عظام نابيير

عظام نابيير هي آلة حاسبة يدوية الصنع، ابتكرها جون نابيير من ميرشيستون ، اسكتلندا، لحساب نواتج ضرب وقسمة الأعداد. اعتمدت هذه الطريقة على ضرب الشبكة ، وتُعرف أيضًا باسم "رابودولوجي" ، وهو مصطلح ابتكره نابيير. نشر نابيير نسخته عام 1617. [ ^{1 ] طُبعت} في إدنبرة وأُهديت إلى راعيه ألكسندر سيتون .

باستخدام جداول الضرب المدمجة في القضبان، يمكن اختزال الضرب إلى عمليات جمع والقسمة إلى عمليات طرح . ويمكن استخراج الجذور التربيعية باستخدام هذه القضبان بشكل متقدم . لا تُعدّ عظام نابيير مماثلة للوغاريتمات ، التي يرتبط بها اسم نابيير أيضاً، بل هي مبنية على جداول ضرب مُجزأة.

يتضمن الجهاز الكامل عادةً لوحة أساسية ذات حافة؛ يضع المستخدم قضبان نابيير والحافة لإجراء عمليات الضرب أو القسمة. تُقسّم الحافة اليسرى للوحة إلى تسعة مربعات، تحمل الأرقام من 1 إلى 9. في تصميم نابيير الأصلي، تُصنع القضبان من المعدن أو الخشب أو العاج ، ولها مقطع عرضي مربع. يُنقش على كل قضيب جدول ضرب على كل وجه من أوجهه الأربعة. في بعض التصاميم اللاحقة، تكون القضبان مسطحة، ويُنقش عليها جدولان أو جدول واحد فقط، وتُصنع من البلاستيك أو الكرتون المقوى . قد تُحفظ مجموعة من هذه القضبان في حقيبة حمل.

يُقسّم وجه قضيب إلى تسعة مربعات. كل مربع، باستثناء المربع العلوي، مُقسّم إلى نصفين بخط قطري من الزاوية السفلية اليسرى إلى الزاوية العلوية اليمنى. تحتوي المربعات على جدول ضرب بسيط . يحتوي المربع الأول على رقم واحد ، أطلق عليه نابيير اسم "الرقم الواحد". أما المربعات الأخرى فتحتوي على مضاعفات الرقم الواحد، أي ضعف الرقم الواحد، وثلاثة أضعاف الرقم الواحد، وهكذا حتى المربع التاسع الذي يحتوي على تسعة أضعاف العدد الموجود في المربع العلوي. تُكتب الأعداد المكونة من رقم واحد في المثلث السفلي الأيمن، تاركةً المثلث الآخر فارغًا، بينما تُكتب الأعداد المكونة من رقمين بوضع رقم على كل جانب من جانبي الخط القطري.

إذا وُضعت جداول الضرب على قضبان أحادية الجانب، فستحتاج إلى 40 قضيبًا لضرب الأعداد المكونة من أربعة أرقام، ونظرًا لاحتمالية تكرار بعض الأرقام، ستحتاج إلى أربع نسخ من جدول الضرب لكل رقم من الأرقام من 0 إلى 9. أما إذا استُخدمت قضبان مربعة، فيمكن نقش جداول الضرب الأربعين على 10 قضبان. وقدّم نابيير تفاصيل مخطط لترتيب الجداول بحيث لا يحتوي أي قضيب على نسختين من الجدول نفسه، مما يُمكّن من تمثيل كل عدد ممكن مكون من أربعة أرقام بأربعة من القضبان العشرة. وتتيح مجموعة من 20 قضيبًا، تتكون من نسختين متطابقتين من قضبان نابيير العشرة، إجراء العمليات الحسابية على أعداد تصل إلى ثمانية أرقام، بينما يمكن استخدام مجموعة من 30 قضيبًا للأعداد المكونة من 12 رقمًا.

أبسط أنواع الضرب ، وهو ضرب عدد مكون من عدة أرقام في عدد مكون من رقم واحد، يتم بوضع قضبان تمثل العدد المكون من عدة أرقام في الإطار على الحافة اليسرى. تُقرأ النتيجة من الصف المقابل للعدد المكون من رقم واحد والمُحدد على يسار الإطار، مع إجراء عملية جمع بسيطة، كما هو موضح في الأمثلة أدناه.

