دالة زيتا المتعددة

في الرياضيات ، تُعد دوال زيتا المتعددة تعميمات لدالة زيتا لريمان ، المعرفة بواسطة

$\begin{frac{1}{n1^{s1}}\cdots n_k^{s_k}}} \begin{frac{1}{n1^{s1}}\cdots n_k^{s_k}}}} \begin{frac{1}{n_i^{s_k}}}} \begin{frac{1}{n_i^{s_i ...$

وتتقارب عندما يكون Re( _s1 ) + ... + Re ( si ₎ > i لجميع قيم i . ومثل دالة زيتا لريمان، يمكن تمديد دوال زيتا المتعددة تحليليًا لتكون دوالًا ميرومورفية (انظر، على سبيل المثال، Zhao (1999)). عندما تكون s1 _، ...، sk جميعها أعدادًا صحيحة موجبة (مع s1 _{> 1) ،} تُسمى هذه المجاميع غالبًا قيم زيتا المتعددة (MZVs) أو مجاميع أويلر . ويمكن أيضًا اعتبار هذه القيم قيمًا خاصة للوغاريتمات المتعددة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}         

يُطلق على k في التعريف أعلاه اسم "عمق" MZV، ويُعرف n = s ₁ + ... + s _k باسم "الوزن". ^{[ 3 ]}      

تتمثل الطريقة المختصرة القياسية لكتابة دوال زيتا المتعددة في وضع سلاسل متكررة من الوسيط بين قوسين معقوفين واستخدام رمز مرتفع للإشارة إلى عدد مرات التكرار. على سبيل المثال،

${\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).}$

تنشأ دوال زيتا المتعددة كحالات خاصة من اللوغاريتمات المتعددة

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

وهي تعميمات لدوال اللوغاريتم المتعدد . عندما تكون جميع${\displaystyle \mu _{i}}$هي ^الجذور النونية للوحدة و${\displaystyle s_{i}}$إذا كانت جميعها أعدادًا صحيحة غير سالبة، فإن قيم اللوغاريتم المتعدد المتعدد تسمى قيم زيتا المتعددة الملونة من المستوى${\displaystyle n}$وخاصة عندما${\displaystyle n=2}$تُسمى هذه القيم بمجاميع أويلر أو قيم زيتا المتعددة المتناوبة ، وعندما${\displaystyle n=1}$تُسمى ببساطة قيم زيتا المتعددة. وغالبًا ما تُكتب قيم زيتا المتعددة

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

وتُكتب مجاميع أويلر

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$أحيانًا، يكتب المؤلفون شريطًا فوق${\displaystyle s_{i}}$بما يتوافق مع${\displaystyle \varepsilon _{i}}$يساوي${\displaystyle -1}$على سبيل المثال

${\displaystyle \zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)}$.

لاحظ كونتسيفيتش أنه من الممكن التعبير عن قيم زيتا المتعددة الملونة (وبالتالي حالاتها الخاصة) كتكاملات متعددة المتغيرات معينة . غالبًا ما تُذكر هذه النتيجة باستخدام اصطلاح للتكاملات المتكررة، حيث

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

باستخدام هذا الاصطلاح، يمكن صياغة النتيجة على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$أين${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$ل${\displaystyle j=1,2,\ldots ,d}$.

تُعد هذه النتيجة مفيدة للغاية نظرًا لنتيجة معروفة تتعلق بمنتجات التكاملات المتكررة، وهي أن

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)}$أين${\displaystyle {\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}}$و${\displaystyle S_{m}}$هي المجموعة المتناظرة على${\displaystyle m}$الرموز.

لاستخدام هذا في سياق قيم زيتا المتعددة، حدد${\displaystyle X=\{a,b\}}$،${\displaystyle X^{*}}$أن يكون أحاديًا حرًا مُوَلَّدًا بواسطة${\displaystyle X}$و${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$أن تكون حراً${\displaystyle \mathbb {Q} }$- فضاء متجهي مُوَلَّد بواسطة${\displaystyle X^{*}}$.${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$يمكن تزويدها بضرب التبديل ، مما يحولها إلى جبر . بعد ذلك، يمكن اعتبار دالة زيتا المتعددة بمثابة خريطة تقييم، حيث نحدد${\displaystyle a={\frac {dt}{t}}}$،${\displaystyle b={\frac {dt}{1-t}}}$، وتحديد

${\displaystyle \zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w} }$لأي${\displaystyle \mathbf {w} \in X^{*}}$،

مما يجعل ، بحسب الهوية التكاملية المذكورة آنفاً

${\displaystyle \zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).}$

ثم، تعطي الهوية التكاملية على المنتجات ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).}$

في الحالة الخاصة التي تحتوي على معلمتين فقط لدينا (مع s > 1 و n و m أعداد صحيحة): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$أين${\displaystyle H_{n,t}}$هي الأعداد التوافقية المعممة .

من المعروف أن دوال زيتا المتعددة تحقق ما يُعرف بازدواجية MZV، وأبسط مثال على ذلك هو متطابقة أويلر الشهيرة :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

حيث تمثل H _n الأرقام التوافقية .

