توزيع كاي تربيع غير المركزي

يترك${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$لتكن k متغيرات عشوائية مستقلة موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسطات${\displaystyle \mu _{i}}$وتباينات الوحدة. ثم المتغير العشوائي

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

يتم توزيعها وفقًا لتوزيع كاي تربيع غير المركزي. ولها معلَمتان:${\displaystyle k}$والذي يحدد عدد درجات الحرية (أي عدد${\displaystyle X_{i}}$)، و${\displaystyle \lambda }$وهو ما يرتبط بمتوسط ​​المتغيرات العشوائية${\displaystyle X_{i}}$بواسطة:

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\displaystyle \lambda }$يُطلق عليه أحيانًا اسم معامل اللامركزية . لاحظ أن بعض المراجع تُعرّف${\displaystyle \lambda }$وبطرق أخرى، مثل نصف المجموع أعلاه، أو جذره التربيعي.

ينشأ هذا التوزيع في الإحصاءات متعددة المتغيرات كمشتق من التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات . بينما يمثل توزيع كاي تربيع المركزي المعيار التربيعي لمتجه عشوائي مع${\displaystyle N(0_{ك},I_{ك})}$التوزيع (أي مربع المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة مختارة عشوائيًا من ذلك التوزيع)، غير المركزي${\displaystyle \chi ^{2}}$هو المعيار التربيعي لمتجه عشوائي مع${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$التوزيع. هنا${\displaystyle 0_{k}}$هو متجه صفري طوله k ،${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$و${\displaystyle I_{k}}$هي مصفوفة الوحدة ذات الحجم k .

دالة كثافة الاحتمال (pdf) معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

أين${\displaystyle Y_{q}}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع كاي تربيع مع${\displaystyle q}$درجات الحرية.

من هذا التمثيل، يتضح أن توزيع كاي تربيع غير المركزي هو مزيج مرجح بتوزيع بواسون من توزيعات كاي تربيع المركزية. لنفترض أن متغيرًا عشوائيًا J له توزيع بواسون بمتوسط${\displaystyle \lambda /2}$ويكون التوزيع الشرطي لـ Z بشرط J  = i هو توزيع كاي تربيع بدرجات حرية k + 2i . وبالتالي ، يكون التوزيع غير الشرطي لـ Z هو توزيع كاي تربيع غير مركزي بدرجات حرية k ، ومعامل اللامركزية λ = 1.   ${\displaystyle \lambda }$.

أو يمكن كتابة ملف PDF على النحو التالي

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

أين${\displaystyle I_{\nu }(y)}$هي دالة بيسل معدلة من النوع الأول معطاة بواسطة

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (\nu +j+1)}}.}$

باستخدام العلاقة بين دوال بيسل والدوال الهندسية الفائقة ، يمكن كتابة دالة الكثافة الاحتمالية أيضًا على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.}$

تمت مناقشة الحالة k  =  0 ( درجات حرية صفرية )، والتي يكون فيها للتوزيع مكون منفصل عند الصفر، من قبل تورجرسن (1972) وسيجل (1979) بشكل أوسع. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يمكن اشتقاق دالة كثافة الاحتمال بسهولة عن طريق اتباع الخطوات التالية:

1. منذ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$إذا كانت لها تباينات موحدة، فإن توزيعها المشترك متناظر كرويًا، حتى تغيير الموقع.
2. وبالتالي، فإن التناظر الكروي يعني أن توزيع${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$يعتمد ذلك على الوسائل فقط من خلال مربع الطول،${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$وبالتالي، ودون الإخلال بعمومية المسألة، يمكننا أن نأخذ${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$و${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$.
3. استنتج الآن كثافة${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$(أي الحالة k  =  1). يُظهر التحويل البسيط للمتغيرات العشوائية أن

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \phi (\cdot )}$هي الكثافة الطبيعية القياسية.

