الانحدار متعدد المستويات مع التقسيم الطبقي اللاحق

الانحدار متعدد المستويات مع التقسيم الطبقي اللاحق ( MRP ) هو أسلوب إحصائي يستخدم لتصحيح تقديرات النموذج للاختلافات المعروفة بين عينة السكان (مجموعة البيانات التي لديك)، ومجموعة السكان المستهدفة (مجموعة السكان التي ترغب في تقديرها).

يشير التقسيم الطبقي اللاحق إلى عملية تعديل التقديرات، وهي في جوهرها متوسط ​​مرجح للتقديرات من جميع التوليفات الممكنة للسمات (مثل العمر والجنس). تُسمى كل توليفة أحيانًا "خلية". أما الانحدار متعدد المستويات فهو استخدام نموذج متعدد المستويات لتنعيم التقديرات المشوشة في الخلايا التي تحتوي على بيانات قليلة جدًا، وذلك باستخدام المتوسطات العامة أو القريبة.

يتمثل أحد التطبيقات في تقدير التفضيلات في المناطق الفرعية (مثل الولايات، والدوائر الانتخابية الفردية) بناءً على بيانات المسح على مستوى الأفراد التي تم جمعها على مستويات أخرى من التجميع (مثل المسوحات الوطنية). ^{[ 1 ]}

قد تواجه استطلاعات الرأي الفردية صعوبة في الحصول على حجم عينة كافٍ، بينما تتميز استطلاعات الرأي متعددة الفئات (MRPs) بأحجام عينات كبيرة لدرجة أن حتى الفئات الديموغرافية الفرعية الأصغر (مثل التصنيف حسب العمر أو الخلفية الثقافية) ستحصل على حجم عينة كافٍ، والذي يمكن استخدامه بعد ذلك لتعديل توقعات المقاعد. منذ منتصف العقد الأول من الألفية الثانية، شهدت استطلاعات الرأي متعددة الفئات (MRPs) اعتمادًا سريعًا من قبل شركات استطلاعات الرأي التجارية والباحثين الأكاديميين في مجال التنبؤ بالانتخابات كوسيلة لإنتاج تقديرات على مستوى كل مقعد أو دائرة انتخابية من مسح وطني واحد كبير، لا سيما في المملكة المتحدة والولايات المتحدة .

وفقًا لوصف نموذج MRP، ^{[ 2 ]} افترض${\displaystyle Y}$يمثل قياس النتيجة الفردية ومتوسط ​​قيمة السكان لـ${\displaystyle Y}$،${\displaystyle \mu _{Y}}$، هو المعلمة المستهدفة محل الاهتمام. في المجتمع الأصلي، كل فرد،${\displaystyle i}$، ينتمي إلى أحد${\displaystyle j=1,2,\cdots ,J}$تتميز الخلايا بعد التقسيم الطبقي بمجموعة فريدة من المتغيرات المساعدة. يتضمن نموذج الانحدار متعدد المستويات مع التقسيم الطبقي الخطوتين التاليتين:

الخطوة الأولى من نموذج الانحدار متعدد المستويات (MRP) : يحدد نموذج الانحدار متعدد المستويات مُتنبئًا خطيًا للمتوسط.${\displaystyle \mu _{Y}}$أو تحويل اللوجيت للمتوسط ​​في حالة النتيجة الثنائية، في خلية ما بعد التقسيم الطبقي${\displaystyle j}$،

$${\displaystyle g{\left({\mathrm {\mu } }_{j}\right)}=g{\left(E{\left[Y_{j{\lbrack i\rbrack }}\right]}\right)}={\mathrm {\beta } }_{0}+{\boldsymbol {X}}_{j}^{T}\mathbf {\beta } +\sum _{k=1}^{K}a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k},}$$

أين${\displaystyle Y_{j\lbrack i\rbrack }}$هو مقياس النتائج للمستجيب${\displaystyle i}$في الخلية${\displaystyle j}$،${\displaystyle \beta _{0}}$هو التقاطع الثابت ،${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{ي}}$هو متجه المتغيرات المصاحبة الفريد للخلية${\displaystyle j}$،${\displaystyle {\mathrm {\beta } }}$هو متجه معاملات الانحدار ( التأثيرات الثابتة )،${\displaystyle a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k}}$هو المعامل المتغير ( التأثير العشوائي )،${\displaystyle l{\lbrack j\rbrack }}$الخرائط${\displaystyle j}$فهرس الخلية إلى فهرس الفئة المقابل${\displaystyle l}$متغير${\displaystyle k\in \{1,2,\cdots ,K\}}$جميع المعاملات المتغيرة عبارة عن دفعات قابلة للتبادل ذات توزيعات احتمالية طبيعية مستقلة.${\displaystyle a_{l}^{k}\sim \mathrm {N} \left(0,\mathrm {\sigma } _{k}^{2}\right),\ l\in \{1,\dots ,L_{k}\}}$.

