التمويل الرياضي

عالم كيو

هدف	"استقراء الحاضر"
بيئة	احتمالية الحياد تجاه المخاطر${\displaystyle \mathbb {Q} }$
العمليات	مارتينجالات الزمن المستمر
الأبعاد	قليل
أدوات	حساب التفاضل والتكامل من نوع إيتو، المعادلات التفاضلية الجزئية
التحديات	معايرة
عمل	جانب البيع

يهدف تسعير المشتقات إلى تحديد السعر العادل لورقة مالية معينة، وذلك باستخدام أوراق مالية أخرى أكثر سيولة، والتي يتحدد سعرها وفقًا لقانون العرض والطلب . ويختلف مفهوم "السعر العادل" باختلاف الغرض من التداول، سواء كان شراءً أو بيعًا. ومن أمثلة الأوراق المالية التي يتم تسعيرها: الخيارات التقليدية والخيارات المعقدة ، والسندات القابلة للتحويل ، وغيرها.

بمجرد تحديد سعر عادل، يستطيع المتداول في جانب البيع إنشاء سوق للأوراق المالية. لذا، يُعد تسعير المشتقات عملية "استقراء" معقدة لتحديد القيمة السوقية الحالية للأوراق المالية، والتي يستخدمها مجتمع البائعين. بدأ لويس باشيليه التسعير الكمي للمشتقات في كتابه "نظرية المضاربة " (Théorie de la spéculation، نُشر عام 1900)، حيث قدّم أبسط العمليات وأكثرها تأثيرًا، وهي الحركة البراونية ، وتطبيقاتها في تسعير الخيارات. ^{[ 4 ] [ 5 ]} تُشتق الحركة البراونية باستخدام معادلة لانجفين والمسار العشوائي المنفصل . ^{[ 6 ]} قام باشيليه بنمذجة السلاسل الزمنية للتغيرات في لوغاريتم أسعار الأسهم كمسار عشوائي ، حيث تتميز التغيرات قصيرة الأجل بتباين محدود . وهذا ما يجعل التغيرات طويلة الأجل تتبع التوزيع الغاوسي . ^{[ 7 ]}

ظلت النظرية غير مستغلة حتى قام فيشر بلاك ومايرون سكولز ، إلى جانب مساهمات أساسية من روبرت سي. ميرتون ، بتطبيق ثاني أكثر العمليات تأثيرًا، وهي الحركة البراونية الهندسية ، على تسعير الخيارات . وقد مُنح سكولز وميرتون جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية عام 1997 تقديرًا لهذا الإنجاز . أما بلاك، فلم يكن مؤهلًا للجائزة لأنه توفي عام 1995. ^{[ 8 ]}

كانت الخطوة المهمة التالية هي النظرية الأساسية لتسعير الأصول لهاريسون وبليسكا (1981)، والتي بموجبها يكون السعر الحالي المعياري المناسب P ₀ للأوراق المالية خاليًا من المراجحة، وبالتالي عادلًا حقًا فقط إذا كانت هناك عملية عشوائية P _t ذات قيمة متوقعة ثابتة تصف تطورها المستقبلي: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

1

تُسمى العملية التي تحقق الشرط ( 1 ) " مارتينجال ". لا يُكافئ المارتينجال المخاطرة. لذا، يُطلق على احتمال عملية سعر الأوراق المالية المُعَيَّرة اسم "محايد للمخاطرة"، ويُرمز إليه عادةً بالحرف " " في خط السبورة .${\displaystyle \mathbb {Q} }$".

يجب أن تكون العلاقة ( 1 ) صحيحة لجميع الأوقات t: لذلك فإن العمليات المستخدمة لتسعير المشتقات يتم تحديدها بشكل طبيعي في الوقت المستمر.

يركز المحللون الكميون في "عالم التحليل الكمي" على تسعير المنتجات المشتقة. ويتطلب دورهم فهمًا دقيقًا للنماذج الرياضية المستخدمة في أدوات مالية محددة.

