مثلث متساوي الأضلاع

مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي طول ضلعه${\displaystyle \ell }$يكون $${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}\ell ^{2}.}$$ يمكن اشتقاق الصيغة من صيغة المثلث متساوي الساقين باستخدام نظرية فيثاغورس : الارتفاع${\displaystyle h}$طول المثلث يساوي الجذر التربيعي للفرق بين مربعي طول أحد أضلاعه ونصف طول قاعدته . ^{[ 3 ]} وبما أن القاعدة والساقين متساويتان، فإن الارتفاع يساوي: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle h={\sqrt {\ell ^{2}-{\frac {\ell ^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ell .}$$ بشكل عام، مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه. ويمكن الحصول على صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع بالتعويض بصيغة الارتفاع. ^{[ 8 ]}

تنص إحدى صيغ متباينة المحيط المتساوي للمثلثات على أن المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات ذات المحيط المحدد يكون متساوي الأضلاع. أي، بالنسبة للمحيط${\displaystyle p}$والمنطقة${\displaystyle T}$، وينطبق هذا التساوي على المثلث متساوي الأضلاع: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

الدائرة الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع هي دائرة تقع داخل هذا المثلث، حيث تكون مماسة لأحد أضلاعه. ويُحسب نصف قطر الدائرة الداخلية بصيغة: المسافة بين مركز الدائرة (أي مركز المثلث متساوي الأضلاع) وأي ضلع متوسط ​​في المثلث متساوي الأضلاع.${\displaystyle r={\sqrt {3}}\ell /6}$الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الأضلاع هي دائرة تُحيط بالمثلث المتساوي الأضلاع، وتكون مماسة لجميع رؤوسه الثلاثة. نصف قطر الدائرة المحيطة هو المسافة من مركز ثقل المثلث المتساوي الأضلاع إلى أي رأس من رؤوسه.${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {3}}}$[ ^{10 ]​}

تنص إحدى نظريات أويلر على أن المسافة${\displaystyle t}$تُصاغ العلاقة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الداخلية على النحو التالي:${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$وكنتيجة طبيعية لذلك، فإن المثلث متساوي الأضلاع له أصغر نسبة بين نصف قطر الدائرة المحيطة به${\displaystyle R}$إلى نصف القطر الداخلي${\displaystyle r}$لأي مثلث. أي: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle R\geq 2r.}$$

الرسوم التوضيحية لنظرية بومبيو وفان شوتن

تنص نظرية بومبيو على أنه إذا${\displaystyle P}$هي نقطة عشوائية في مستوى مثلث متساوي الأضلاع${\displaystyle ABC}$ولكن ليس على دائرته المحيطة ، إذن يوجد مثلث بأضلاع طولها${\displaystyle PA}$،${\displaystyle PB}$، و${\displaystyle PC}$. إنه،${\displaystyle PA}$،${\displaystyle PB}$، و${\displaystyle PC}$تحقق متباينة المثلث التي تنص على أن مجموع أي اثنين منها أكبر من الثالث.${\displaystyle P}$إذا كان المثلث يقع على الدائرة المحيطة، فإن مجموع المثلثين الأصغر يساوي المثلث الأطول، ويتحول المثلث إلى خط مستقيم، وتُعرف هذه الحالة باسم نظرية فان شوتين . ^{[ 12 ]}

تطرح مسألة التعبئة هدفًا لـ${\displaystyle n}$تُعرف الحلول المثلى لترتيب الدوائر في أصغر مثلث متساوي الأضلاع ممكن .${\displaystyle n<13}$تحويل الدوائر إلى مثلث متساوي الأضلاع، والحلول المثلى المفترضة لـ${\displaystyle 13\leq n<28}$[ ^{13 ]​}

تنص نظرية مورلي لتثليث الزوايا على أنه في أي مثلث، تشكل نقاط التقاطع الثلاث لمثلثات الزوايا المتجاورة مثلثًا متساوي الأضلاع.

تنص نظرية فيفياني على أنه، لأي نقطة داخلية${\displaystyle P}$في مثلث متساوي الأضلاع بأبعاد${\displaystyle d}$،${\displaystyle e}$، و${\displaystyle f}$من الجوانب والارتفاع${\displaystyle h}$،$${\displaystyle d+e+f=h,}$$بغض النظر عن موقع${\displaystyle P}$[ ^{14 ]​}

قد يكون للمثلث متساوي الأضلاع أضلاع صحيحة وثلاث زوايا نسبية مقاسة بالدرجات، ^{[ 15 ]} وهو المثلث الوحيد الحاد الزوايا المشابه لمثلثه القائم (حيث تقع رؤوسه عند قواعد الارتفاعات ) ، ^{[ 16 ]} والمثلث الوحيد الذي يكون قطعه الناقص الداخلي دائرة (وتحديدًا الدائرة الداخلية). المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات المرسومة داخل دائرة معينة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الأصغر بين جميع المثلثات المحيطة بدائرة معينة هو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع. ^{[ 17 ]} وهو المضلع المنتظم الوحيد، إلى جانب المربع، الذي يمكن رسمه داخل أي مضلع منتظم آخر.

