الضوضاء المضاعفة

في معالجة الإشارات ، يشير مصطلح الضوضاء المضاعفة إلى إشارة عشوائية غير مرغوب فيها يتم ضربها في إشارة ذات صلة أثناء الالتقاط أو الإرسال أو المعالجة الأخرى.

الضوضاء المضاعفة هي نوع من الضوضاء التي تعتمد على الإشارة، حيث يتناسب حجم الضوضاء طرديًا مع شدة الإشارة. وعلى عكس الضوضاء الجمعية، التي لا تعتمد على الإشارة، فإن الضوضاء المضاعفة تُعقّد عملية المعالجة نظرًا لاعتمادها على الإشارة الأساسية.

ومن الأمثلة المهمة على ذلك ضوضاء التبقع الشائعة في صور الرادار . ومن أمثلة الضوضاء المضاعفة التي تؤثر على الصور الرقمية: الظلال الطبيعية الناتجة عن تموجات سطح الأجسام المصورة، والظلال التي تلقيها الأجسام المعقدة مثل أوراق الشجر والستائر المعدنية ، والبقع الداكنة الناتجة عن الغبار في العدسة أو مستشعر الصورة، والاختلافات في كسب العناصر الفردية لمصفوفة مستشعر الصورة . ^{[ 1 ]}

في مجال المعادلات التفاضلية العشوائية ، يُستخدم الضجيج المضاعف لنمذجة الأنظمة التي يعتمد فيها سعة التقلبات العشوائية الداخلية للنظام على حالته. ومن أبرز الأمثلة على الضجيج المضاعف في المعادلات التفاضلية العشوائية حركة براون الهندسية . تُستخدم حركة براون الهندسية على نطاق واسع في مجال التمويل لنمذجة أسعار الأسهم، وأسعار صرف العملات، وغيرها من الأصول. ويُستخدم نموذج حركة براون الهندسية على نطاق واسع في الرياضيات المالية لوصف تطور أسعار الأصول، حيث يفترض أن العوائد النسبية للأصل تتبع التوزيع الطبيعي على فترات زمنية متناهية الصغر. وتُعطى معادلة حركة براون الهندسية التفاضلية العشوائية كما يلي: ${\displaystyle dX_{t}=\mu X_{t}\,dt+\sigma X_{t}\,dW_{t},}$ أين:

• ${\displaystyle X_{t}}$هل سعر الأصل في ذلك الوقت${\displaystyle t}$،
• ${\displaystyle \mu }$هو العائد المتوقع (معدل الانحراف)،
• ${\displaystyle \sigma }$هو تقلب العوائد،
• ${\displaystyle W_{t}}$هي حركة براونية قياسية ( عملية وينر ).

نظرية (صيغة إيتو). ليكن${\displaystyle X_{t}}$يُعطى بواسطة: ${\displaystyle dX_{t}=b(t,\omega )\,dt+\sigma (t,\omega )\,dW_{t}.}$ يترك${\displaystyle f(t,x)}$كن${\displaystyle C^{1,2}}$دالة (أي،${\displaystyle C^{1}}$مع مرور الوقت،${\displaystyle C^{2}}$في الفضاء). ثم العملية${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$يرضي ${\displaystyle df(X_{t})=\left(\partial _{t}f(t,X_{t})+\partial _{x}f(t,X_{t})b(t,\omega )+{\frac {1}{2}}\partial _{x,x}f(t,X_{t})\sigma ^{2}(t,\omega )\right)dt+\partial _{x}f(t,X_{t})\sigma (t,\omega )dW_{t}.}$

تعيين ${\displaystyle f(t,x)=\log x.}$

تطبيق صيغة إيتو على${\displaystyle Y_{t}=f(t,x)}$، نقوم بالحساب: ${\displaystyle d(\log X_{t})=d(Y_{t})=\left[{\frac {1}{X_{t}}}(\mu X_{t})+{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {1}{X_{t}^{2}}}\right)(\sigma ^{2}X_{t}^{2})\right]dt+{\frac {1}{X_{t}}}(\sigma X_{t})dW_{t}.}$

تبسيط كل مصطلح: ${\displaystyle d(\log X_{t})=d(Y_{t})=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW_{t}.}$

وبدمج البيانات مع مرور الوقت، نحصل على: ${\displaystyle \log X_{t}=Y_{t}=Y_{0}+\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t},\quad {\text{حيث}}\quad Y_{0}=\log X_{0}.}$

برفع كلا الطرفين إلى الأس نحصل على الحل لـ${\displaystyle X_{t}}$: ${\displaystyle X_{t}=\exp(Y_{t})=X_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right).}$

يمكن كتابة حل هذه المعادلة التفاضلية العشوائية بشكل صريح على النحو التالي: ${\displaystyle X_{t}=X_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right),}$ أين${\displaystyle X_{0}}$هو سعر الأصل الأولي.

تشمل الخصائص الرئيسية لنموذج GBM ما يلي:

• التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي : لأي قيمة ثابتة${\displaystyle t>0}$،${\displaystyle X_{t}}$يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.
• عدم السلبية :${\displaystyle X_{t}>0}$من شبه المؤكد للجميع${\displaystyle t}$، مما يضمن نمذجة واقعية لأسعار الأصول التي لا يمكن أن تصبح سلبية.
• الضوضاء المضاعفة : مصطلح التذبذب العشوائي${\displaystyle \sigma X_{t}\,dW_{t}}$يتناسب مع${\displaystyle X_{t}}$وهذا يعكس الحقيقة التجريبية المتمثلة في أن أسعار الأصول الأكبر تميل إلى إظهار تقلبات مطلقة أكبر.