تُسعّر الأوراق المالية بشكل فردي، ولذا فإن المشكلات في عالم Q ذات طبيعة منخفضة الأبعاد. يُعدّ المعايرة أحد التحديات الرئيسية في عالم Q: فبمجرد معايرة عملية بارامترية مستمرة الزمن لمجموعة من الأوراق المالية المتداولة من خلال علاقة مثل ( 1 )، تُستخدم علاقة مماثلة لتحديد سعر المشتقات الجديدة.

تتمثل الأدوات الكمية الرئيسية اللازمة للتعامل مع عمليات Q ذات الزمن المستمر في حساب التفاضل والتكامل العشوائي لإيتو ، والمحاكاة ، والمعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 10 ]}

عالم P

هدف	"نصنع نموذجاً للمستقبل"
بيئة	احتمالية العالم الحقيقي${\displaystyle \mathbb {P} }$
العمليات	سلسلة زمنية منفصلة
الأبعاد	كبير
أدوات	الإحصاءات متعددة المتغيرات
التحديات	تقدير
عمل	جانب الشراء

تهدف إدارة المخاطر والمحافظ الاستثمارية إلى نمذجة التوزيع الاحتمالي المُستمد إحصائيًا لأسعار السوق لجميع الأوراق المالية في أفق استثماري مستقبلي مُحدد. ويُشار عادةً إلى هذا التوزيع الاحتمالي "الحقيقي" لأسعار السوق بالحرف " " المكتوب بخط السبورة.${\displaystyle \mathbb {P} }$"، على عكس الاحتمال "المحايد للمخاطر"${\displaystyle \mathbb {Q} }$يُستخدم هذا الأسلوب في تسعير المشتقات المالية. وبناءً على توزيع P، يتخذ المستثمرون قراراتهم بشأن الأوراق المالية التي سيشترونها لتحسين الربح والخسارة المتوقعين لمحفظتهم الاستثمارية. وتتزايد أتمتة بعض جوانب هذه العملية؛ راجع قسم " الاستثمار الكمي " في "موجز التمويل"  للاطلاع على قائمة بالمقالات ذات الصلة.

نظراً لعملهم الرائد، تقاسم ماركويتز وشارب ، إلى جانب ميرتون ميلر ، جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية لعام 1990 ، وهي أول جائزة تُمنح على الإطلاق لعمل في مجال التمويل.

أدخلت أعمال ماركويتز وشارب في مجال اختيار المحافظ الاستثمارية الرياضيات إلى إدارة الاستثمار . ومع مرور الوقت، أصبحت هذه الرياضيات أكثر تعقيدًا. فبفضل روبرت ميرتون وبول سامويلسون ، استُبدلت نماذج الفترة الواحدة بنماذج الحركة البراونية ذات الزمن المستمر ، واستُبدلت دالة المنفعة التربيعية الضمنية في تحسين المتوسط ​​والتباين بدوال منفعة متزايدة ومقعرة أكثر عمومية. ^{[ 11 ]} علاوة على ذلك، تحوّل التركيز في السنوات الأخيرة نحو مخاطر التقدير، أي مخاطر الافتراض الخاطئ بأن تحليل السلاسل الزمنية المتقدم وحده قادر على توفير تقديرات دقيقة تمامًا لمعلمات السوق. ^{[ 12 ]} انظر إدارة المخاطر المالية §  إدارة الاستثمار .

بُذلت جهودٌ كبيرة في دراسة الأسواق المالية وكيفية تغير الأسعار بمرور الوقت. وقد طرح تشارلز داو ، أحد مؤسسي شركة داو جونز وشركاه وصحيفة وول ستريت جورنال ، مجموعةً من الأفكار حول هذا الموضوع تُعرف الآن بنظرية داو . تُشكل هذه النظرية أساس ما يُسمى بأسلوب التحليل الفني لمحاولة التنبؤ بالتغيرات المستقبلية. ومن مبادئ "التحليل الفني" أن اتجاهات السوق تُعطي مؤشرًا على المستقبل، على الأقل على المدى القصير. إلا أن العديد من الأكاديميين يُشككون في مزاعم المحللين الفنيين. وبينما تناولت العديد من الدراسات التجريبية فعالية التحليل الفني، لا يزال هناك غيابٌ للتوافق النهائي حول جدواه في التنبؤ بالأسواق المالية. ^{[ 13 ]}