شبه المجموعة

الزمرة الشبهية ( Q , ∗) هي مجموعة Q تحتوي على عملية ثنائية ∗ (أي عنصر magma ، مما يشير إلى أن الزمرة الشبهية يجب أن تحقق خاصية الإغلاق)، وتخضع لخاصية المربع اللاتيني . تنص هذه الخاصية على أنه لكل عنصرين a و b في Q ، يوجد عنصران وحيدان x و y في Q بحيث يكون كلاهما $${\displaystyle a\ast x=b}$$$${\displaystyle y\ast a=b}$$ ثبات. (بمعنى آخر: يظهر كل عنصر من عناصر المجموعة مرة واحدة فقط في كل صف ومرة ​​واحدة فقط في كل عمود من جدول ضرب شبه المجموعة، أو جدول كايلي . تضمن هذه الخاصية أن يكون جدول كايلي لشبه مجموعة منتهية، وخاصةً مجموعة منتهية، مربعًا لاتينيًا .) يمكن استبدال شرط أن يكون x و y فريدين بشرط أن تكون المجموعة قابلة للاختزال . ^{[ 5 ] [ أ ]}

تُكتب الحلول الفريدة لهذه المعادلات على النحو التالي: x = a \ b و y = b / a . تُسمى العمليتان ' \ ' و ' / '، على التوالي، القسمة اليسرى والقسمة اليمنى . بالنسبة لجدول كايلي، تعني المعادلة الأولى (القسمة اليسرى) أن العنصر b في الصف a يقع في العمود x، بينما تعني المعادلة الثانية (القسمة اليمنى) أن العنصر b في العمود a يقع في الصف y .

تُحقق المجموعة الفارغة المزودة بعملية ثنائية فارغة هذا التعريف لشبه الزمرة. يقبل بعض المؤلفين شبه الزمرة الفارغة، بينما يستبعدها آخرون صراحةً. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

بالنظر إلى بنية جبرية معينة ، فإن المتطابقة هي معادلة تُكمّم فيها جميع المتغيرات ضمنيًا بشكل شامل ، وتكون فيها جميع العمليات من بين العمليات الأولية الخاصة بتلك البنية. تُسمى البنى الجبرية التي تُحقق بديهيات تُعطى فقط بواسطة المتطابقات بالمتنوعات . العديد من النتائج القياسية في الجبر الشامل تنطبق فقط على المتنوعات. تُشكل شبه الزمر تنوعًا إذا اعتُبرت القسمة اليسرى واليمنى عمليتين أوليّتين.

الزمرة شبه اليمنى ( Q , ∗, /) هي جبر من النوع (2, 2) يحقق المتطابقات التالية: $${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$

الزمرة شبه اليسارية ( Q , ∗, \) هي جبر من النوع (2, 2) يحقق المتطابقات التالية: $${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

الزمرة شبهية ( Q ، *، /) هي جبر من النوع (2، 2، 2) (أي، مزود بثلاث عمليات ثنائية) يحقق المتطابقات التالية: ^{[ b ]}$${\displaystyle y=(y/x)\ast x}$$$${\displaystyle y=(y\ast x)/x}$$$${\displaystyle y=x\ast (x\backslash y)}$$$${\displaystyle y=x\backslash (x\ast y)}$$

بمعنى آخر: الضرب والقسمة بأي ترتيب، واحد تلو الآخر، على نفس الجانب بواسطة نفس العنصر، ليس لهما أي تأثير صافٍ.

وبالتالي، إذا كانت المجموعة ( Q , ∗) شبه زمرة وفقًا لتعريف القسم السابق، فإن المجموعة ( Q , ∗, ∩, ∩) هي نفس شبه الزمرة بمعنى الجبر الشامل. والعكس صحيح: إذا كانت المجموعة ( Q , ∗, ∩, ∩) شبه زمرة وفقًا لمعنى الجبر الشامل، فإن المجموعة ( Q , ∗) هي شبه زمرة وفقًا للتعريف الأول.

