مونوس

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 30 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعرف المونوس بأنه مؤثر على بعض المونيدات التبديلية التي ليست زمرًا . يُطلق على المونيد التبديلية التي يُعرَّف عليها مؤثر المونوس اسم مونيد تبديلية مع مونوس ، أو CMM . ويمكن الإشارة إلى مؤثر المونوس بعلامة الطرح "-{\displaystyle -}لأن الأعداد الطبيعية هي مصفوفة عددية كاملة تحت عملية الطرح . ويُشار إليها أيضًا بعلامة ناقص منقطة.-˙{\displaystyle \mathbin {\dot {-}} }"، لتمييزه عن عامل الطرح القياسي.

الترميز

رمزاسم يونيكودنقطة رمز يونيكود [ 1 ]مرجع كيانات الأحرف في لغة HTMLمراجع الأحرف الرقمية في HTML/ XMLTeX
-˙{\displaystyle \mathbin {\dot {-}} }نقطة ناقصU+2238∸\dot -
-علامة ناقصU+2212−−-

يُلاحظ استخدام رمز المونوس في أطروحة الدكتوراه التي قدمها دينيس ريتشي عام 1968. [ 2 ]

تعريف

يترك(م،+،0){\displaystyle (M,+,0)}ليكن أحاديًا تبديليًا . عرّف علاقة ثنائية≤{\displaystyle \leq }على هذه المجموعة الأحادية كما يلي: لأي عنصرينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}، يُعرِّفأ≤ب{\displaystyle a\leq b}إذا كان هناك عنصرج{\displaystyle c}بحيثأ+ج=ب{\displaystyle a+c=b}من السهل التحقق من ذلك≤{\displaystyle \leq }[ 3 ] وهو انعكاسي [ 4] وهو متعدٍ [ 5 ]م{\displaystyle M}يُطلق عليه اسم النظام الطبيعي إذا كان≤{\displaystyle \leq }العلاقة متناظرة عكسيًا ، وبالتالي فهي ترتيب جزئي . علاوة على ذلك، إذا كان لكل زوج من العناصرأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}، عنصر فريد أصغرج0{\displaystyle c_{0}}يوجد بحيثأ≤ب+ج0{\displaystyle a\leq b+c_{0}}عندئذٍ يُطلق على M اسم أحادي تبديلي مع أحادي [ 5 ] وأحاديأ-˙ب{\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b}من أي عنصرينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يمكن تعريفها بأنها هذا العنصر الأصغر الفريدج0{\displaystyle c_{0}}بحيثأ≤ب+ج0{\displaystyle a\leq b+c_{0}}.

مثال على أحادي تبديلي غير مرتب بشكل طبيعي هو(Z،+،0){\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0)}، الزمرة التبادلية للأعداد الصحيحة مع الجمع المعتاد ، كما هو الحال بالنسبة لأيأ،ب∈Z{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }يوجدج{\displaystyle c}بحيثأ+ج=ب{\displaystyle a+c=b}، لذاأ≤ب{\displaystyle a\leq b}يحتفظ بها لأيأ،ب∈Z{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }، لذا≤{\displaystyle \leq }ليست متناظرة عكسيًا، وبالتالي فهي ليست ترتيبًا جزئيًا. وهناك أيضًا أمثلة على أحاديات مرتبة طبيعيًا ولكنها ليست أنصاف حلقات ذات عنصر أحادي. [ 6 ]

هياكل أخرى

بالإضافة إلى مفهوم المونويدات، يمكن تطبيق مفهوم المونوس على بنى أخرى. على سبيل المثال، الحلقة شبه المرتبة طبيعيًا (والتي تُسمى أحيانًا ديويد [ 7 ] ) هي حلقة شبه يكون فيها المونويد التبادلي الناتج عن عامل الجمع مرتبًا طبيعيًا. عندما يكون هذا المونويد مونويدًا تبادليًا ذا مونوس، تُسمى الحلقة شبه شبه حلقة ذات مونوس ، أو حلقة شبه من النوع m .

