هندسة موبيوس

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ هندسة موبيوس فرعًا من فروع الهندسة، وتحديدًا فرعًا من الهندسة المطابقة ، وهي تُعنى بدراسة الأشكال الهندسية في المستوى العقدي الممتد. [ 1 ] سُمّي هذا الفرع نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني أوغسطس فرديناند موبيوس (1790-1868). [ 2 ] كما أنها تُتيح دراسة الهندسات المستوية. [ 3 ]

الخلفية التاريخية

وضع موبيوس أسس هذا المجال، لا سيما من خلال عمله الرياضي عام 1827: " حساب مراكز الجاذبية". في هذا العمل، قدّم الإحداثيات المتجانسة - وهي إحداثيات يمكن أن تشمل نقطة في اللانهاية - وتناول التحويلات الهندسية الإسقاطية على وجه الخصوص. في عام 1858، اكتشف شريط موبيوس ، وهو سطح ذو وجه واحد. [ 2 ]

في حوالي الثلث الأول من القرن العشرين، قدم عالم الرياضيات النمساوي فيلهلم بلاشكه نموذجًا آخر، تكمن ميزته في تضمين مجموعة التشاكل التفاضلي في النموذج الموصوفم(ن){\displaystyle M(n)}مجموعات من التحويلات الخطية. [ 4 ] وقد ساهم هذا النموذج في تطوير مجال هندسة موبيوس.

مقدمة غير رسمية

بشكل غير رسمي، هندسة موبيوس هي دراسة التحويلات الهندسية التي تعيد الكرات الفائقة إلى حالتها الأصلية. ووفقًا لبرنامج إرلانجر ، تصف هندسة موبيوس تأثير مجموعة موبيوس علىSن{\displaystyle S^{n}}[ 4 ]​

التطبيقات

تُستخدم هندسة موبيوس في مختلف المجالات:

  1. وقد استُخدمت هذه التقنية في رسومات الحاسوب لمقارنة شكلين ثلاثي الأبعاد عن طريق إسقاطهما على كرة وتحديد أوجه التطابق بين السطحين. [ 5 ]
  2. تُستخدم هندسة موبيوس أيضًا في الفيزياء النظرية ، ولا سيما النسبية الخاصة . عند دراسة العلاقة بين مجموعة لورنتز وتحويلات موبيوس، وُجد أن قوانين الفيزياء التي تحكم الزمكان تعمل تمامًا مثل رياضيات مجموعة موبيوس على سطح السماء، مما يعني أن الانحناء المرئي لأشعة الضوء الواردة لمراقب متحرك بسرعة يخضع كليًا لقواعد هندسة موبيوس. [ 6 ]
  3. بالإضافة إلى ذلك، تجد هندسة موبيوس تطبيقات في الهندسة المعمارية ، حيث أنها تُمكّن من إنشاء أسطح تقسيم فرعية تُعيد إنتاج الكرات والأقواس الدائرية وغيرها من السمات الهندسية الثابتة في موبيوس، والتي تُعد ذات قيمة عالية في التصميم المعماري. [ 7 ]
  4. علاوة على ذلك، يمكن تطبيق هذه التقنية في مجالات هندسية، مثل هندسة الطيران والفضاء والاتصالات عبر الأقمار الصناعية . في هذه التطبيقات، تُستخدم وحدات تحويل موبيوس لتوسيع الشرائح الثابتة أحادية البعد إلى حقول خطية وشعاعية ثنائية الأبعاد. تُمكّن وحدة تحويل موبيوس البصرية (OMT) من التحويل من أي مسح أحادي البعد إلى مسح ثنائي الأبعاد. [ 8 ]
  5. ينبغي أيضًا النظر في تطبيقاتها في الرياضيات، ولا سيما الهندسة الكروية . إذ تتميز تحويلات موبيوس بقدرتها على رسم نقاط محددة على سطح الكرة، وبالتالي تحويل الدوائر الكبيرة إلى دوائر عظمى. وتُستخدم هذه الطريقة نفسها في رسم الخرائط لعرض الأجزاء الكروية على خريطة مستوية. [ 1 ]

تعريف

في هندسة موبيوس، تُدرس علاقات ثابتة معينة بين أربع نقاط متميزة، بينما في الهندسة المترية ، ينصب التركيز على المسافة بين نقطتين. تعتمد هندسة موبيوس على العلاقات الهندسية والجبرية التي تتشكل من خلال اقتران هذه النقاط الأربع. ومن هذه النقاط الأربع، توجد ثلاث طرق مختلفة لتقسيمها إلى أزواج (على سبيل المثال، تجميع أربع نقاط).z1،z2،z3،z4{\textstyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}(في أزواج من اثنين). يمكننا تسمية هذه الأزواج الثلاثة (كل زوج مكون من نقطتين)أ،ب{\displaystyle A,B}وج{\displaystyle C}.