القيم الخاصة لدوال زيتا المزدوجة، مع s  >  0 وزوجي ، t  >  1 وفردي ، ولكن s + t = 2 N +1 (مع الأخذ إذا لزم الأمر ζ (0)  =  0): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

s	ت	القيمة التقريبية	صيغ صريحة	OEIS
2	2	0.811742425283353643637002772406	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\zeta (4)}$	A197110
3	2	0.228810397603353759768746148942	${\displaystyle 3\zeta (2)\zeta (3)-{\tfrac {11}{2}}\zeta (5)}$	A258983
4	2	0.088483382454368714294327839086	${\displaystyle \left(\zeta (3)\right)^{2}-{\tfrac {4}{3}}\zeta (6)}$	A258984
5	2	0.038575124342753255505925464373	${\displaystyle 5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4)-11\zeta (7)}$	A258985
6	2	0.017819740416835988362659530248		A258947
2	3	0.711566197550572432096973806086	${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}\zeta (5)-2\zeta (2)\zeta (3)}$	A258986
3	3	0.213798868224592547099583574508	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (3)\right)^{2}-\zeta (6)\right)}$	A258987
4	3	0.085159822534833651406806018872	${\displaystyle 17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5)}$	A258988
5	3	0.037707672984847544011304782294	${\displaystyle 5\zeta (3)\zeta (5)-{\tfrac {147}{24}}\zeta (8)-{\tfrac {5}{2}}\zeta (6,2)}$	A258982
2	4	0.674523914033968140491560608257	${\displaystyle {\tfrac {25}{12}}\zeta (6)-\left(\zeta (3)\right)^{2}}$	A258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	${\displaystyle 10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4)-18\zeta (7)}$	A258990
4	4	0.083673113016495361614890436542	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (4)\right)^{2}-\zeta (8)\right)}$	A258991

لاحظ أنه إذا${\displaystyle s+t=2p+2}$لدينا${\displaystyle p/3}$غير قابلة للاختزال، أي لا يمكن كتابة هذه القيم الافتراضية كدالة لـ${\displaystyle \zeta (a)}$فقط. ^{[ 5 ]}

في الحالة الخاصة التي تتضمن ثلاثة معلمات فقط (مع a > 1 و n و j و i أعداد صحيحة):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}}$

تحقق قيم MZV المذكورة أعلاه صيغة انعكاس أويلر :

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$ل${\displaystyle a,b>1}$

باستخدام علاقات التبديل، من السهل إثبات ما يلي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$ل${\displaystyle a,b,c>1}$

يمكن اعتبار هذه الدالة بمثابة تعميم لصيغ الانعكاس.

يترك${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$وقسم${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$من المجموعة${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$، يترك${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$. كذلك، بالنظر إلى مثل هذا${\displaystyle \Pi }$و k -tuple${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$تعريف الأسس${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$.

العلاقات بين${\displaystyle \zeta }$و${\displaystyle S}$نكون: ${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$و${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).}$

المصدر: ^{[ 6 ]}

نذكر أولاً تخمين المجموع، والذي يعود إلى سي. موين. ^{[ 8 ]}

تخمين المجموع (هوفمان). بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة k و n ، ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$حيث يتم تمديد المجموع على k -tuples${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$من الأعداد الصحيحة الموجبة مع${\displaystyle i_{1}>1}$.

ثلاث ملاحظات بخصوص هذه الفرضية جديرة بالذكر. أولاً، إنها تعني ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$ثانيًا، في هذه الحالة${\displaystyle k=2}$يقول ذلك${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$أو باستخدام العلاقة بين${\displaystyle \zeta 's}$و${\displaystyle S's}$والنظرية 1،${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

أثبت أويلر ذلك ^{[ 9 ]} ، وأُعيد اكتشافه عدة مرات، لا سيما من قِبل ويليامز ^{[ 10 ]} . وأخيرًا، أثبت سي. موين ^{[ 8 ]} نفس التخمين لـ k = 3 بحجج مطولة ولكنها أولية. بالنسبة لتخمين الازدواجية، نُعرّف أولًا عملية الالتفاف.${\displaystyle \tau }$في موقع التصوير${\displaystyle \Im }$من المتتاليات المنتهية من الأعداد الصحيحة الموجبة التي يكون عنصرها الأول أكبر من 1. ليكن${\displaystyle \mathrm {T} }$لتكن مجموعة المتتاليات المنتهية المتزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة، ولتكن${\displaystyle \Sigma$ لتكن الدالة التي ترسل سلسلة في${\displaystyle \Im }$إلى سلسلة المجاميع الجزئية الخاصة بها. إذا${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$هي مجموعة المتتاليات في${\displaystyle \mathrm {T} }$العنصر الأخير منه على الأكثر${\displaystyle n}$لدينا عمليتان متداخلتان للتنقل${\displaystyle R_{n}}$و${\displaystyle C_{n}}$على${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$محدد بواسطة ${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})}$و ${\displaystyle C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})}$= مكمل لـ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{l}\}}$في${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$مرتبة تصاعديًا. تعريفنا لـ${\displaystyle \tau }$يكون${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$ل${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im }$مع${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$.

