برنامج إرلانجن

في الرياضيات، برنامج إرلانجن هو طريقة لتوصيف الأشكال الهندسية بناءً على نظرية المجموعة والهندسة الإسقاطية . تم نشره بواسطة فيليكس كلاين في عام 1872 تحت عنوان Vergleichende Betrachtungen über neuere Geometrische Forschungen. تم تسميتها على اسم جامعة إرلانجن-نورنبرغ ، حيث عمل كلاين.

بحلول عام 1872، ظهرت الهندسات غير الإقليدية ، ولكن دون وجود طريقة لتحديد تسلسلها الهرمي وعلاقاتها. كانت طريقة كلاين مبتكرة بشكل أساسي من ثلاثة جوانب:

• تم التأكيد على الهندسة الإسقاطية باعتبارها الإطار الموحد لجميع أنواع الهندسة الأخرى التي تناولها. وعلى وجه الخصوص، كانت الهندسة الإقليدية أكثر تقييدًا من الهندسة الأفينية ، والتي بدورها أكثر تقييدًا من الهندسة الإسقاطية.

• اقترح كلاين أن نظرية الزمر ، وهي فرع من الرياضيات يستخدم الأساليب الجبرية لتجريد فكرة التناظر ، هي الطريقة الأكثر فائدة لتنظيم المعرفة الهندسية؛ في ذلك الوقت تم إدخالها بالفعل في نظرية المعادلات في شكل نظرية غالوا .

• أوضح كلاين بشكلٍ جليّ فكرة أن لكل لغة هندسية مفاهيمها الخاصة والمناسبة، فعلى سبيل المثال، تناولت الهندسة الإسقاطية القطوع المخروطية ، لكنها لم تتناول الدوائر أو الزوايا لأن هذه المفاهيم لم تكن ثابتة تحت التحويلات الإسقاطية (وهو أمر مألوف في المنظور الهندسي ). ويمكن تفسير كيفية عودة لغات الهندسة المتعددة إلى بعضها البعض من خلال العلاقة بين المجموعات الفرعية لمجموعة التناظر .

وفي وقت لاحق، قام إيلي كارتان بتعميم فضاءات النموذج المتجانسة لكلاين إلى اتصالات كارتان على حزم رئيسية معينة ، مما عمم الهندسة الريمانية .

منذ عهد إقليدس ، كان يُقصد بالهندسة هندسة الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد ( الهندسة المستوية ) أو ثلاثي الأبعاد ( الهندسة الفراغية ). وفي النصف الأول من القرن التاسع عشر، ظهرت عدة تطورات زادت من تعقيد الصورة. فقد تطلبت التطبيقات الرياضية هندسة رباعية الأبعاد أو أكثر ؛ وكشف التدقيق في أسس الهندسة الإقليدية التقليدية عن استقلالية مسلمة التوازي عن غيرها، ومن هنا نشأت الهندسة غير الإقليدية . اقترح كلاين فكرة مفادها أن جميع هذه الهندسات الجديدة ما هي إلا حالات خاصة من الهندسة الإسقاطية ، كما طورها بونسيليه وموبيوس وكايلي وغيرهم. كما نصح كلاين بشدة علماء الفيزياء الرياضية بأن حتى التوسع المعتدل في مجال الهندسة الإسقاطية قد يعود عليهم بفوائد جمة.

ربط كلاين بكل شكل هندسي مجموعةً أساسيةً من التناظرات . وبالتالي، يُعبَّر عن تسلسل الأشكال الهندسية رياضيًا كتسلسل هرمي لهذه المجموعات ، وتسلسل هرمي لثوابتها . على سبيل المثال، تُحفظ الأطوال والزوايا والمساحات بالنسبة لمجموعة التناظرات الإقليدية ، بينما يُحفظ فقط هيكل التلاقي والنسبة التبادلية تحت التحويلات الإسقاطية الأكثر عمومية . مفهوم التوازي ، المحفوظ في الهندسة الأفينية ، لا معنى له في الهندسة الإسقاطية . ومن ثم، من خلال تجريد مجموعات التناظرات الأساسية من الأشكال الهندسية، يمكن إعادة تأسيس العلاقات بينها على مستوى المجموعة. بما أن مجموعة الهندسة الأفينية هي مجموعة فرعية من مجموعة الهندسة الإسقاطية، فإن أي مفهوم ثابت في الهندسة الإسقاطية يكون ذا معنى مسبق في الهندسة الأفينية؛ ولكن ليس العكس. إذا قمت بإزالة التناظرات المطلوبة، فستحصل على نظرية أكثر قوة ولكن بمفاهيم ونظريات أقل (والتي ستكون أعمق وأكثر عمومية).