يركز هذا المجال الفرعي على الخصائص التي تظل ثابتة تحت تحويلات موبيوس. [ 9 ]

الرموز

رمزمعنى
z{\displaystyle z}متغير معقد
أ،ب،ج،د{\displaystyle a,b,c,d}الأعداد المركبة كمتغيرات (أ،ب،ج،د{\displaystyle a,b,c,d}∈{\displaystyle \in }ℂ )
ر{\displaystyle r}القيمة المطلقة أو معيار العدد المركب|z|{\displaystyle |z|}[ 10 ]
ت{\displaystyle t}زاوية أو حجة العدد المركب [ 11 ]
أ،ب{\displaystyle A,B}الثوابت في عملية الانعكاس
μ{\displaystyle \mu }تحويل موبيوس
ψ{\displaystyle \psi }الإسقاط المجسم
u{\displaystyle u}الإحداثي السيني للكرة الوحدةS2{\displaystyle S^{2}}
v{\displaystyle v}الإحداثي الصادي للكرة الوحدةS2{\displaystyle S^{2}}
w{\displaystyle w}الإحداثي z للكرة الوحدةS2{\displaystyle S^{2}}

أمثلة

تعبئة الدوائر الحلزونية اللوكسودرومية عبر تحويل موبيوس

تحويل موبيوس

تحويل موبيوس هو رسم بياني على شكل

تي(z):=أz+بجz+د{\displaystyle T(z):={\frac {az+b}{cz+d}}}.

القاعدة العامة هي:أد-بج≠0{\displaystyle ad-bc\neq 0}.

انعكاس الدائرة

انعكاس في دائرة

ينشأ أي تحويل موبيوس من سلسلة من الانعكاسات في الدوائر. الخريطةأنا(z):=1/z{\displaystyle I(z):=1/z}يُطلق عليه اسم الانعكاس. يتم تعريف التطبيق على

ج*:=ج∖{0}{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}:=\mathbb {C} \setminus \{0\}}.

ثم، إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية،

z=رهـأنات≠0{\displaystyle z=re^{it}\neq 0}

الانعكاس1/z=(1/(zz¯))⋅z=(1/ر)⋅هـ-أنات{\displaystyle 1/z=(1/(z{\bar {z}}))\cdot z=(1/r)\cdot e^{-it}}

يتكون من الانعكاس على دائرة الوحدة

رهـأنات↦1رهـأنات{\displaystyle re^{it}\mapsto {\frac {1}{r}}e^{it}}

وانعكاسها على محور السينات. والآن لنُبين ذلك.

تي(z):=أz+بجz+د{\displaystyle T(z):={\frac {az+b}{cz+d}}}معج≠0{\displaystyle c\neq 0}

في أي تحويل موبيوس، يتم إدخالأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}إذا الآن

أ:=بج-أدج{\displaystyle A:={\frac {bc-ad}{c}}}وب:=أج{\displaystyle B:={\frac {a}{c}}}، ثم

أ⋅1جz+د+ب=أ(جz+د)+(بج-أد)ج(جz+د){\displaystyle A\cdot {\frac {1}{cz+d}}+B={\frac {a(cz+d)+(bc-ad)}{c(cz+d)}}}

=أجz+أد+بج-أدج(جz+د)=أz+بجz+د=تي(z){\displaystyle ={\frac {acz+ad+bc-ad}{c(cz+d)}}={\frac {az+b}{cz+d}}=T(z)}.

لذلك،تي{\displaystyle T}يتكون من الانعكاس. [ 11 ]

كرة ريمان

تحويل موبيوس للكرة الريمانية

كرة ريمان

كرة ريمانP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}هو فضاء متعدد الأبعاد معقد يمثل المستوى المعقد الممتد ، والذي يمكن تعريفه على أنه المجموعةج∪{∞}{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}[ 12 ]​

تحويل موبيوس للكرة الريمانية

هنا، يُشار إلى تحويل موبيوس على النحو التالي:

μأ،ب،ج،د{\displaystyle \mu _{a,b,c,d}}:P1⟼P1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\longmapsto \mathbb {P} ^{1}}.

تُعرَّف بأنها دالة كرة ريمانP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}إلى نفسها، كما هو محدد بالخصائص التالية:

μأ،ب،ج،د(z){\displaystyle \mu _{a,b,c,d}(z)}=أz+بجz+د{\displaystyle ={\frac {az+b}{cz+d}}}.

