجي.
5. لأي ، يتناسب مع .${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f(g,h,{\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}})}$${\displaystyle f(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau )}$
6. f ( g , h , τ ) تتناسب مع J إذا وفقط إذا g = h = 1.

هذا تعميم لتخمين كونواي-نورتون، لأن نظرية بورشرز تتعلق بالحالة التي يتم فيها تعيين g على المتطابقة.

مثل تخمين كونواي-نورتون، فإن تعميم ضوء القمر له أيضًا تفسير في الفيزياء، اقترحه ديكسون-جينسبارج-هارفي في عام 1988 (ديكسون، جينسبارج وهارفي (1989)). لقد فسروا مساحات المتجهات V ( g ) على أنها قطاعات ملتوية لنظرية المجال المطابق مع تناسق وحش، وفسروا الدوال f ( g ، h ، τ) على أنها دوال تقسيم من الجنس الأول ، حيث يشكل المرء حلقة عن طريق الالتصاق على طول الظروف الحدودية الملتوية. في اللغة الرياضية، تكون القطاعات الملتوية وحدات ملتوية غير قابلة للاختزال، ويتم تعيين دوال التقسيم إلى منحنيات إهليلجية مع حزم وحش رئيسية، والتي يوصف نوع تماثلها بالتماثل الأحادي على أساس دورات 1 ، أي زوج من العناصر المتبادلة.

في أوائل تسعينيات القرن العشرين، اكتشف عالم نظرية المجموعات AJE Ryba أوجه تشابه ملحوظة بين أجزاء من جدول أحرف الوحش، وأحرف براور لبعض المجموعات الفرعية. على وجه الخصوص، بالنسبة لعنصر g من الرتبة الأولية p في الوحش، فإن العديد من الأحرف غير القابلة للاختزال لعنصر من الرتبة kp الذي تبلغ قوته k تساوي g هي تركيبات بسيطة لأحرف براور لعنصر من الرتبة k في مركزية g . كان هذا دليلاً رقميًا على ظاهرة مماثلة لضوء القمر الوحشي، ولكن لتمثيلات ذات سمة موجبة. على وجه الخصوص، افترض Ryba في عام 1994 أنه بالنسبة لكل عامل أولي p في رتبة الوحش، يوجد جبر رأس متدرج على الحقل المحدود F _p مع عمل مركزية عنصر من الرتبة p g ، بحيث تكون حرف براور المتدرج لأي تماثل ذاتي منتظم p h مساويًا لسلسلة McKay-Thompson لـ gh (Ryba (1996)).

في عام 1996، أعاد بورشردز وريبا تفسير التخمين على أنه بيان حول تماثل تيت لشكل تكاملي ثنائي ذاتي لـ . لم يكن معروفًا أن هذا الشكل التكاملي موجود، لكنهما أنشأا شكلًا ثنائيًا ذاتيًا على Z [1/2]، مما سمح لهما بالعمل مع الأعداد الأولية الفردية p . إن تماثل تيت لعنصر من الدرجة الأولية له بطبيعة الحال بنية جبر رأسي فائق على F _p ، وقسما المشكلة إلى خطوة سهلة تساوي بين أثر براور الفائق المتدرج ومتسلسلة ماكاي-تومسون، وخطوة صعبة تُظهر أن تماثل تيت يتلاشى بدرجة فردية. لقد أثبتا بيان التلاشي للأعداد الأولية الفردية الصغيرة، عن طريق نقل نتيجة التلاشي من شبكة ليتش (بورشردز وريبا (1996)). في عام 1998، أظهر بورشردز أن التلاشي ينطبق على الأعداد الأولية الفردية المتبقية، وذلك باستخدام مزيج من نظرية هودج وتحسين متكامل لنظرية عدم وجود شبح (بورشردز (1998)، بورشردز (1999)). ${\displaystyle V^{\natural }}$

تتطلب حالة الترتيب 2 وجود شكل من أشكال حلقة فوق 2-أديك، أي بنية لا تقسم على 2، ولم يكن من المعروف وجودها في ذلك الوقت. لا تزال هناك العديد من الأسئلة الإضافية التي لم تتم الإجابة عليها، مثل كيف يمكن لتخمين ريبا أن يعمم على تماثل تيت للعناصر المركبة من الترتيب، وطبيعة أي اتصالات مع ضوء القمر المعمم وظواهر ضوء القمر الأخرى. ${\displaystyle V^{\natural }}$