أمثلة

إذا كان M مثاليًا في جبر بولياني ، فإن M عبارة عن أحادي تبديلي مع أحادي تحتأ+ب=أ∨ب{\displaystyle a+b=a\vee b}وأ-˙ب=أ∧¬ب{\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b=a\wedge \neg b}[ 5 ]​

الأعداد الطبيعية

تشكل الأعداد الطبيعية ، بما فيها الصفر، زمرةً تبديليةً مع عامل الطرح (monus)، ويكون ترتيبها هو الترتيب المعتاد للأعداد الطبيعية، وعامل الطرح (monus) هو شكلٌ مُشبعٌ من الطرح القياسي، ويُشار إليه بأسماءٍ مختلفةٍ مثل الطرح المقتطع ، [ 8 ] والطرح المحدود ، والطرح الفعلي ، وdoz ( الفرق أو الصفر )، [ 9 ] و monus . [ 10 ] ويُعرَّف الطرح المقتطع عادةً على النحو التالي [ 8 ].

أ-˙ب={0لو أ<بأ-بلو أ≥ب،{\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a<b\\ab&{\mbox{if }}a\geq b,\end{cases}}}

حيث يرمز الرمز − إلى عملية الطرح القياسية . على سبيل المثال،5-3=2{\displaystyle 5-3=2}و3-5=-2{\displaystyle 3-5=-2}في الطرح العادي، بينما في الطرح المقتطع3-˙5=0{\displaystyle 3\mathbin {\dot {-}} 5=0}يمكن تعريف الطرح المقتطع أيضًا على أنه [ 10 ]

أ-˙ب=الأعلى(أ-ب،0).{\displaystyle a\mathbin {\dot {-}} b=\max(a-b,0).}

في حساب بيانو ، يتم تعريف الطرح المقتطع بدلالة دالة السلف P (معكوس دالة الخلف ): [ 8 ]

P(0)=0P(S(أ))=أأ-˙0=أأ-˙S(ب)=P(أ-˙ب).{\displaystyle {\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\a\mathbin {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathbin {\dot {-}} b).\end{aligned}}}

التعريف الذي لا يحتاج إلى دالة السلف هو:

أ-˙0=أ0-˙ب=0S(أ)-˙S(ب)=أ-˙ب.{\displaystyle {\begin{aligned}a\mathbin {\dot {-}} 0&=a\\0\mathbin {\dot {-}} b&=0\\S(a)\mathbin {\dot {-}} S(b)&=a\mathbin {\dot {-}} b.\end{aligned}}}

يُعدّ الطرح المقتطع مفيدًا في سياقات مثل الدوال التكرارية الأولية ، التي لا تُعرَّف على الأعداد السالبة. [ 8 ] كما يُستخدم الطرح المقتطع في تعريف عامل الفرق متعدد المجموعات .

ملكيات

تشكل فئة جميع المونيدات التبادلية ذات المونوس صنفًا متنوعًا . [ 5 ] يتكون الأساس المعادلي لصنف جميع المونيدات التبادلية من بديهيات المونيدات التبادلية ، بالإضافة إلى البديهيات التالية:

أ+(ب-˙أ)=ب+(أ-˙ب)،(أ-˙ب)-˙ج=أ-˙(ب+ج)،(أ-˙أ)=0،(0-˙أ)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}a+(b\mathbin {\dot {-}} a)&=b+(a\mathbin {\dot {-}} b),\\(a\mathbin {\dot {-}} b)\mathbin {\dot {-}} c&=a\mathbin {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathbin {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathbin {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}}

ملحوظات

  1. ↑ يُشار إلى الأحرف في نظام يونيكود في النصوص النثرية باستخدام رمز "U+". الرقم الست عشري الذي يلي "U+" هو نقطة رمز يونيكود للحرف.
  2. ↑ برايلسفورد، كيرنيغان وريتشي 2022 .
  3. ↑ أخذج{\displaystyle c}أن يكون العنصر المحايد في المونويد
  4. ↑ إذاأ≤ب{\displaystyle a\leq b}مع شاهدد{\displaystyle d}وب≤ج{\displaystyle b\leq c}مع شاهدد′{\displaystyle d'}ثمد+د′{\displaystyle d+d'}شهود على ذلكأ≤ج{\displaystyle a\leq c}
  5. 1 2 3 Amer 1984 ، ص 129.
  6. ↑ مونيه 2016 .
  7. ↑ Pouly 2010 ، ص 22 ، الشريحة 17.
  8. 1 2 3 4 Vereschchagin & Shen 2003 .
  9. ↑ وارن الابن 2013 .
  10. 1 2 جاكوبس 1996 .

مراجع

  • عامر، ك. (1984)، "فئات كاملة معادلة من أحاديات التبديل مع مونوس"، الجبر العالمي ، 18 : 129-131 ، doi : 10.1007/BF01182254