عند ضرب عدد مكون من عدة أرقام في عدد آخر مكون من عدة أرقام، يُوضع العدد الأكبر على قضبان الإطار. ويُنتج الجهاز نتيجة وسيطة للضرب بكل رقم من أرقام العدد الأصغر. تُدوّن هذه النتائج، ثم تُحسب النتيجة النهائية يدويًا.

لتوضيح كيفية استخدام عظام نابيير للضرب، يتم شرح ثلاثة أمثلة ذات صعوبة متزايدة أدناه.

الضرب في عدد صغير مكون من رقم واحد

يحسب المثال الأول 425 × 6 .

تُوضع عظام نابيير للأعداد 4 و2 و5 على اللوحة بالتسلسل . تُظهر هذه العظام العدد الأكبر الذي سيُضرب. الأرقام الموجودة أسفل كل عمود، أو عظمة، هي الأرقام التي تُحسب باستخدام جداول الضرب العادية للعدد الصحيح المقابل، والموجودة أعلى وأسفل خط قطري. (على سبيل المثال، الأرقام الظاهرة في الصف السابع من عظمة العدد 4 هي 2/8 ، والتي تُمثل 7 × 4 = 28 ). في المثال أدناه للعدد 425 × 6 ، تُمثل العظام باللون الأحمر (4)، والأصفر (2)، والأزرق (5).

قد يُمثل العمود الأيسر، الذي يسبق العظام الملونة، العظمة رقم 1. (يجب فهم وجود فراغ أو صفر في أعلى يسار كل رقم، مفصولًا بخط قطري، حيث أن 1 × 1 = 1 ، 1 × 2 = 2 ، 1 × 3 = 3 ، وهكذا). يتم اختيار عدد صغير، عادةً من 2 إلى 9، لضرب العدد الكبير به. في هذا المثال، العدد الصغير الذي يُضرب به العدد الأكبر هو 6. الصف الأفقي الذي يقع فيه هذا العدد هو الصف الوحيد المطلوب لإجراء العمليات الحسابية المتبقية، ويمكن الآن عرضه بشكل منفصل.

في عملية الحساب، تُجمع الأرقام المفصولة بخطوط عمودية (أي الأرقام المزدوجة بين الخطوط القطرية، المتقاطعة من عظمة إلى أخرى) لتكوين أرقام الناتج. الرقم الأخير (الأيمن) في ذلك الصف لا يحتاج إلى جمع، لأنه دائمًا ما يكون معزولًا بالخط القطري الأخير، وسيكون دائمًا الرقم الأخير في الناتج. في هذا المثال، يوجد أربعة أرقام، لوجود أربع مجموعات من قيم العظام تقع بين الخطوط القطرية. ستكون أرقام الناتج مرتبة من اليسار إلى اليمين كما حُسبت. باستثناء الرقم الأول والأخير، سيكون كل رقم من أرقام الناتج عبارة عن مجموع قيمتين مأخوذتين من عظمتين مختلفتين.

تُجمع قيم العظام معًا، كما هو موضح أعلاه، لإيجاد أرقام الناتج. في هذا الرسم التوضيحي، يُلوّن الرقم الثالث من ناتج العظام الصفراء والزرقاء باللون الأخضر. يُكتب كل مجموع في المساحة أدناه. ينتج عن تسلسل عمليات الجمع من اليسار إلى اليمين الرقم 2550. لذا، فإن حل ضرب 425 في 6 هو 2550.

الضرب في عدد أكبر من رقم واحد

عند الضرب في أرقام مفردة أكبر، من الشائع أنه عند إضافة عمود قطري، ينتج عن مجموع الأرقام رقم يساوي 10 أو أكبر.

يحسب المثال الثاني 6785 × 8 .

كما في المثال الأول، تُوضع العظام التي تُطابق أكبر رقم على اللوحة. في هذا المثال، وُضعت العظام 6 و7 و8 و5 بالترتيب الصحيح كما هو موضح أدناه.

في العمود الأول، يوجد الرقم الذي يُضرب به أكبر عدد. في هذا المثال، كان الرقم 8. سيتم استخدام الصف الثامن فقط لإجراء العمليات الحسابية المتبقية، لذا تم إخلاء باقي اللوحة لتسهيل شرح الخطوات المتبقية.

كما في السابق، يتم حساب كل عمود قطري بدءًا من الجانب الأيمن. إذا كان مجموع عمود قطري يساوي 10 أو أكبر، فيجب ترحيل خانة "العشرات" من هذا المجموع وإضافتها إلى الأرقام الموجودة في العمود الأيسر المجاور كما هو موضح أدناه.