في الممارسة العملية، تُوسّع تطبيقات MRP عادةً المعاملات المتغيرة لتشمل متغيرات تنبؤية على مستوى المجموعة، مما يُحسّن بشكل كبير التقدير للوحدات الجغرافية ذات عدد قليل من المستجيبين. ^{[ 3 ]} بالنسبة لتأثير عشوائي على مستوى الولاية، على سبيل المثال، يمكن استبدال التوزيع الاحتمالي المسبق القابل للتبادل بـ $${\displaystyle a_{l}^{\text{state}}\sim \mathrm {N} \left(\gamma _{0}+\gamma _{1}Z_{l}+a_{m[l]}^{\text{region}},\ \sigma _{\text{state}}^{2}\right),}$$ أين${\displaystyle Z_{l}}$وهو متغير مشترك على مستوى الولاية (مثل نسبة التصويت في الانتخابات السابقة أو متوسط ​​الدخل) و${\displaystyle a_{m[l]}^{\text{region}}}$هو تأثير عشوائي على مستوى المنطقة. يسمح هذا الهيكل الهرمي للنموذج بالاستفادة ليس فقط من المتوسط ​​العام، ولكن أيضًا من الولايات التي تشبه الولاية${\displaystyle l}$على المتغيرات المصاحبة المرصودة.

الخطوة الثانية من MRP: التقسيم الطبقي اللاحق : تقدير التقسيم الطبقي اللاحق (PS) لمعلمة المجتمع محل الاهتمام هو ${\displaystyle {\hat {\mu }}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J}N_{j}}}}$ أين${\displaystyle {\hat {\mu }}_{j}}$النتيجة التقديرية محل الاهتمام لخلية ما بعد التقسيم الطبقي${\displaystyle j}$و${\displaystyle N_{j}}$ حجم${\displaystyle j}$الخلية رقم -th بعد التقسيم الطبقي في المجتمع. التقديرات على أي مستوى من مستويات السكان الفرعيين ${\displaystyle s}$مشتقة بشكل مماثل $${\displaystyle {\hat {\mu }}_{s}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J_{s}}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J_{s}}N_{j}}}}$$ أين${\displaystyle J_{s}}$هي مجموعة فرعية من جميع الخلايا التي تلي التقسيم الطبقي والتي تشمل${\displaystyle s}$.

التقدير وعدم اليقين : عادةً ما يتم ملاءمة نموذج MRP باستخدام التقدير البايزي الكامل عبر سلسلة ماركوف مونت كارلو ، غالبًا من خلال Stan أو واجهاته ذات المستوى الأعلى مثل rstanarm و brms . ^{[ 4 ]} يتم الحصول على عدم اليقين في التقدير اللاحق للتقسيم الطبقي من خلال تطبيق خطوة التقسيم الطبقي بشكل منفصل على كل سحب لاحق لمتوسطات مستوى الخلية.${\displaystyle {\hat {\mu }}_{j}}$، مما ينتج عنه توزيع لاحق على${\displaystyle {\hat {\mu }}^{PS}}$والتي تُبنى منها فترات موثوقة.

تعتمد هذه التقنية أساسًا على استخدام بيانات من مصادر مثل التعدادات السكانية المتعلقة بأنواع مختلفة من الأشخاص وفقًا لخصائص متباينة (كالعمر والعرق)، وذلك في خطوة أولى لتقدير العلاقة بين هذه الأنواع وتفضيلات الأفراد (أي، الانحدار متعدد المستويات لمجموعة البيانات). ثم تُستخدم هذه العلاقة في خطوة ثانية لتقدير التفضيل على مستوى المنطقة الفرعية بناءً على عدد الأشخاص الذين يحملون كل نوع أو خاصية في تلك المنطقة الفرعية (وهي عملية تُعرف باسم "التصنيف اللاحق"). ^{[ 5 ]} يُنتج المكون متعدد المستويات تقديرات لكل خلية تمثل متوسطًا مرجحًا لمتوسط ​​الخلية الخام والمتوسط ​​العام أو متوسط ​​المجموعة، وهي خاصية تُعرف باسم التجميع الجزئي ؛ ويزداد وزن المتوسط ​​المجمع مع انخفاض حجم عينة الخلية، مما يُثبّت التقديرات في الخلايا ذات عدد المستجيبين القليل دون إهمال المعلومات التي تحتويها. ^{[ 4 ]} وبهذه الطريقة، يتم تجنب الحاجة إلى إجراء استطلاعات على مستوى المناطق الفرعية، والتي قد تكون مكلفة وغير عملية في منطقة (كدولة مثلاً) تضم العديد من المناطق الفرعية ( كالمقاطعات أو الدوائر الانتخابية أو الولايات). كما أنه يتجنب مشاكل اتساق الاستبيان عند مقارنة استبيانات مختلفة أُجريت في مناطق مختلفة. ^{[ 6 ] [ 1 ]} بالإضافة إلى ذلك، يسمح بتقدير التفضيلات داخل منطقة محددة بناءً على استبيان أُجري على منطقة أوسع تشمل عددًا قليلًا نسبيًا من سكان المنطقة المعنية، أو حيث قد تكون العينة غير ممثلة تمثيلًا جيدًا. ^{[ 7 ]}

