نظرية نابليون

في الهندسة ، تنص نظرية نابليون على أنه إذا تم إنشاء مثلثات متساوية الأضلاع على جوانب أي مثلث ، سواء كانت جميعها متجهة للخارج أو جميعها متجهة للداخل، فإن الخطوط التي تربط مراكز تلك المثلثات متساوية الأضلاع تشكل مثلثًا متساوي الأضلاع.

يُطلق على المثلث الناتج اسم مثلث نابليون الداخلي أو الخارجي . والفرق بين مساحتي مثلثي نابليون الداخلي والخارجي يساوي مساحة المثلث الأصلي.

غالبًا ما تُنسب هذه النظرية إلى نابليون بونابرت (1769-1821). ووفقًا لهوارد إيفز ، فإنّ النظرية ومسألة بناء تحمل اسم نابليون اكتشفهما صديقه ومستشاره لورينزو ماسكيروني (1750-1800)، الذي ترك للإمبراطور نسبهما لنفسه. ^{[ 1 ]} وقد أشار البعض إلى أنّها قد تعود إلى سؤال دبليو. رذرفورد عام 1825 المنشور في مجلة "مذكرات السيدات" ، بعد أربع سنوات من وفاة الإمبراطور الفرنسي، ^{[ 2 ] [ 3 ]} ولكنّ النتيجة وردت في ثلاثة أسئلة طُرحت في امتحان للحصول على ميدالية ذهبية في جامعة دبلن في أكتوبر 1820، بينما توفي نابليون في مايو التالي.

في الشكل أعلاه، المثلث ABC هو المثلث الأصلي. المثلثات AZB و BXC و CYA هي مثلثات متساوية الأضلاع مُنشأة على أضلاعه الخارجية، والنقاط L وM وN هي مراكز هذه المثلثات. تنص نظرية المثلثات الخارجية على أن المثلث LMN ( باللون الأخضر ) متساوي الأضلاع.

إحدى الطرق السريعة لإثبات أن المثلث LMN متساوي الأضلاع هي ملاحظة أن MN يصبح CZ عند دورانه بزاوية 30 درجة باتجاه عقارب الساعة حول النقطة A ، مع ثبات النسبة .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$بنفس المركز، ويصبح هذا النيوكليون أيضًا CZ بعد دوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 30 درجة حول B وتجانس النسبة .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$بنفس المركز. أوجه التشابه الحلزونية المقابلة ^{[ 4 ]} هي${\displaystyle A({\sqrt {3}},-30^{\circ }),\ B({\sqrt {3}},30^{\circ }).}$وهذا يعني أن MN = LN وأن الزاوية بينهما يجب أن تكون 60 درجة. ^{[ 5 ]}

في الواقع، توجد العديد من البراهين على نص النظرية، بما في ذلك برهان تركيبي (بدون إحداثيات) ، ^{[ 6 ]} وبرهان مثلثي ، ^{[ 7 ]} ومنهج قائم على التناظر ، ^{[ 8 ]} وبراهين باستخدام الأعداد المركبة . ^{[ 7 ] [ 9 ]}

كثيراً ما نُسبت النظرية إلى نابليون، ولكن كُتبت العديد من الأوراق البحثية المتعلقة بهذه المسألة ^{[ 10 ] [ 11 ]} والتي ألقت بظلال من الشك على هذا التأكيد (انظر ( Grünbaum 2012 ) ).

وردت هذه المعلومة في الصفحة 47 من مذكرات السيدات لعام 1825 (أي في أواخر عام 1824، بعد عام تقريبًا من تجميع أوراق امتحانات دبلن). وهذه من أوائل المطبوعات التي وردت فيها نظرية نابليون، ولم يُذكر اسم نابليون فيها.

VII. Quest.(1439)؛ بقلم السيد دبليو. رذرفورد، وودبيرن.

صف المثلثات متساوية الأضلاع (رؤوسها إما جميعها متجهة للخارج أو جميعها متجهة للداخل) على أضلاع المثلث ABC الثلاثة : عندئذٍ، تشكل الخطوط الواصلة بين مراكز ثقل هذه المثلثات الثلاثة متساوية الأضلاع مثلثًا متساوي الأضلاع. مطلوب برهان.