بعد تقييم كل عمود قطري، تُقرأ الأرقام المحسوبة من اليسار إلى اليمين لإنتاج إجابة نهائية؛ في هذا المثال، تم إنتاج 54280.

لذلك: حل ضرب 6785 في 8 هو 54280.

الضرب في عدد متعدد الأرقام

يحسب المثال الثالث 825 × 913 .

تُوضع العظام التي تُطابق الرقم الأول في اللوحة. في هذا المثال، وُضعت العظام 8 و2 و5 بالترتيب الصحيح كما هو موضح أدناه.

لضرب عددٍ مكون من عدة أرقام، تتم مراجعة عدة صفوف. في هذا المثال، تم حذف صفوف 9 و1 و3 من اللوحة لتوضيحها.

يتم تقييم كل صف على حدة، وتُجمع كل أعمدة القطر كما هو موضح في الأمثلة السابقة. تُقرأ المجاميع من اليسار إلى اليمين، مما ينتج عنه الأرقام اللازمة لإجراء عمليات الجمع المطولة اللاحقة. في هذا المثال، تم تقييم الصفوف 9 و1 و3 بشكل منفصل لإنتاج النتائج الموضحة أدناه.

بدءًا من الرقم الموجود في أقصى اليمين من الرقم الثاني، يتم وضع المجاميع من الصفوف بالترتيب التسلسلي كما هو موضح من اليمين إلى اليسار تحت بعضها البعض مع استخدام 0 كعنصر نائب.

2475 825 0 7425 00

يتم جمع الصفوف والعناصر النائبة للحصول على الإجابة النهائية.

 2475 8250 +742500 753225​

في هذا المثال، كانت الإجابة النهائية 753225. لذلك: حل ضرب 825 في 913 هو 753225.

تُجرى عملية القسمة بطريقة مماثلة. لقسمة 46785399 على 96431، تُوضع علامات المقسوم عليه (96431) على اللوحة، كما هو موضح في الرسم البياني أدناه. باستخدام المعداد ، تُحسب جميع نواتج المقسوم عليه من 1 إلى 9 بقراءة الأرقام المعروضة. لاحظ أن المقسوم يتكون من ثمانية أرقام، بينما تتكون جميع النواتج الجزئية (باستثناء الناتج الأول) من ستة أرقام. لذلك، يتم تجاهل الرقمين الأخيرين من 46785399، وهما '99'، مؤقتًا، ليتبقى العدد 467853. بعد ذلك، يُحسب أكبر ناتج جزئي أصغر من المقسوم. في هذه الحالة، هو 385724. يجب تدوين رقمين، كما هو موضح في الرسم البياني: بما أن 385724 يقع في الصف '4' من المعداد، يُدوّن الرقم '4' كأقصى رقم على اليسار من ناتج القسمة؛ يُكتب الناتج الجزئي، محاذيًا لليسار، أسفل المقسوم الأصلي. يُطرح الحدّان، فيتبقى 8212999. تُكرر الخطوات نفسها: يُختصر العدد إلى ستة أرقام، ويُختار الناتج الجزئي الأصغر مباشرةً من العدد المختصر، ويُكتب رقم الصف كرقم تالٍ من ناتج القسمة، ويُطرح الناتج الجزئي من الفرق الناتج في التكرار الأول. يوضح الرسم التخطيطي هذه العملية. تُكرر الدورة حتى يصبح ناتج الطرح أصغر من المقسوم عليه. العدد المتبقي هو الباقي.

في هذا المثال، ما يتبقى هو ناتج قسمة 485 مع باقي 16364. عادةً ما تتوقف العملية هنا ويستخدم الجواب الشكل الكسري 485 + 16364 / 96431 .

لزيادة الدقة، تُكرر العملية لإيجاد عدد المنازل العشرية المطلوبة. تُوضع فاصلة عشرية بعد الرقم الأخير من ناتج القسمة، ويُضاف صفر إلى الباقي، فيكون الناتج 163640. تُكرر العملية، وفي كل مرة يُضاف صفر إلى النتيجة بعد الطرح.

لاستخراج الجذر التربيعي، يُستخدم عمود إضافي يختلف عن الأعمدة الأخرى لاحتوائه على ثلاثة أعمدة. يحتوي العمود الأول على أول تسعة أعداد مربعة، والثاني على أول تسعة أعداد زوجية، والأخير على الأعداد من 1 إلى 9.