بمعنى آخر، "الفضاءات التقليدية" هي فضاءات متجانسة ؛ ولكن ليس بالنسبة لمجموعة محددة بشكل فريد. تغيير المجموعة يغير اللغة الهندسية المناسبة.

في لغة العصر الحديث، تُعرف المجموعات المعنية في الهندسة الكلاسيكية باسم مجموعات لي : المجموعات الكلاسيكية . ويتم وصف العلاقات المحددة ببساطة باستخدام المصطلحات التقنية.

يمكن رؤية الآثار طويلة المدى لبرنامج إرلانجن في جميع أنحاء الرياضيات البحتة (انظر الاستخدام الضمني عند التطابق (الهندسة) ، على سبيل المثال)؛ وأصبحت فكرة التحويلات والتركيب باستخدام مجموعات التناظر معيارًا في الفيزياء .

عندما تُوصف الطوبولوجيا بشكل روتيني من حيث الخصائص الثابتة تحت التشاكل ، يُمكننا ملاحظة الفكرة الأساسية قيد التطبيق. ستكون المجموعات المعنية لانهائية الأبعاد في معظم الحالات - وليست مجموعات لي - لكن الفلسفة واحدة. بالطبع، يُعزى هذا في الغالب إلى التأثير التربوي لكلاين. استخدمت كتب مثل تلك التي ألفها إتش إس إم كوكسيتر بشكل روتيني منهج برنامج إرلانجن للمساعدة في "تحديد" الهندسات. من الناحية التربوية، أصبح البرنامج هندسة التحويل ، وهو أمر له وجهان، فهو يعتمد على بديهيات أقوى من أسلوب إقليدس ، ولكنه أقل قابلية للتحويل إلى نظام منطقي .

يقول جان بياجيه في كتابه "البنيوية" (1970) : "في نظر علماء الرياضيات البنيويين المعاصرين، مثل بورباكي ، فإن برنامج إرلانجن لا يمثل سوى انتصار جزئي للبنيوية، لأنهم يريدون إخضاع جميع الرياضيات، وليس الهندسة فقط، لفكرة البنية " .

بالنسبة للهندسة ومجموعتها، يُطلق أحيانًا على عنصر المجموعة اسم حركة الهندسة. على سبيل المثال، يمكن دراسة نموذج بوانكاريه لنصف المستوى في الهندسة الزائدية من خلال تطوير قائم على الحركات الزائدية . يُمكّن هذا التطوير من إثبات نظرية التوازي الفائق بشكل منهجي باستخدام الحركات المتتالية.

في كثير من الأحيان، يبدو أن هناك شكلين هندسيين متميزين أو أكثر مع مجموعات تماثل ذاتي . وهنا يبرز سؤال قراءة برنامج إرلانجن من المجموعة المجردة إلى الشكل الهندسي.

مثال على ذلك: الهندسة الإهليلجية الموجهة (أي بدون انعكاسات ) (أي سطح كرة ذات n بُعد مع تحديد النقاط المتقابلة) والهندسة الكروية الموجهة (نفس الهندسة غير الإقليدية ، ولكن بدون تحديد النقاط المتقابلة) لهما زمرة تماثل ذاتي ، SO( n +1) للأعداد الزوجية n . قد تبدو هذه الهندسات مختلفة ظاهريًا، ولكن يتضح أنها مترابطة ترابطًا وثيقًا، بطريقة يمكن تحديدها بدقة.

على سبيل المثال، تمتلك الأشكال الهندسية الإهليلجية ذات أنصاف أقطار الانحناء المختلفة مجموعات تماثل ذاتي. لا يُعدّ هذا نقدًا بالمعنى الحقيقي، إذ أن جميع هذه الأشكال الهندسية متماثلة. تقع الهندسة الريمانية العامة خارج نطاق البرنامج.

تظهر الأعداد المركبة والثنائية والمزدوجة (المعروفة أيضًا باسم الأعداد المركبة المنقسمة) كفضاءات متجانسة SL(2, R )/H للمجموعة SL(2, R ) ومجموعاتها الفرعية H=A, N, K. [ ^{1 ] تعمل} المجموعة SL(2, R ) على هذه الفضاءات المتجانسة عن طريق تحويلات كسرية خطية ، ويمكن الحصول على جزء كبير من الهندسات المعنية بطريقة موحدة من برنامج إرلانجن.

وقد ظهرت بعض الأمثلة البارزة الأخرى في الفيزياء.