في عام 2007، اقترح إي. ويتن أن تطابق AdS/CFT ينتج عنه ازدواجية بين الجاذبية الكمومية الصرفة في فضاء دي سيتر المضاد ذي الأبعاد (2 + 1) وCFTs الهولومورفية المتطرفة. لا تتمتع الجاذبية الصرفة في الأبعاد 2 + 1 بدرجات حرية محلية، ولكن عندما يكون الثابت الكوني سلبيًا، يكون هناك محتوى غير تافه في النظرية، بسبب وجود حلول الثقب الأسود BTZ . تتميز CFTs المتطرفة، التي قدمها جي. هون، بعدم وجود حقول فيراسورو الأولية في الطاقة المنخفضة، ووحدة مونشاين هي أحد الأمثلة.

وفقًا لاقتراح ويتن (ويتن (2007))، فإن الجاذبية في فضاء AdS مع أقصى ثابت كوني سلبي هي AdS/CFT مزدوجة لـ CFT هولومورفي مع شحنة مركزية c=24 ، ودالة تقسيم CFT هي على وجه التحديد j -744، أي الطابع المتدرج لوحدة moonshine. وبافتراض تخمين فرينكل-ليبوفسكي-مورمان بأن وحدة moonshine هي VOA هولومورفي فريد مع شحنة مركزية 24 وطابع j -744، استنتج ويتن أن الجاذبية الخالصة مع أقصى ثابت كوني سلبي مزدوجة لـ CFT الوحش. جزء من اقتراح ويتن هو أن حقول فيراسورو الأولية مزدوجة بالنسبة لمشغلات إنشاء الثقوب السوداء، وكاختبار للاتساق، وجد أنه في حد الكتلة الكبيرة، فإن تقدير إنتروبيا بيكنشتاين-هوكنج شبه الكلاسيكي لكتلة ثقب أسود معينة يتفق مع لوغاريتم التعدد الأولي المقابل لفيراسورو في وحدة مونشاين. في نظام الكتلة المنخفضة، يوجد تصحيح كمي صغير للإنتروبيا، على سبيل المثال، تعطي الحقول الأولية ذات الطاقة الأدنى ln(196883) ~ 12.19، بينما يعطي تقدير بيكنشتاين-هوكنج 4 π  ~ 12.57.

وقد عملت أعمال لاحقة على تحسين اقتراح ويتن. فقد تكهن ويتن بأن ميكانيكا الكم الكمومية المتطرفة ذات الثابت الكوني الأكبر قد يكون لها تماثل هائل مثل الحالة الدنيا، ولكن سرعان ما تم استبعاد هذا من خلال العمل المستقل الذي أجراه جايوتو وهون. واقترح عمل ويتن ومالوني (مالوني وويتن (2007)) أن الجاذبية الكمومية النقية قد لا تلبي بعض اختبارات الاتساق المتعلقة بدالة التقسيم الخاصة بها، ما لم تنجح بعض الخصائص الدقيقة للسروج المعقدة بشكل إيجابي. ومع ذلك، اقترح لي-سونج-سترومينجر (لي وسونج وسترومينجر (2008)) أن نظرية الجاذبية الكمومية الكيرالية التي اقترحها مانشوت في عام 2007 قد يكون لها خصائص استقرار أفضل، في حين أنها مزدوجة للجزء الكيرالي من ميكانيكا الكم الكمومية العملاقة، أي جبر رأس الوحش. وقد قدم دنكان-فرنكل (دنكان وفرينكل (2009)) أدلة إضافية على هذه الثنائية باستخدام مجموعات راديماخر لإنتاج سلسلة ماكاي-ثومبسون كوظائف تقسيم جاذبية ذات بعدين (2 + 1) بمجموع منتظم على هندسة تورس-أيزوني عالمية. وعلاوة على ذلك، فقد افترضا وجود عائلة من نظريات الجاذبية الكيرالية الملتوية التي تم تحديد معلماتها بواسطة عناصر الوحش، مما يشير إلى وجود صلة بين القمر المعمم ومجموعات الجاذبية الفورية. وفي الوقت الحاضر، لا تزال كل هذه الأفكار تخمينية إلى حد ما، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن الجاذبية الكمومية ثلاثية الأبعاد لا تتمتع بأساس رياضي صارم.