لإيجاد الجذر التربيعي للعدد 46785399، يتم تجميع أرقامه في أزواج بدءًا من اليمين بحيث يبدو كالتالي:

46 78 53 99

ملاحظة: سيتم تجميع الأرقام التي تحتوي على عدد فردي من الأرقام، مثل 85399، على النحو التالي: 08 53 99

يتم اختيار المجموعة الموجودة في أقصى اليسار أولاً، وهي في هذه الحالة 46. ثم يتم اختيار أكبر مربع في الجذر التربيعي للعدد الأقل من 46، وهو المربع رقم 36 من الصف السادس. الرقم الأول من الحل هو 6، لأنه تم اختيار الصف السادس.

ثم يتم وضع الرقم الموجود في العمود الثاني من الصف السادس على عظمة الجذر التربيعي، وهو 12، على اللوحة.

يتم طرح القيمة الموجودة في العمود الأول من الصف السادس، وهي 36، من 46، مما ينتج عنه 10.

تتم إضافة المجموعة التالية من الأرقام، 78، بجوار 10؛ وهذا يترك الباقي 1078.

في هذه المرحلة، يجب أن تبدو حسابات اللوحة والحسابات الوسيطة على النحو التالي:

 √ 46 78 53 99 = 6 -36 10 78

تُقرأ الأرقام في كل صف، مع تجاهل العمودين الثاني والثالث من عمود الجذر التربيعي؛ ويتم تسجيلهما. (على سبيل المثال، يُقرأ الصف السادس على النحو التالي: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).

كما هو الحال في الضرب الموضح سابقًا، تُقرأ الأرقام من اليمين إلى اليسار ويتم جمع الأرقام القطرية من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار ( 6 + 0 = 6 ؛ 3 + 2 = 5 ؛ 1 + 6 = 7 ).

تم العثور على أكبر عدد أقل من الباقي الحالي، وهو 1078 (من الصف الثامن).

 √ 46 78 53 99 = 6 8 − 36 10 78 -10 24 54

كما في السابق، يتم إضافة 8 للحصول على الرقم التالي للجذر التربيعي، ويتم طرح قيمة الصف الثامن، 1024، من الباقي الحالي، 1078، للحصول على 54. يتم قراءة العمود الثاني من الصف الثامن على لوحة الجذر التربيعي، 16، ويتم وضع الرقم على اللوحة على النحو التالي.

الرقم الحالي على اللوحة هو ١٢. يُضاف الرقم الأول ١٦ إلى ١٢، ويُضاف الرقم الثاني ١٦ إلى الناتج. لذا يجب ضبط اللوحة على النحو التالي:

12 + 1 = 13 ← أضف 6 ← 136

ملاحظة: إذا كان العمود الثاني من عظم الجذر التربيعي يحتوي على رقم واحد فقط، فسيتم إلحاقه بالرقم الحالي على اللوحة.

تبدو حسابات اللوحة والحسابات الوسيطة الآن على هذا النحو.

 √ 46 78 53 99 = 68 - 36 10 78 -10 24 54 53

مرة أخرى، تم العثور على الصف الذي يحتوي على أكبر قيمة أقل من الباقي الجزئي الحالي، وهو 5453. هذه المرة، هو الصف الثالث الذي يحتوي على 4089.

 √ 46 78 53 99 = 68 3 − 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64

الرقم التالي للجذر التربيعي هو 3. تُكرر الخطوات السابقة، ويُطرح 4089 من الباقي الحالي، 5453، لنحصل على 1364 كباقي تالٍ. عند إعادة ترتيب اللوحة، يكون العمود الثاني من عظمة الجذر التربيعي هو 6، وهو رقم واحد. لذا يُضاف 6 إلى الرقم الحالي على اللوحة، 136، ليتبقى 1366 على اللوحة.

136 → أضف 6 → 1366

 √ 46 78 53 99 = 683 - 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64 99

تُكرر العملية مرة أخرى. الآن، أكبر قيمة على اللوحة أصغر من الباقي الحالي، 136499، هي 123021 من الصف التاسع.