أولاً، الهندسة الزائدية ذات البعد n ، وفضاء دي سيتر ذو البعد n ، والهندسة العكسية ذات البعد ( n -1) جميعها لها مجموعات تماثل ذاتي متماثلة،

${\displaystyle \mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\ }$

مجموعة لورنتز المتعامدة ، لـ n ≥ 3. لكن هذه هندسات مختلفة ظاهريًا. وهنا تبرز بعض النتائج المهمة من الفيزياء. فقد ثبت أن النماذج الفيزيائية في كل من الهندسات الثلاث "مزدوجة" لبعض النماذج.

مرة أخرى، يمتلك فضاء دي سيتر المضاد ذو البعد n والفضاء المطابق ذو البعد ( n -1) ذو التوقيع "اللورنتزي" (على عكس الفضاء المطابق ذي التوقيع "الإقليدي"، وهو مطابق للهندسة العكسية ، في ثلاثة أبعاد أو أكثر) مجموعات تماثل ذاتي، لكنهما هندستان مختلفتان. ومرة ​​أخرى، توجد نماذج في الفيزياء تتضمن "ازدواجيات" بين هذين الفضائين . انظر AdS/CFT لمزيد من التفاصيل.

مجموعة التغطية لـ SU(2,2) متماثلة مع مجموعة التغطية لـ SO(4,2)، وهي مجموعة التناظر لفضاء مينكوفسكي المطابق رباعي الأبعاد وفضاء مضاد دي سيتر خماسي الأبعاد وفضاء تويستر رباعي الأبعاد معقد .

وبالتالي، لا يزال من الممكن اعتبار برنامج إرلانجن مثمراً، فيما يتعلق بالثنائيات في الفيزياء.

في الورقة البحثية الرائدة التي قدمت الفئات ، ذكر سوندرز ماك لين وصموئيل إيلنبرغ : "يمكن اعتبار هذا استمرارًا لبرنامج كلاين إرلانجر، بمعنى أن الفضاء الهندسي مع مجموعة التحويلات الخاصة به يتم تعميمه إلى فئة مع جبر التطبيقات الخاص بها." ^{[ 2 ]}

يتناول المقال التالي الذي كتبه برادينس العلاقة بين برنامج إرلانجن وعمل تشارلز إهريسمان حول الزمر الجزئية في الهندسة. ^{[ 3 ]}

في المنطق الرياضي ، كان برنامج إرلانجن بمثابة مصدر إلهام لألفريد تارسكي في تحليله للمفاهيم المنطقية . ^{[ 4 ]}

• كلاين، فيليكس (1872) "مراجعة مقارنة للأبحاث الحديثة في الهندسة". الترجمة الإنجليزية الكاملة موجودة هنا https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
• شارب، ريتشارد دبليو. (1997) الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن لكلاين المجلد 166. سبرينغر.
• هاينريش غوغنهايمر (1977) الهندسة التفاضلية ، دوفر، نيويورك، رقم ISBN 0-486-63433-7.

يغطي هذا العمل أعمال لي، وكلاين، وكارتان. وفي الصفحة 139، يلخص غوغنهايمر المجال بالإشارة إلى أن "هندسة كلاين هي نظرية الثوابت الهندسية لمجموعة تحويلات متعدية (برنامج إرلانغن، 1872)".

• توماس هوكينز (1984) " برنامج إرلانجر لفيلكس كلاين: تأملات حول مكانته في تاريخ الرياضيات"، Historia Mathematica 11:442 – 70.
• "برنامج إرلانجن" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• Lizhen Ji و Athanase Papadopoulos (محرران) (2015) Sophus Lie و Felix Klein: برنامج إرلانجن وتأثيره في الرياضيات والفيزياء ، محاضرات IRMA في الرياضيات والفيزياء النظرية 23، دار النشر للجمعية الرياضية الأوروبية، زيورخ.
• فيليكس كلاين (1872) “Vergleichende Betrachtungen über neuere Geometrische Forschungen” (‘مراجعة مقارنة للأبحاث الحديثة في الهندسة‘)، Mathematische Annalen، 43 (1893) ص  63–100 (أيضًا: Gesammelte Abh. Vol. 1، Springer، 1921، pp.  460–497).

ظهرت ترجمة إنجليزية من قبل ميلين هاسكل في نشرة جمعية نيويورك الرياضية 2 (1892-1893): 215-249.

يمكن الاطلاع على النص الألماني الأصلي لبرنامج إرلانجن في المجموعة الإلكترونية لجامعة ميشيغان على الرابط التالي:وكذلك فيبصيغة HTML.

توجد صفحة معلومات مركزية حول برنامج إرلانجن، يديرها جون بايز، على الرابط التالي:.

• فيليكس كلاين (2004) الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الهندسة ، دوفر، نيويورك، رقم ISBN 0-486-43481-8

(ترجمة Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , Teil II: Geometrie، pub. 1924 بواسطة Springer). لديه قسم عن برنامج إرلانجن.