1. قم بتوسيع حد cosh في متسلسلة تايلور . هذا يعطي تمثيل خليط بواسون الموزون للكثافة، مع بقاء k  =  1. مؤشرات المتغيرات العشوائية مربع كاي في المتسلسلة أعلاه هي 1  +  2i في هذه الحالة.
2. وأخيرًا، بالنسبة للحالة العامة. لقد افترضنا، دون الإخلال بعمومية المسألة، أن${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$هي طبيعية قياسية، ولذا${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$له توزيع كاي تربيع مركزي بدرجات حرية ( k  - 1)، مستقل عن ${\displaystyle X_{1}^{2}}$استخدام تمثيل الخليط الموزون ببواسون لـ${\displaystyle X_{1}^{2}}$وبما أن مجموع المتغيرات العشوائية ذات التوزيع كاي تربيع هو أيضًا توزيع كاي تربيع، فإن النتيجة تكتمل. تكون مؤشرات المتسلسلة كما هو مطلوب: (1 + 2i  )  + ( k - 1 ) = k + 2i .       

دالة توليد العزوم معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.}$

اللحظات الأولى الخام هي:

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda ).}$

اللحظات المحورية الأولى هي:

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

العزم التراكمي رقم n هو

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

لذلك

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu '_{n-j}.}$

باستخدام العلاقة بين توزيعات كاي تربيع المركزية وغير المركزية، يمكن كتابة دالة التوزيع التراكمي (cdf) على النحو التالي:

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)}$

أين${\displaystyle Q(x;k)\,}$هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع كاي تربيع المركزي ذي k درجة حرية، والتي تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

وأين${\displaystyle \gamma (k,z)\,}$هي دالة غاما غير المكتملة الدنيا .

وظيفة ماركوم كيو${\displaystyle Q_{M}(a,b)}$يمكن استخدامها أيضًا لتمثيل دالة التوزيع التراكمي. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)}$

عندما تكون درجات الحرية k عددًا صحيحًا فرديًا موجبًا، يكون لدينا تعبير مغلق الشكل لدالة التوزيع التراكمي التكميلية المعطاة بواسطة ^{[ 6 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x;2n+1,\lambda )&=1-Q_{n+1/2}({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}})\\&=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+e^{-(x+\lambda )/2}\sum _{m=1}^{n}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{m/2-1/4}I_{m-1/2}({\sqrt {\lambda x}})\right],\end{aligned}}}$

حيث n عدد صحيح غير سالب، وQ دالة Q الغاوسية ، و I دالة بيسل المعدلة من النوع الأول ذات الرتبة النصفية. ويمكن تمثيل دالة بيسل المعدلة من النوع الأول ذات الرتبة النصفية كمجموع منتهٍ بدلالة الدوال الزائدية .

وبالتحديد، بالنسبة لـ k = 1، لدينا

${\displaystyle P(x;1,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\right].}$

كذلك، بالنسبة لـ k = 3، لدينا

${\displaystyle P(x;3,\lambda )=1-\left[Q({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})+Q({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})+{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh({\sqrt {\lambda x}})}{\sqrt {\lambda }}}e^{-(x+\lambda )/2}\right].}$

يناقش سانكاران (1963) تحولات الشكل ${\displaystyle z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}}$يقوم بتحليل توسعات التراكمات لـ${\displaystyle z}$حتى نهاية الفصل الدراسي${\displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$ويُظهر أن الخيارات التالية لـ${\displaystyle b}$تحقيق نتائج معقولة:

• ${\displaystyle b=(k-1)/2}$يجعل العزم التراكمي الثاني لـ${\displaystyle z}$مستقل تقريبًا عن${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/3}$يشكل العزم التراكمي الثالث لـ${\displaystyle z}$مستقل تقريبًا عن${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle b=(k-1)/4}$يشكل العزم التراكمي الرابع لـ${\displaystyle z}$مستقل تقريبًا عن${\displaystyle \lambda }$

كما أن التحويل أبسط${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$يمكن استخدامها كتحويل لتثبيت التباين ينتج عنه متغير عشوائي بمتوسط${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$والتباين${\displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$.

قد يعيق استخدام هذه التحويلات الحاجة إلى أخذ الجذور التربيعية للأعداد السالبة.

توزيعات كاي وكاي تربيع المختلفة

اسم	إحصائية
توزيع كاي تربيع	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
توزيع كاي تربيع غير المركزي	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
توزيع كاي	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
توزيع كاي غير المركزي	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

يمكن الحصول على فترات التسامح للانحدار الطبيعي ثنائي الجانب بناءً على توزيع كاي تربيع غير المركزي. ^{[ 12 ]} وهذا يُمكّن من حساب فاصل إحصائي تقع ضمنه، بمستوى ثقة معين، نسبة محددة من عينة من السكان.