مجموعة n -ary

أسهل بديهية للتعميم هي قانون التجميع. التجميع الثلاثي هو متطابقة كثير الحدود ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) ، أي تساوي الأقواس الثلاثة الممكنة للسلسلة abcde التي تحتوي على أي ثلاثة رموز متتالية. (يُفهم هنا أن المعادلات صحيحة لجميع اختيارات العناصر a ، b ، c ، d ، e في G ). بشكل عام، التجميع من الرتبة n هو تساوي الأقواس n الممكنة لسلسلة تتكون من n + ( n - 1) = 2n - 1 رمزًا مختلفًا مع أي n رمزًا متتاليًا. تُسمى المجموعة G المغلقة تحت عملية تجميعية من الرتبة n شبه زمرة من الرتبة n . تُسمى المجموعة G المغلقة تحت أي عملية من الرتبة n (ليست بالضرورة تجميعية) زمرة جزئية من الرتبة n .

يُعمَّم مبدأ المعكوس كما يلي: في حالة العمليات الثنائية، يعني وجود معكوس أن للمعادلة ax = b حلاً وحيداً لـ x ، وكذلك للمعادلة xa = b حلاً وحيداً. في الحالة الثلاثية، نُعمِّم هذا المبدأ ليشمل abx = c و axb = c و xab = c ، حيث لكل منها حل وحيد. أما في حالة العمليات من الرتبة n ، فيُتبع نمط مماثل لوجود حلول وحيدة، فنحصل على شبه زمرة من الرتبة n .

المجموعة من الرتبة n هي شبه مجموعة من الرتبة n وهي أيضًا شبه مجموعة من الرتبة n .

قدّم بوست نظرية هيكلية لمجموعة من الرتبة n بدلالة مجموعة مرتبطة بها. ^{[ 4 ] : ​​245-246}

في حالة الزمر الثنائية ، قد يكون هناك عنصر محايد واحد أو لا شيء: فالمجموعة الفارغة هي زمرة ثنائية، لأنها شبه زمرة وشبه زمرة في آن واحد، وكل زمرة ثنائية مأهولة هي زمرة. أما في الزمر من الرتبة n، حيث n ≥ 3، فقد يكون هناك عنصر محايد واحد أو أكثر.

تُسمى الزمرة الجزئية من الرتبة n (G, f) حيث f = (x₁ ◦ x₂ ◦ ⋯ ◦ xₙ)، حيث (G, ◦) زمرة، زمرةً قابلةً للاختزال أو مشتقةً من الزمرة ( G , ◦ ) . في عام 1928 ، نشر دورنتي _[ 3 _] أولى النتائج الرئيسية : الزمرة الجزئية _من الرتبة n القابلة للاختزال ^{هي زمرة من} الرتبة n ، ولكن لكل n > 2 توجد زمر من الرتبة n غير قابلة للاختزال. في بعض الزمر من الرتبة n ، يوجد عنصر e (يُسمى عنصرًا محايدًا أو عنصرًا محايدًا من الرتبة n ) بحيث تُقابل أي سلسلة من n عنصرًا تتكون من جميع عناصر e ، باستثناء عنصر واحد، العنصر الموجود في ذلك العنصر. على سبيل المثال، في زمرة رباعية عنصرها المحايد e ، يكون eeae = a لكل a .       

الزمرة من الرتبة n التي تحتوي على عنصر محايد قابلة للاختزال. وبالتالي، فإن الزمرة من الرتبة n غير القابلة للاختزال لا تحتوي على مثل هذه العناصر. توجد زمر من الرتبة n تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد. إذا كانت مجموعة جميع العناصر المحايدة في زمرة من الرتبة n غير فارغة، فإنها تُشكّل زمرة جزئية من الرتبة n . ^{[ 5 ]}

يُدرج بعض المؤلفين عنصرًا محايدًا في تعريف المجموعة من الرتبة n، ولكن كما ذُكر سابقًا، فإن هذه العمليات من الرتبة n هي مجرد عمليات ثنائية مُكررة. لا تحتوي المجموعات التي تتضمن عمليات من الرتبة n جوهريًا على عنصر محايد . ^{[ 6 ]}

إن بديهيات التجميع والحلول الفريدة في تعريف الزمرة من الرتبة n أقوى مما ينبغي. فبافتراض التجميع في الزمر من الرتبة n ، يكفي افتراض وجود حل للمعادلات التي يكون فيها المجهول في بداية السلسلة أو نهايتها، أو في أي مكان آخر غير النهايات؛ على سبيل المثال، في حالة الزمرة من الرتبة 6 ، xabcde  = f و abcdex = f ، أو تعبير مثل abxcde = f . عندئذٍ يمكن إثبات أن للمعادلة حلاً وحيداً لـ x في أي مكان في السلسلة. ^{[ 4 ]} كما يمكن صياغة بديهية التجميع بصيغة أضعف. ^{[ 2 ] : 17}