لا يتطلب الأمر في كثير من الأحيان معرفة قيمة كل صف للوصول إلى الإجابة. يمكن تخمين الصف الذي يحتوي على الإجابة من خلال النظر إلى الرقم الموجود على العظام القليلة الأولى ومقارنته بالأرقام القليلة الأولى من الباقي. لكن الرسوم البيانية توضح قيمة جميع الصفوف لتسهيل فهمها.

يتم إلحاق الرقم 9 بالنتيجة ويتم طرح الرقم 123021 من الباقي الحالي.

 √ 46 78 53 99 = 683 9 − 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64 99 - 12 30 21 1 34 78

إذا تم استخدام جميع الأرقام، وبقي باقي، فسيتم حل الجزء الصحيح، ولكن لا يزال من الضروري العثور على بت كسري.

إذا تم حل الجزء الصحيح، فإن مربع النتيجة الحالية ( 6839 ² = 46771921 ) يجب أن يكون أكبر مربع كامل أصغر من 46785899.

تُستخدم هذه الفكرة لاحقًا لفهم كيفية عمل هذه التقنية، ولكن يمكن توليد المزيد من الأرقام.

على غرار إيجاد الجزء الكسري في القسمة المطولة ، يُضاف صفران إلى الباقي للحصول على الباقي الجديد 1347800. العمود الثاني من الصف التاسع في لوحة الجذر التربيعي هو 18، والرقم الحالي على اللوحة هو 1366.

1366 + 1 → 1367 → أضف 8 → 13678

يتم حساب القيمة 13678 على اللوحة.

تبدو الآن لوحة الحسابات والحسابات الوسيطة على هذا النحو.

 √ 46 78 53 99.00 = 6839. - 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64 99 - 12 30 21 1 34 78 00

الصف التاسع الذي يحتوي على 1231101 هو أكبر قيمة أصغر من الباقي، لذا فإن الرقم الأول من الجزء الكسري للجذر التربيعي هو 9.

 √ 46 78 53 99.00 = 6839. 9 − 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64 99 - 12 30 21 1 34 78 00 -1 23 11 01 11 66 99

يُطرح محتوى الصف التاسع من الباقي، وتُضاف بضعة أصفار أخرى ليصبح الباقي الجديد 11669900. العمود الثاني في الصف التاسع هو 18، بينما القيمة الموجودة على اللوحة هي 13678، لذا

13678 + 1 → 13679 → أضف 8 → 136798

يتم حساب القيمة 136798 على اللوحة.

 √ 46 78 53 99.00 00 = 6839.9 - 36 10 78 - 10 24 54 53 -40 89 13 64 99 - 12 30 21 1 34 78 00 -1 23 11 01 11 66 99 00

يمكن مواصلة الخطوات لإيجاد العدد المطلوب من الأرقام، وذلك في حال الوصول إلى الدقة المطلوبة. إذا أصبح الباقي صفرًا، فهذا يعني أنه تم إيجاد الجذر التربيعي الصحيح.

خلال القرن التاسع عشر، جرى تعديل عظام نابيير لتسهيل قراءتها. صُنعت القضبان بزاوية 65 درجة تقريبًا بحيث تتراصف المثلثات المراد جمعها. في هذه الحالة، في كل مربع من القضيب، تكون الآحاد على اليمين والعشرات (أو الصفر) على اليسار.

صُممت القضبان بحيث تكون الخطوط الرأسية والأفقية أكثر وضوحًا من الخط الذي تتلامس فيه القضبان، مما يُسهّل قراءة مُكوّني كل رقم من أرقام النتيجة. وبالتالي، يتضح من الصورة مباشرةً ما يلي:

987654321 × 5 = 4938271605

في عام 1891، ابتكر هنري جيناي نوعًا مختلفًا من عظام نابييه، عُرف باسم مساطر جيناي-لوكاس . من خلال تمثيل الحمل بيانيًا، يمكن قراءة نتائج مسائل الضرب البسيطة مباشرةً، دون الحاجة إلى حسابات ذهنية وسيطة. ^{[ 2 ]}

يحسب المثال التالي 52749 × 4 = 210996 .

• آلة حاسبة منزلقة
• مساطر جيناي-لوكاس
• آلة حاسبة باسكال
• المسطرة الحاسبة

• الوسائط المتعلقة بعظام نابيير على ويكيميديا ​​كومنز
• تطبيق توضيحي لعظام نابيير في أنظمة عددية مختلفة باستخدام Wolfram في cut-the-knot
• عظام نابيير وغيرها والعديد من الآلات الحاسبة