بافتراض نقطة${\displaystyle P}$في داخل مثلث متساوي الأضلاع، تكون نسبة مجموع المسافات بين رؤوسه ومجموع المسافات بين أضلاعه أكبر من أو تساوي 2، ويتحقق التساوي عندما${\displaystyle P}$هي مركز المثلث. لا توجد في أي مثلث آخر نقطة تكون عندها هذه النسبة صغيرة جدًا مثل 2. ^{[ 18 ]} هذه هي متباينة إردوش-مورديل ؛ وهناك صيغة أقوى منها هي متباينة بارو ، التي تستبدل المسافات العمودية على الأضلاع بالمسافات من${\displaystyle P}$إلى النقاط التي تكون عندها منصفات الزوايا${\displaystyle \angle APB}$،${\displaystyle \angle BPC}$، و${\displaystyle \angle CPA}$عبور الجانبين (${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$(حيث تمثل الرؤوس). هناك العديد من متباينات المثلث الأخرى التي تتحقق فيها المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.

تبدأ أولى القضايا في كتاب الأصول لإقليدس برسم دائرة بنصف قطر معين، ثم وضع رأس الفرجار على الدائرة، ورسم دائرة أخرى بنفس نصف القطر؛ تتقاطع الدائرتان في نقطتين. ويمكن إنشاء مثلث متساوي الأضلاع بتوصيل مركزي الدائرتين بإحدى نقطتي التقاطع. ^{[ 28 ]}

يمكن إنشاء مضلع منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الفردية لعدد أضلاعه أعدادًا أولية مختلفة من أعداد فيرما . هناك خمسة أعداد أولية معروفة من أعداد فيرما: 3، 5، 17، 257، 65537. ^{[ 29 ]} وبالمثل، ابدأ بأي قطعة مستقيمة كضلع؛ ضع رأس الفرجار على أحد طرفي القطعة المستقيمة، ثم ارسم قوسًا من تلك النقطة إلى الطرف الآخر من القطعة المستقيمة؛ كرر ذلك مع الضلع الآخر من القطعة المستقيمة، بحيث تصل نقطة تقاطع القوسين مع كل طرف من طرفي القطعة المستقيمة.

سلسلة بادوفان${\displaystyle P(n)}$هي متتالية من الأعداد الصحيحة ذات القيم الأولية المعطاة${\displaystyle P(1)=P(2)=P(3)=1}$وعلاقة التكرار ^{[ 30 ]}$${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3).}$$ ينتج عن علاقة التكرار الناتجة سلسلة تتكون من الأرقام القليلة الأولى:

سُميت متتالية بادوفان نسبةً إلى ريتشارد بادوفان ، الذي نسب اكتشافها إلى المهندس المعماري الهولندي هانز فان دير لان في مقالته عام 1994. ^{[ 31 ]} هندسيًا، يمكن وصف المتتالية بأنها تبليط مثلثات متساوية الأضلاع بناءً على طول ضلعها بالتتابع، مما يُشكل شكلًا حلزونيًا. والنتيجة مماثلة لمتتالية فيبوناتشي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، ... مع تبليط المربعات. ^{[ 32 ]}

تملأ بلاطة المثلثات متساوية الأضلاع المستوى

مثلث سيربينسكي

يُعدّ المجسم الثماني المنتظم مجسمًا دلتاهيدرو، كما أنه ينتمي إلى عائلة الموشورات المضادة.

ومن الجدير بالذكر أن المثلث متساوي الأضلاع يُغطي المستوى الإقليدي بستة مثلثات تلتقي عند رأس واحد؛ والشكل الثنائي لهذا التبليط هو التبليط السداسي . يُعد كل من التبليط السداسي المقطوع ، والتبليط المعيني الثلاثي السداسي ، والتبليط الثلاثي السداسي ، والتبليط المربع المقطوع ، والتبليط السداسي المقطوع ، تبليطات شبه منتظمة مُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع. ^{[ 33 ]} وتشمل الأشكال ثنائية الأبعاد الأخرى المُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع مثلث سيربينسكي ( شكل كسري مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقسيمه بشكل متكرر إلى مثلثات متساوية الأضلاع أصغر) ومثلث رولو ( مثلث منحني ذو عرض ثابت ، مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقريب كل ضلع من أضلاعه). ^{[ 12 ]}

قد تُشكّل المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا مجسمًا متعدد الأوجه في ثلاثة أبعاد. يُطلق على المجسم متعدد الأوجه الذي تتكون جميع أوجهه من مثلثات متساوية الأضلاع اسم دلتاهيدرون . هناك ثمانية دلتاهيدرات محدبة تمامًا : ثلاثة من المجسمات الأفلاطونية الخمسة ( الهرم الرباعي المنتظم ، والهرم الثماني المنتظم ، والهرم العشري المنتظم ) وخمسة من مجسمات جونسون البالغ عددها 92 مجسمًا ( الهرم الثنائي المثلثي ، والهرم الثنائي الخماسي ، والشكل ثنائي الإسفين المقطوع ، والمنشور المثلثي المُعزز ، والهرم الثنائي المربع المُستطيل ). ^{[ 34 ]} وبشكل عام، تحتوي جميع مجسمات جونسون على مثلثات متساوية الأضلاع بين أوجهها، على الرغم من أن معظمها يحتوي أيضًا على مضلعات منتظمة أخرى . ^{[ 35 ]} تُعدّ الموشورات المضادة عائلة من المجسمات متعددة الأوجه التي تتضمن شريطًا من المثلثات المتناوبة. عندما يكون الموشور المضاد منتظمًا ، تكون قواعده منتظمة وجميع أوجهه المثلثية متساوية الأضلاع. ^{[ 36 ]}

كتعميم، ينتمي المثلث متساوي الأضلاع إلى العائلة اللانهائية من${\displaystyle n}$- المعقدات البسيطة ، مع${\displaystyle n=2}$[ ^{37 ]​}