تكون شبه المجموعة شبه متناظرة إذا تحققت أي من المتطابقات المتكافئة التالية لجميع x و y : ^{[ c ]}

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y ).

على الرغم من أن هذه الفئة قد تبدو مميزة، إلا أن كل شبه زمرة Q تحفز شبه زمرة شبه متناظرة Q Δ على مكعب الضرب المباشر Q ³ من خلال العملية التالية:

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁ , x ₁ ∗ y ₂ ),

حيث أن " // " و " \\ " هما عمليتا القسمة المترافقة المعطاة بواسطة y // x = x / y و y \\ x = x \ y .

قد تُظهر شبه المجموعة خاصية التثليث شبه المتناظر . ^{[ 11 ]}

هناك فئة أضيق تُسمى شبه الزمرة المتناظرة كليًا (يُشار إليها أحيانًا بـ TS-شبه الزمرة ) حيث تتطابق جميع المرافقات كعملية واحدة: x ∗ y = x / y = x \ y . ويمكن تعريف شبه الزمرة المتناظرة كليًا (بنفس المفهوم) على أنها شبه زمرة شبه متناظرة تبديلية، أي x ∗ y = y ∗ x .

الزمر الشبهية المتناظرة الكلية ذات خاصية التطابق هي تحديدًا (أي في تقابل مع) ثلاثيات شتاينر ، ولذلك تُسمى هذه الزمرة الشبهية أيضًا بزمرة شتاينر الشبهية ، ويُختصر هذا المصطلح أحيانًا إلى squag . يشير مصطلح sloop إلى نظير للحلقات، أي الحلقات المتناظرة كليًا التي تحقق x ∗ x = 1 بدلًا من x ∗ x = x . بدون خاصية التطابق، تُقابل الزمر الشبهية المتناظرة الكلية المفهوم الهندسي لثلاثية شتاينر الموسعة ، والتي تُسمى أيضًا منحنى القطع الناقص المكعب المعمم (GECC).

تُسمى شبه المجموعة ( Q , ∗) مضادة للتناظر كليًا بشكل ضعيف إذا كان لكل c و x و y ∈ Q ، يتحقق الاستلزام التالي. ^{[ 12 ]}

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x يعني أن x = y .

تُسمى شبه المجموعة ( Q ، *) مضادة للتناظر تمامًا إذا كان، بالإضافة إلى ذلك، لكل x ، y ∈ Q ، يتحقق الاستلزام التالي: ^{[ 12 ]}

x ∗ y = y ∗ x يعني أن x = y .

هذه الخاصية مطلوبة، على سبيل المثال، في خوارزمية دام .

يمكن اعتبار تعريف شبه المجموعة بمثابة شروط على عاملي الضرب الأيسر والأيمن L _x , R _x  : Q → Q ، المعرفين بواسطة

L _x ( y ) = xy

R _x ( y ) = yx

ينص التعريف على أن كلا التطبيقين تقابليان من Q إلى نفسها. تكون المجموعة Q شبه زمرة عندما تكون جميع هذه المؤثرات، لكل x في Q ، تقابلية. التطبيقات العكسية هي القسمة اليسرى واليمنى، أي

L ⁻¹ _x ( y ) = x \ y

R ⁻¹ _x ( y ) = y / x

في هذا الترميز، تكون الهويات بين عمليات الضرب والقسمة للمجموعة شبهية (المذكورة في قسم الجبر الشامل ) هي

L _x L ⁻¹ _x = id المقابل لـ x ( x \ y ) = y                    

L ⁻¹ _x L _x = id المقابل لـ x \ ( xy ) = y                    

R _x R ⁻¹ _x = id المقابل لـ ( y / x ) x = y                    

R ⁻¹ _x R _x = id المقابل لـ ( yx ) / x = y                    

حيث يشير id إلى عملية الربط المتطابقة على Q.

جدول الضرب لمجموعة شبه منتهية هو مربع لاتيني : جدول n × n مملوء بـ n رمز مختلف بطريقة يظهر فيها كل رمز مرة واحدة بالضبط في كل صف ومرة ​​واحدة بالضبط في كل عمود.