في عام 2010، لاحظ تورو إيجوتشي وهيروسي أوغوري ويوجي تاتشيكاوا أن الجنس الإهليلجي لسطح K3 يمكن تحليله إلى خصائص الجبر الفائق المطابقة N = (4،4) ، بحيث تبدو مضاعفات الحالات الضخمة وكأنها مجموعات بسيطة من التمثيلات غير القابلة للاختزال لمجموعة ماثيو M24 . ^[5] يشير هذا إلى وجود نظرية مجال مطابق لنموذج سيجما مع هدف K3 الذي يحمل تناسق M24. ومع ذلك، وفقًا لتصنيف موكاي-كوندو، لا يوجد تأثير مخلص لهذه المجموعة على أي سطح K3 من خلال التماثلات الذاتية المتعاطفة ، ووفقًا لعمل جابرديل-هوهينجر-فولباتو، ^[6] لا يوجد تأثير مخلص على أي نظرية مجال مطابق لنموذج سيجما K3، وبالتالي فإن ظهور تأثير على فضاء هيلبرت الأساسي لا يزال لغزًا.

بالقياس على سلسلة ماكاي-تومسون، اقترح تشنغ أن كلًا من وظائف التعدد والآثار المتدرجة للعناصر غير التافهة لـ M24 تشكل أشكالًا معيارية وهمية . في عام 2012، أثبت غانون أن جميع التعددات باستثناء أولها هي تركيبات تكاملية غير سلبية لتمثيلات M24، وقام جابرديل-بيرسون-رونيلينفيتش-فولباتو بحساب جميع نظائر وظائف مونشاين المعممة، ^[7] مما يشير بقوة إلى أن بعض نظائر نظرية المجال المطابق الهولومورفي تكمن وراء مونشاين ماثيو. في عام 2012 أيضًا، جمع تشنغ ودونكان وهارفي أدلة عددية على ظاهرة مونشاين الظلية حيث يبدو أن عائلات الأشكال المعيارية الوهمية مرتبطة بشبكات نيماير . الحالة الخاصة لـ A²⁴
₁تعطي الشبكة ماثيو مونشاين، ولكن بشكل عام لا يوجد لهذه الظاهرة تفسير من حيث الهندسة.

تم صياغة مصطلح "moonshine الوحشي" من قبل كونواي، الذي عندما أخبره جون ماكاي في أواخر السبعينيات أن معامل (أي 196884) كان أكثر من درجة أصغر تمثيل مركب دقيق لمجموعة الوحش (أي 196883) بمقدار واحد بالضبط، أجاب أن هذا "moonshine" (بمعنى كونه فكرة مجنونة أو حمقاء). ^[ب] وبالتالي، فإن المصطلح لا يشير فقط إلى مجموعة الوحش M ؛ بل يشير أيضًا إلى الجنون الملحوظ للعلاقة المعقدة بين M ونظرية الوظائف المعيارية. ${\displaystyle {q}}$

تم التحقيق في المجموعة الوحشية في سبعينيات القرن العشرين من قبل علماء الرياضيات جان بيير سير وأندرو أوج وجون جي تومسون ؛ حيث درسوا حاصل قسمة المستوى الزائدي بواسطة مجموعات فرعية من SL ₂ ( R )، وبشكل خاص، الموحد Γ ₀ ( p ) ⁺ للمجموعة الفرعية لتطابق هيكي Γ ₀ ( p ) في SL(2, R ). وجدوا أن سطح ريمان الناتج عن أخذ حاصل قسمة المستوى الزائدي بواسطة Γ ₀ ( p ) ⁺ له جنس صفر تمامًا لـ p = 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 41، 47، 59 أو 71. عندما سمع أوج عن مجموعة الوحش لاحقًا، ولاحظ أن هذه كانت على وجه التحديد العوامل الأولية لحجم M ، نشر ورقة بحثية يعرض فيها زجاجة من ويسكي جاك دانييل لأي شخص يمكنه تفسير هذه الحقيقة (أوج (1974)). تُعرف هذه الأعداد الأولية الخمسة عشر بالأعداد الأولية الفائقة المفرد ، ولا ينبغي الخلط بينها وبين استخدام نفس العبارة بمعنى مختلف في نظرية الأعداد الجبرية.

• قائمة ببليوغرافيا Moonshine في آلة Wayback (تم أرشفتها في 5 ديسمبر 2006)
• علماء الرياضيات يطاردون ظل مونشاين