بما أن ويليام رذرفورد كان عالم رياضيات بارعًا ، فإن دافعه لطلب برهان نظرية كان بإمكانه إثباتها بنفسه يبقى مجهولًا. ربما طرح السؤال كتحدٍّ لزملائه، أو ربما كان يأمل أن تُفضي الإجابات إلى حلٍّ أكثر أناقة. مع ذلك، يتضح من قراءة أعداد متتالية من مجلة "ليديز دايري" في عشرينيات القرن التاسع عشر، أن المحرر كان يهدف إلى تضمين مجموعة متنوعة من الأسئلة كل عام، بعضها مناسب لتدريب المبتدئين.

من الواضح أنه لا يوجد أي ذكر لنابليون لا في السؤال ولا في الإجابات المنشورة، والتي ظهرت بعد عام في 1826، مع أن المحرر أغفل بعض المشاركات على ما يبدو. كذلك، لم يظهر اسم رذرفورد نفسه بين أسماء من حلّوا المسألة بعد نشر الحلول، مع أن الإحصاء الوارد في الصفحات السابقة يُشير إلى أنه أرسل حلاً، كما فعل العديد من تلاميذه وزملائه في مدرسة وودبيرن، بما في ذلك أول الحلول المنشورة. في الواقع، كانت مجموعة وودبيرن لحل المسائل، كما قد تُعرف اليوم، معروفةً آنذاك لدرجة أنها ذُكرت في كتاب " نظرة تاريخية وجغرافية ووصفية لمقاطعة نورثمبرلاند" (الطبعة الثانية، المجلد الثاني، الصفحات  123-124). كان يُعتقد أن أول إشارة معروفة لهذه النتيجة باعتبارها نظرية نابليون تظهر في الطبعة السابعة عشرة من كتاب فايفوفير Elementi di Geometria المنشورة عام 1911، ^{[ 12 ]} على الرغم من أن فايفوفير يذكر نابليون بالفعل في طبعات سابقة إلى حد ما. لكن هذا الأمر غير ذي جدوى لأننا نجد ذكرًا لنابليون بالاسم في هذا السياق في موسوعة بحلول عام 1867. أما الأمر الأكثر أهمية من الناحية التاريخية فيما يتعلق بفايفر فهو المسألة التي كان يستخدمها في الطبعات السابقة: وهي مسألة كلاسيكية تتعلق بتحديد أكبر مثلث متساوي الأضلاع حول مثلث معطى، والتي طرحها توماس موس في مجلة "ليديز دايري" عام 1754، وفي حلها الذي قدمه ويليام بيفيل في العام التالي، يمكننا بسهولة أن نتعرف على بذرة نظرية نابليون - ثم تداخلت النتيجتان، ذهابًا وإيابًا، لمدة مائة عام على الأقل في صفحات مسائل التقاويم الشعبية: عندما اقترح هونسبرغر في كتابه "الجواهر الرياضية" عام 1973 ما اعتقد أنه ابتكار خاص به، كان في الواقع يعيد سرد جزء من هذا الأدب الواسع، وإن كان غير رسمي.

لعل من المفيد التذكير بأن أحد الأشكال الشائعة لمبدأ فيثاغورس، حيث تُوضع المربعات على أضلاع المثلثات، كان يتمثل في وضع مثلثات متساوية الأضلاع على أضلاع المثلثات: هل يُمكن فعل ما يُمكن فعله بالمربعات مع المثلثات متساوية الأضلاع؟ على سبيل المثال، في حالة المثلثات القائمة الزاوية، تقسيم المثلث الموجود على الوتر إلى المثلثات الموجودة على الضلعين القائمين. وكما عاد المؤلفون مرارًا وتكرارًا لدراسة خصائص أخرى لطاحونة إقليدس أو كرسي العروس، فإن الشكل المكافئ الذي استُبدلت فيه المربعات بمثلثات متساوية الأضلاع قد استقطب - ونال - الاهتمام. ولعل أبرز مثال على ذلك هو سؤال ويليام ماسون الفائز في مجلة "ليدي آند جنتلمانز داياري" لعام 1864، والذي امتدت حلوله وتعليقاته في العام التالي إلى حوالي خمس عشرة صفحة. بحلول ذلك الوقت، كان هذا المكان العريق تحديداً - الذي بدأ في عام 1704 لمجلة Ladies' Diary وفي عام 1741 لمجلة Gentleman's Diary - في مراحله الأخيرة، لكن المشاكل من هذا النوع استمرت في مجلة Educational Times حتى أوائل القرن العشرين.