على النقيض من ذلك، يمكن اعتبار كل مربع لاتيني بمثابة جدول ضرب لشبه زمرة بعدة طرق: يمكن أن يكون كل من صف الحدود (الذي يحتوي على رؤوس الأعمدة) وعمود الحدود (الذي يحتوي على رؤوس الصفوف) أي تبديل للعناصر. انظر المربعات اللاتينية الصغيرة وشبه الزمر .

إن العملية الثنائية لشبه المجموعة قابلة للعكس بمعنى أن كلاً من L _x و R _x ، وهما عاملي الضرب الأيسر والأيمن ، تقابليان، وبالتالي قابلان للعكس .

لكل عنصر من عناصر الحلقة معكوس فريد من اليسار ومعكوس فريد من اليمين، ويتم تحديدهما بواسطة

x ^λ = e / x x ^λ x = e          

x ^ρ = x \ e xx ^ρ = e          

يُقال إن للحلقة معكوسات ( ثنائية الجانب ) إذا كان ^xλ = xρ لجميع قيم x . في هذه الحالة ^، يُرمز عادةً إلى عنصر المعكوس بـ x ⁻¹ .

توجد بعض المفاهيم الأقوى للمعكوسات في الحلقات والتي غالباً ما تكون مفيدة:

• تتمتع الحلقة بخاصية المعكوس الأيسر إذا كان x ^λ ( xy ) = y لجميع قيم x و y . وبصورة مكافئة، L ⁻¹ _x = L _{x ^λ} أو x \ y = x ^λ y .
• تتمتع الحلقة بخاصية المعكوس الأيمن إذا _كان ( yx ) xρ = y لجميع ^قيم x و y . ^وبصورة مكافئة ^، R⁻¹x = _Rxρ أو y ^_/ x = yxρ . 
• تتمتع الحلقة بخاصية العكس المضاد للتماثل إذا كان ( xy ) ^λ = y ^λ x ^λ أو، بشكل مكافئ، إذا كان ( xy ) ^ρ = y ^ρ x ^ρ .
• تتمتع الحلقة بخاصية المعكوس الضعيف عندما يكون ⁽ xy ) z = e إذا وفقط إذا كان x ( yz ) = e . ويمكن التعبير عن ذلك بدلالة المعكوسات من خلال ( xy ) ^λx = yλ أو بصورة مكافئة x ( yx ) ^ρ = yρ ^.

تتمتع الحلقة بخاصية العكس إذا كانت تمتلك خاصيتي العكس الأيسر والأيمن. كما تتمتع الحلقات ذات خاصية العكس بخاصيتي العكس المضاد للتماثل والعكس الضعيف. في الواقع، أي حلقة تحقق أي اثنتين من المتطابقات الأربع المذكورة أعلاه تمتلك خاصية العكس، وبالتالي تحقق المتطابقات الأربع جميعها.

أي حلقة تحقق خصائص المعكوس الأيسر أو الأيمن أو العكسي التلقائي لها معكوسات ثنائية الجانب تلقائيًا.

لتكن Q و P شبه زمرتين. التماثل شبه الزمر من Q إلى P هو ثلاثية ( α ، β ، γ ) من التطبيقات من Q إلى P بحيث

α ( x ) β ( y ) = γ ( xy )

لكل x و y في Q. إن تماثل شبه المجموعة هو مجرد تماثل تكون فيه التطبيقات الثلاثة متساوية.

التماثل هو تماثل يكون فيه كل من التطبيقات الثلاثة ( α ، β ، γ ) تقابلاً . يُقال عن مجموعتين شبه متماثلتين أنه يوجد تماثل بينهما. في سياق المربعات اللاتينية، يُعطى التماثل ( α ، β ، γ ) بتبديل الصفوف α ، وتبديل الأعمدة β ، وتبديل مجموعة العناصر الأساسية γ .

التماثل الذاتي هو تماثل من شبه زمرة إلى نفسها. تشكل مجموعة جميع التماثلات الذاتية لشبه زمرة زمرةً مع زمرة التماثل الذاتي كزمرة جزئية.