وهي معرفة لجميع الأعداد المركبةz{\displaystyle z}بحيث

جz+د≠0{\displaystyle cz+d\neq 0}؛μأ،ب،ج،د(-د/ج)=∞{\displaystyle \mu _{a,b,c,d}(-d/c)=\infty }وμأ،ب،ج،د(∞)=أ/ج{\displaystyle \mu _{a,b,c,d}(\infty )=a/c}لوج≠0{\displaystyle c\neq 0}؛μأ،ب،ج،د(∞)=∞{\displaystyle \mu _{a,b,c,d}(\infty )=\infty }لوج=0{\displaystyle c=0}.

الإسقاط المجسم

الإسقاط المجسم

الإسقاط المجسم هو صياغة هندسية. وهو يُنشئ علاقة تناظرية بين مكمل نقطة ثابتةأ{\displaystyle A}على الكرة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وبعض نقاط المستوىZ{\displaystyle Z}عبر المركزج{\displaystyle C}الكرة العمودية على القطعة المستقيمةأج{\displaystyle AC}.

أولاً، لدينا كرة الوحدةS2{\displaystyle S^{2}}فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، مُعرَّفة بطريقة بحيث

S2={(u،v،w)∈R3:u2+v2+w2=1}{\displaystyle S^{2}=\{(u,v,w)\in \mathbb {R} ^{3}:u^{2}+v^{2}+w^{2}=1\}}.

والآن، لنبدأ

ψ:S2∖{(0،0،-1)}→R2{\displaystyle \psi :S^{2}\setminus \{(0,0,-1)\}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}

أن يكون إسقاط الخرائط المجسمة، المحدد بحيث

ψ(u،v،w)=(uw+1،vw+1){\displaystyle \psi (u,v,w)=\left({\frac {u}{w+1}},{\frac {v}{w+1}}\right)}

لكل نقطة(u،v،w){\displaystyle (u,v,w)}لS2{\displaystyle S^{2}}[ 13 ]​

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "تحويل موبيوس" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 2026-07-09 .
  2. 1 2 "أوغست فرديناند موبيوس | الهندسة غير الإقليدية، والطوبولوجيا، والمجسمات متعددة الأوجه | بريتانيكا" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 20 يونيو 2026 .
  3. ↑ "3.2: هندسة موبيوس" . نصوص الرياضيات الحرة . 2021-09-28 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-06-20 .
  4. 1 2 "هندسة موبيوس" . www.spektrum.de (بالألمانية) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يونيو 2026 .
  5. ^ بادن ، اليكس. كرين، كينان؛ كازدان ، ميشا (أغسطس 2018). “تسجيل موبيوس”. منتدى رسومات الحاسوب . 37 (5): 211-220 . دوى : 10.1111/cgf.13503 .
  6. ↑ بنروز، روجر (1999). "النسبية وتحويلات موبيوس" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 67 (4): 273-361 .
  7. ↑ فاكسمان، أمير؛ مولر، كريستيان؛ ويبر، أوفير (31 ديسمبر 2018). "تقسيم موبيوس المتعارف عليه". معاملات ACM في الرسومات . 37 (6): 1-15 . doi : 10.1145/3272127.3275007 . hdl : 1874/386978 .
  8. ^ يانغ دونغ. هو تشيانغ. وو، زيتو؛ وو، ليكسون؛ يو، سييوان؛ تشانغ ، يانفينج (سبتمبر 2025). “وحدة تحويل Möbius البصرية لتوسيع أبعاد توجيه الشعاع”. البصريات وتكنولوجيا الليزر . 187 112784. بيب كود : 2025OptLT.18712784Y . دوى : 10.1016/j.optlastec.2025.112784 .
  9. ↑ فورتش، توماس؛ شرودر، فيكتور (2010). "توصيف موبيوس للكرات المترية". arXiv : 1008.3250 [ math.MG ].
  10. ↑ "المعيار" . الرياضيات السرية .
  11. 1 2 "ملاحظات محاضرة الهندسة K4b" (PDF) . جامعة فوبرتال (باللغة الألمانية).
  12. ↑ "كرة ريمان" . وولفرام ماث وورلد .
  13. ↑ "تحويلات موبيوس والإسقاط المجسم" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 18-04-2020.

للمزيد من القراءة

  • Blaschke, W.: محاضرات في الهندسة التفاضلية III . دار نشر يوليوس سبرينغر، برلين، 1929.
  • بيردون، أ.ف.: هندسة المجموعات المنفصلة . سبرينغر فيرلاغ، نيويورك، 1983.
  • كولكارني ، جمهورية صربسكا . بينكال، يو: الهندسة المطابقة . فريدر. فيويغ وسون، براونشفايغ، 1988.