طُوِّرت هذه التقنية في الأصل على يد جيلمان وتي. ليتل عام 1997، ^{[ 8 ]} استنادًا إلى أفكار فاي وهيريوت ^{[ 9 ]} وآر . ليتل . ^{[ 10 ]} ثم وُسِّعت لاحقًا على يد بارك وجيلمان وبافومي عامي 2004 و2006. واقترح لاكس وفيليبس استخدامها لتقدير تفضيلات الناخبين على مستوى الولايات الأمريكية عام 2009. ثم اقترح وارشو ورودن استخدامها لتقدير الرأي العام على مستوى المقاطعات عام 2012. ^{[ 1 ]} وفي وقت لاحق، استخدم وانغ وآخرون ^{[ 11 ]} بيانات استطلاع رأي لمستخدمي إكس بوكس ​​للتنبؤ بنتيجة الانتخابات الرئاسية الأمريكية لعام 2012. كان 65% من لاعبي إكس بوكس ​​تتراوح أعمارهم بين 18 و29 عامًا، و93% منهم ذكور، بينما كانت نسبة الناخبين عمومًا 19% تتراوح أعمارهم بين 18 و29 عامًا، و47% منهم ذكور. على الرغم من أن البيانات الأصلية كانت متحيزة للغاية، إلا أنه بعد استخدام الانحدار متعدد المستويات مع التقسيم الطبقي اللاحق، تمكن الباحثون من الحصول على تقديرات تتوافق مع تلك المستقاة من استطلاعات الرأي التي تستخدم كميات كبيرة من البيانات العشوائية والتمثيلية. ومنذ ذلك الحين، تم اقتراح استخدامها أيضًا في مجال علم الأوبئة . ^{[ 7 ]}

يمكن توسيع نطاق استخدام نموذج MRP ليشمل تقدير تغير الرأي العام بمرور الوقت ^{[ 6 ]} ، وعند استخدامه للتنبؤ بالانتخابات، يكون أكثر فعالية عند استخدامه قبل موعد الاقتراع بفترة وجيزة نسبيًا، بعد إغلاق باب الترشيحات ^{[ 16 ]} . كما تعتمد دقة تقديرات MRP على مدى توفر وجودة إطار ما بعد التقسيم الطبقي: فإذا تم استخلاص إجمالي عدد السكان في الخلية من تعداد سكاني قديم، أو إذا كانت هناك متغيرات تفسيرية مهمة مفقودة من الإطار، فلن يتمكن التقسيم الطبقي من تصحيح تحيز العينة بشكل كامل.

وقد لاقت هذه الطريقة انتقادات من بعض أبرز خبراء التنبؤ بالانتخابات. ففي مؤتمر التحليلات السياسية بجامعة هارفارد عام 2018، صرّح نيت سيلفر، مؤسس موقع FiveThirtyEight ، بأن منهجية MRP "قد تكون جيدة، لكنها مُبالغ في تقديرها أيضاً"، واصفاً إياها بأنها "كارميلو أنتوني استطلاعات الرأي الانتخابية"، ومؤكداً أن الأساليب التقليدية تُوصل خبراء التنبؤ بمعظم الطريق نحو إجابة دقيقة. ^{[ 17 ]}

يمكن تعميم كل من فكرتي "الانحدار متعدد المستويات" و"التصنيف اللاحق" في نموذج التنبؤ متعدد المستويات (MRP). يمكن استبدال الانحدار متعدد المستويات بالانحدار غير البارامتري ^{[ 18 ]} أو التنبؤ المنتظم ، ويمكن تعميم التصنيف اللاحق للسماح بمتغيرات غير إحصائية، أي إجماليات التصنيف اللاحق التي يتم تقديرها بدلاً من كونها معلومة. ^{[ 19 ]} قام غيتزا وجيلمان (2013) بتوسيع نموذج التنبؤ متعدد المستويات من خلال السماح بتفاعلات منظمة بين المتغيرات الديموغرافية والجغرافية - على سبيل المثال، معاملات متغيرة حسب العمر حسب الولاية أو العرق حسب الولاية مع توزيعات احتمالية مسبقة متعددة المستويات خاصة بها - مما يسمح برصد التباين في السلوك عبر المجموعات الفرعية الذي قد يغفله نموذج جمعي بحت. ^{[ 3 ]} بالنسبة للمتغيرات الترتيبية مثل العمر أو التعليم أو الدخل، فإن التوزيعات الاحتمالية المسبقة المنظمة مثل المسارات العشوائية أو العمليات الغاوسية على مؤشرات الفئات تُحسّن التقدير بشكل أكبر من خلال ترميز الترتيب الطبيعي لهذه المتغيرات بدلاً من التعامل مع الفئات على أنها قابلة للتبادل. ^{[ 20 ]}