يشكل نموذج GBM الأساس لنموذج Black–Scholes المستخدم لاستخلاص حلول مغلقة الشكل لتسعير الخيارات الأوروبية.

في الرياضيات المالية، يعكس وجود الضوضاء المضاعفة الملاحظة التجريبية بأن حجم تقلبات أسعار الأصول يميل إلى التناسب مع قيمة الأصل. وتُعد هذه الخاصية أساسية في اشتقاق نماذج مثل نموذج بلاك-شولز لتسعير الخيارات.

يتم وصف نموذج كوكس -إنجرسول-روس (CIR) بواسطة المعادلة التفاضلية العشوائية: ${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$ أين:

• ${\displaystyle r_{t}}$هو سعر الفائدة قصير الأجل،
• ${\displaystyle a>0}$هي سرعة العودة إلى المتوسط،
• ${\displaystyle b>0}$هو المستوى المتوسط ​​على المدى الطويل،
• ${\displaystyle \sigma >0}$هو معامل التقلب،
• ${\displaystyle W_{t}}$هي حركة براونية قياسية.

لا يوجد حل بسيط مغلق لعملية CIR من حيث${\displaystyle r_{t}}$و${\displaystyle W_{t}}$ومع ذلك، فإن توزيعها الشرطي معروف: لقيمة ابتدائية ثابتة${\displaystyle r_{0}}$المتغير${\displaystyle r_{t}}$يتبع توزيع كاي تربيع غير مركزي مُقاس .

يمكن تطبيق طريقة أويلر-ماروياما للمحاكاة العددية، وذلك بتقسيم الزمن إلى خطوات زمنية.${\displaystyle \Delta t}$: ${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}+a(b-r_{n})\Delta t+\sigma {\sqrt {r_{n}}}\,\Delta W_{n},}$ أين${\displaystyle \Delta W_{n}}$هي زيادات طبيعية مستقلة مع ${\displaystyle \Delta W_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\Delta t).}$

بسبب مصطلح الانتشار ذي الجذر التربيعي، يجب توخي الحذر لضمان${\displaystyle r_{n}\geq 0}$أثناء المحاكاة. تُستخدم عدة طرق لمعالجة هذه المشكلة:

• مخطط الاقتطاع الكامل : تعيين القيم السالبة إلى الصفر.
• مخطط الانعكاس: عكس القيم السالبة إلى قيم موجبة.
• مخطط شبه صريح:

${\displaystyle r_{n+1}=\left({\sqrt {r_{n}+a(b-r_{n})\Delta t}}+{\frac {\sigma }{2}}\Delta W_{n}\right)^{2},}$ مما يحافظ بشكل أفضل على الإيجابية ويحسن الاستقرار العددي .

بدلاً عن ذلك،${\displaystyle r_{t}}$يمكن أخذ عينات منها بدقة عن طريق توليد متغير عشوائي من توزيع كاي تربيع غير المركزي المناسب .

يُعدّ نموذج هيستون نموذجًا للتقلبات العشوائية يُستخدم في التمويل الرياضي لوصف تطور أسعار الأصول وتقلباتها. وهو يُوسّع إطار عمل بلاك-شولز من خلال السماح للتقلبات بالتغير عشوائيًا بمرور الوقت.

يُعرَّف نموذج هيستون بواسطة نظام المعادلات التفاضلية العشوائية التالي: ${\displaystyle {\begin{aligned}dS_{t}&=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {v_{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{(1)},\\dv_{t}&=\kappa (\theta -v_{t})\,dt+\xi {\sqrt {v_{t}}}\,dW_{t}^{(2)},\end{aligned}}}$ أين:

• ${\displaystyle S_{t}}$هل سعر الأصل في ذلك الوقت${\displaystyle t}$،
• ${\displaystyle v_{t}}$يمثل التباين اللحظي (أي مربع التقلب)،
• ${\displaystyle \mu }$هو معدل انحراف الأصل،
• ${\displaystyle \kappa }$هو المعدل الذي${\displaystyle v_{t}}$يعود إلى متوسطه طويل الأجل${\displaystyle \theta }$،
• ${\displaystyle \xi }$إنها تقلبات التقلبات،
• ${\displaystyle W_{t}^{(1)}}$و${\displaystyle W_{t}^{(2)}}$هي حركات براونية قياسية ذات ارتباط${\displaystyle \rho }$

السمة الرئيسية لنموذج هيستون هي أن التقلب${\displaystyle {\sqrt {v_{t}}}}$هي في حد ذاتها عملية عشوائية مدفوعة بانتشار الجذر التربيعي (على غرار عملية CIR). وهذا يسمح للنموذج برصد السمات التجريبية المهمة للأسواق المالية، مثل:

• تجميع التقلبات،
• تأثير الرافعة المالية (عبر${\displaystyle \rho <0}$)
• تبتسم التقلبات الضمنية وتتشوه.

The Heston model admits a closed-form solution for European option prices using characteristic functions and Fourier transform methods, which makes it both tractable and flexible for calibration to market data.