كل شبه زمرة متماثلة مع حلقة. إذا كانت حلقة متماثلة مع زمرة، فإنها متماثلة مع تلك الزمرة، وبالتالي فهي زمرة بحد ذاتها. مع ذلك، فإن شبه الزمرة المتماثلة مع زمرة ما لا يشترط أن تكون زمرة. على سبيل المثال، شبه الزمرة على R التي يكون فيها الضرب معطى بالعلاقة ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 متماثلة مع الزمرة الجمعية ( R , +) ، لكنها ليست زمرة بحد ذاتها لعدم وجود عنصر محايد فيها. كل شبه زمرة وسطية متماثلة مع زمرة أبيلية وفقًا لنظرية بروك-تويودا .

القسمة اليسرى واليمنى مثالان على تكوين شبه زمرة عن طريق تبديل المتغيرات في المعادلة المُعرِّفة. من العملية الأصلية  ∗ (أي x ∗ y = z )، يمكننا تكوين خمس عمليات جديدة: x o y  := y ∗ x ( العملية المعاكسة )، و / و \ ، ومعكوساتهما. وبذلك يصبح المجموع ست عمليات شبه زمرة، تُسمى مُرافقات أو مُتَجاورة ∗  . ​​يُقال إن أي عمليتين من هذه العمليات "مُرافقتان" أو "مُتَجاورة" مع بعضهما البعض (ومع نفسيهما).

إذا احتوت المجموعة Q على عمليتين شبه زمرة، ∗ و  ·، وكانت إحداهما متماثلة مع مرافق الأخرى، يُقال إن العمليتين متماثلتان . وهناك أيضًا العديد من الأسماء الأخرى لهذه العلاقة، مثل التماثل الجزئي .

الزمرة شبهية من الرتبة n هي مجموعة تحتوي على عملية من الرتبة n ، وهي ( Q , f ) حيث f : Qⁿ → Q ، بحيث يكون للمعادلة f ( x₁ , ..., xₙ ) = y حل وحيد لأي متغير واحد ^إذا تم تحديد جميع المتغيرات الأخرى n بشكل عشوائي. وتعني كلمة "متعددة الحدود" _أو " _متعددة العمليات " أنها من الرتبة n لعدد صحيح غير سالب n . 

الزمرة الصفرية، أو شبه الزمرة الصفرية، هي مجرد عنصر ثابت من Q. أما الزمرة الأحادية، أو شبه الزمرة الأحادية ، فهي تقابل من Q إلى نفسها. والزمرة الثنائية ، أو شبه الزمرة الثنائية، هي زمرة عادية.

من أمثلة شبه الزمرة المتعددة عمليات الزمرة المتكررة، y = x₁ _· x₂ · ··· · xₙ _{؛ ولا داعي لاستخدام الأقواس لتحديد ترتيب العمليات لأن الزمرة تجميعية. ويمكن أيضًا تكوين شبه زمرة متعددة بتنفيذ أي تسلسل من عمليات الزمرة أو} شبه الزمرة نفسها أو عمليات زمرة مختلفة، شريطة تحديد ترتيب العمليات.

توجد شبه زمر متعددة لا يمكن تمثيلها بأي من هذه الطرق. وتكون شبه الزمرة من الرتبة n غير قابلة للاختزال إذا لم يكن بالإمكان تحليل عمليتها إلى تركيب عمليتين بالطريقة التالية:

f ( x ₁ , ..., x _n ) = g ( x ₁ , ..., x _{i −1} , h ( x _i , ..., x _j ), x _{j +1} , ..., x _n ),

حيث 1 ≤ i < j ≤ n و ( i , j ) ≠ (1, n ) . توجد شبه زمر منتهية غير قابلة للاختزال من الرتبة n لجميع n > 2 ؛ انظر Akivis & Goldberg (2001) لمزيد من التفاصيل.

تُسمى شبه المجموعة n - ary التي لها نسخة n -ary من التجميعية مجموعة n -ary .