على سبيل المثال، ${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$ سنقول التسلسلات${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$و${\displaystyle \tau (i_{1},\dots ,i_{k})}$متناظران مع بعضهما البعض، ويشيران إلى متتالية محددة بواسطة${\displaystyle \tau }$باعتبارها مزدوجة ذاتيًا. ^{[ 6 ]}

تخمين الازدواجية (هوفمان). إذا${\displaystyle (h_{1},\dots ,h_{n-k})}$هو مزدوج لـ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$، ثم${\displaystyle \zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})}$.

تُعرف هذه الفرضية الجماعية أيضًا باسم نظرية المجموع ، ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: قيمة زيتا لريمان لعدد صحيح n  ≥  2 تساوي مجموع جميع قيم زيتا لريمان الصالحة (أي التي يكون فيها s ₁  >  1) للتقسيمات ذات الطول k والوزن n ، حيث 1  ≤ k ≤ n − 1. في الصيغة: ^{[ 3 ]}     

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).}$

على سبيل المثال، مع طول k = 2 ووزن n = 7:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).}$

يظهر مجموع أويلر مع تناوب الإشارة في دراسات مجموع أويلر غير المتناوب. ^{[ 5 ]}

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle a,b,\dots ,k}$:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)}$أو بشكل أعم:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}$

${\displaystyle 1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|}$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}$

${\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)}$

تُعرَّف دالة زيتا لمورديل-تورنهايم، التي قدمها ماتسوموتو (2003) الذي استلهمها من ورقتي مورديل (1958) وتورنهايم (1950) ، بواسطة

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

إنها حالة خاصة من دالة زيتا شينتاني .

• تورنهايم، ليونارد (1950). " المتسلسلة التوافقية المزدوجة". المجلة الأمريكية للرياضيات . 72 (2): 303-314 . doi : 10.2307/2372034 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372034. MR 0034860 .   
• مورديل، لويس ج. (1958). "حول تقييم بعض المتسلسلات المتعددة". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . السلسلة الثانية. 33 (3): 368-371 . doi : 10.1112/jlms/s1-33.3.368 . ISSN 0024-6107 . MR 0100181 .  
• أبوستول، توم م.؛ فو، ثينو هـ. (1984)، "متسلسلات ديريشليه المتعلقة بدالة زيتا لريمان"، مجلة نظرية الأعداد ، 19 (1): 85-102 ، doi : 10.1016/0022-314X(84)90094-5 ، ISSN 0022-314X ، MR 0751166  
• كراندال، ريتشارد إي.؛ بولر، جو ب. (1994). "حول تقييم مجاميع أويلر" . الرياضيات التجريبية . 3 (4): 275. doi : 10.1080/10586458.1994.10504297 . MR 1341720 . 
• بورواين، جوناثان م.؛ جيرجينسون، رولاند (1996). "تقييم مجاميع أويلر الثلاثية" . المجلة الإلكترونية للتوافقية 3 (1): #R23. doi : 10.37236/1247 . hdl : 1959.13/940394 . MR 1401442 . 
• فلاجو، فيليب؛ سالفي، برونو (1998). "مجاميع أويلر وتمثيلات التكامل الكفافي" . الرياضيات التجريبية 7 : 15-35 . CiteSeerX 10.1.1.37.652 . doi : 10.1080/10586458.1998.10504356 . 
• تشاو، جيان تشيانغ (1999). "الاستمرار التحليلي لدوال زيتا المتعددة" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 128 (5): 1275-1283 . doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR 1670846 . 
• ماتسوموتو، كوهجي (2003)، "حول مورديل-تورنهايم ودوال زيتا المتعددة الأخرى"، وقائع جلسة نظرية الأعداد التحليلية والمعادلات الديوفانتية ، منشورات بون الرياضية، المجلد  360، بون: جامعة بون، MR 2075634 
• إسبينوزا، أوليفييه؛ مول، فيكتور هوغو (2008). "تقييم مجاميع تورنهايم المزدوجة". arXiv : math/0505647 .
• إسبينوزا، أوليفييه؛ مول، فيكتور هوغو (2010). "تقييم مجاميع تورنهايم المزدوجة II". مجلة رامانوجان ، 22 : 55-99 . arXiv : 0811.0557 . doi : 10.1007/s11139-009-9181-1 . MR 2610609. S2CID 17055581 .  
• بورواين، ج.م .؛ تشان، أ.ي. (2010). "الازدواجية في ذيول قيم زيتا المتعددة". المجلة الدولية لنظرية الأعداد . 6 (3): 501-514 . CiteSeerX 10.1.1.157.9158 . doi : 10.1142/S1793042110003058 . MR 2652893 .  
• باسو، أنكور (2011) . "حول تقييم مجاميع تورنهايم والمجاميع المزدوجة ذات الصلة". مجلة رامانوجان ، 26 (2): 193-207 . doi : 10.1007/s11139-011-9302-5 . MR 2853480. S2CID 120229489 .