يتطابق مركزا المثلثين الداخلي والخارجي لنابليون مع مركز المثلث الأصلي. وقد لوحظ هذا التطابق في موسوعة تشامبرز عام 1867، كما ورد أعلاه. المدخل هناك غير مُوقّع. يُذكر اسم بي جي تايت ، أستاذ الفلسفة الطبيعية آنذاك في جامعة إدنبرة ، ضمن المساهمين، بينما يظهر اسم جي يو هيلهاوس، مُدرّس الرياضيات في جامعة إدنبرة أيضًا، ضمن مجموعة من الأدباء الذين ارتبطوا، لفترات متفاوتة، بالهيئة التدريسية الدائمة للموسوعة. مع ذلك، في القسم 189(هـ) من كتاب "رسالة تمهيدية في الأعداد الرباعية " ^{[ 16 ]} ، الصادر أيضًا عام 1867، يتناول تايت المسألة (مُرددًا في الواقع ملاحظات ديفيز في "مذكرات رجل نبيل" عام 1831 بخصوص السؤال 1265، ولكن في سياق الأعداد الرباعية):

إذا أُقيمت أعمدة من منتصفات أضلاع مثلث، بحيث يتناسب طول كل عمود مع طول الضلع المقابل له، فإن نقطة منتصف هذه الأعمدة تتطابق مع نقطة منتصف الضلع المقابل في المثلث الأصلي. أوجد نسبة طول كل عمود إلى نصف طول الضلع المقابل له في المثلث القديم حتى يكون المثلث الجديد متساوي الأضلاع.

يخلص تيت إلى أن متوسط ​​نقاط المثلثات متساوية الأضلاع، المرسومة للخارج على أضلاع أي مثلث، تُشكل مثلثًا متساوي الأضلاع. وقد احتُفظ بهذا النقاش في الطبعات اللاحقة عامي 1873 و1890، وكذلك في مقدمته الإضافية عن الرباعيات ^{[ 17 ]} بالاشتراك مع فيليب كيلاند عام 1873.

مساحة المثلث الداخلي (مثلث نابليون) في مثلث مساحته △ هي

$${\displaystyle {\text{المساحة (الداخلية)}}=-{\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$$

حيث a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث الأصلي، ويتحقق التساوي فقط في حالة كون المثلث الأصلي متساوي الأضلاع، وفقًا لمتباينة ويتزنبوك . مع ذلك، من وجهة نظر جبرية ^{[ 18 ]} ، يكون المثلث الداخلي "متراجعًا" ومساحته الجبرية هي معكوس هذا التعبير. ^{[ 19 ]}

مساحة المثلث الخارجي لنابليون هي ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle {\text{المساحة (الخارجية)}}={\frac {\triangle }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

تحليليًا ، يمكن إثبات ^{[ 7 ]} أن طول كل ضلع من أضلاع مثلث نابليون الخارجي الثلاثة هو $${\displaystyle {\text{الجانب الخارجي}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}$$

العلاقة بين المعادلتين الأخيرتين هي أن مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي مربع طول الضلع مضروبًا في${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

• نقاط نابليون
• مشكلة ليموين
• مشكلة نابليون
• نظرية فان أوبل

• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ غريتزر، إس إل (1967). إعادة النظر في الهندسة . المكتبة الرياضية الجديدة . المجلد  19. واشنطن العاصمة : الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 60-65 . ISBN  978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402 . 
• غرونباوم، برانكو (2012)، "هل نظرية نابليون هي حقًا نظرية نابليون؟"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 119 (6): 495-501 ، doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.06.495 ، S2CID 42928783 ، Zbl 1264.01010  
• ويتزل، جون إي. (أبريل 1992). "عكس نظرية نابليون" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 99 (4): 339-351 . doi : 10.2307/2324901 . JSTOR 2324901. Zbl 1264.01010 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 أبريل 2014.  

• نظرية نابليون وتعميماتها ، على موقع Cut-the-Knot
• للاطلاع على عملية البناء ، تفضل بزيارة موقع instrumenpoche
• نظرية نابليون بقلم جاي وارندورف، مشروع عروض وولفرام .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية نابليون" . عالم الرياضيات .
• نظرية نابليون (نشاط تعليمي وبرهان موجه)؛ بعض التعميمات والاختلافات وعكس نظرية نابليون في رسومات الهندسة الديناميكية
• نظرية نابليون، برهانان بسيطان
• متواليات سداسية منتظمة لا نهائية على مثلث (تعميم لنظرية نابليون) بقلم ألفي راي سميث .

تتضمن هذه المقالة مواد من نظرية نابليون على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .