نقاط نابليون

ليكن المثلث ABC مثلثًا مستويًا معطى . على أضلاع المثلث BC و CA و AB ، ارسم مثلثات متساوية الأضلاع خارجية _هي △ DBC و△ ECA و△ FAB على التوالي. ولتكن مراكز هذه المثلثات X وY وZ على التوالي. عندئذٍ، تتقاطع الخطوط AX و BY وCZ . نقطة التقاطع N1 هي نقطة نابليون الأولى، أو نقطة نابليون الخارجية، للمثلث ABC .

يُطلق على المثلث △ XYZ اسم المثلث الخارجي لنابليون للمثلث △ ABC . وتنص نظرية نابليون على أن هذا المثلث متساوي الأضلاع .

في موسوعة كلارك كيمبرلينج لمراكز المثلثات ، يُشار إلى نقطة نابليون الأولى بالرمز X (17). ^{[ 3 ]}

• الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ N ₁ :$${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B-{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C-{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$$
• الإحداثيات الباريسنترية لـ N ₁ :$${\displaystyle a\csc(A+{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B+{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C+{\tfrac {\pi }{6}})}$$

ليكن المثلث ABC مثلثًا مستويًا معطى . على أضلاع المثلث BC وCA وAB ، ارسم مثلثات متساوية الأضلاع داخلية _، هي المثلثات DBC و ECA و FAB على التوالي. ولتكن مراكز هذه المثلثات X وY وZ على التوالي. عندئذٍ، تتقاطع الخطوط AX وBY وCZ . نقطة التقاطع N2 هي نقطة نابليون الثانية، أو نقطة نابليون الداخلية، للمثلث ABC .

يُطلق على المثلث △ XYZ اسم المثلث الداخلي لنابليون للمثلث △ ABC . وتنص نظرية نابليون على أن هذا المثلث متساوي الأضلاع.

في موسوعة كلارك كيمبرلينج لمراكز المثلثات، يُشار إلى نقطة نابليون الثانية بالرمز X (18). ^{[ 3 ]}

• الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ N ₂ :$${\displaystyle {\begin{aligned}&\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})\\[2pt]=\ &\sec(A+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(B+{\tfrac {\pi }{3}}):\sec(C+{\tfrac {\pi }{3}})\end{aligned}}}$$
• الإحداثيات الباريسنترية لـ N ₂ :$${\displaystyle a\csc(A-{\tfrac {\pi }{6}}):b\csc(B-{\tfrac {\pi }{6}}):c\csc(C-{\tfrac {\pi }{6}})}$$

نقطتان ترتبطان ارتباطًا وثيقًا بنقطتي نابليون هما نقطتا فيرما-توريتشيلي ( X (13) و X (14) وفقًا لنظرية ETC). إذا قمنا، بدلًا من رسم خطوط تصل بين مركزي المثلثات متساوية الأضلاع ورؤوسها، برسم خطوط تصل بين رؤوس المثلثات متساوية الأضلاع ورؤوس المثلث نفسه، فإن الخطوط الثلاثة الناتجة تتقاطع مجددًا. تُسمى نقاط التقاطع بنقطتي فيرما-توريتشيلي، ويُرمز لهما أحيانًا بـ _F1 و F2 . نقطة تقاطع خط فيرما (أي الخط الواصل بين نقطتي فيرما-توريتشيلي) مع خط نابليون (أي الخط الواصل _بين نقطتي نابليون) هي نقطة التناظر المتوسط ​​للمثلث ( X (6) وفقًا لنظرية ETC ).

يؤكد هذا التعميم ما يلي: ^{[ 4 ]}

إذا كانت المثلثات الثلاثة △ XBC و △ YCA و △ ZAB ، التي تم إنشاؤها على أضلاع المثلث المعطى △ ABC كقواعد، متشابهة ومتساوية الساقين ومتشابهة في الموقع، فإن الخطوط AX و BY و CZ تتقاطع في نقطة N.

إذا كانت زاوية القاعدة المشتركة هي θ ، فإن رؤوس المثلثات الثلاثة لها الإحداثيات الثلاثية التالية. $${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}X=&-\sin \theta &:&\sin(C+\theta )&:&\sin(B+\theta )\\Y=&\sin(C+\theta )&:&-\sin \theta &:&\sin(A+\theta )\\Z=&\sin(B+\theta) )&:&\sin(A+\theta )&:&-\sin \theta \end{array}}}$$

الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ N هي $${\displaystyle \csc(A+\theta ):\csc(B+\theta ):\csc(C+\theta )}$$

بعض الحالات الخاصة مثيرة للاهتمام.

قيمة θ	النقطة N
⁠${\displaystyle 0}$⁠	G ، مركز ثقل المثلث ABC
⁠${\displaystyle {\frac {\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}}}$⁠	O ، مركز التعامد للمثلث ABC
⁠${\displaystyle {\frac {\pi }{4}},-{\frac {\pi }{4}}}$⁠	نقاط فيكتين
⁠${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$⁠	N 1 ، النقطة الأولى لنابليون X (17)
⁠${\displaystyle -{\frac {\pi }{6}}}$⁠	N 2 ، النقطة الثانية لنابليون X (18)
⁠${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$⁠	F 1 ، أول نقطة فيرما-توريتشيلي X (13)
⁠${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}}$⁠	F 2 ، النقطة الثانية لفيرما-توريتشيلي X (14)
${\displaystyle {\begin{cases}-A&{\text{if }}A<\pi /2\\\pi -A&{\text{if }}A>\pi /2\end{cases}}}$	الرأس أ
${\displaystyle {\begin{cases}-B&{\text{if }}B<\pi /2\\\pi -B&{\text{if }}B>\pi /2\end{cases}}}$	الرأس ب
${\displaystyle {\begin{cases}-C&{\text{if }}C<\pi /2\\\pi -C&{\text{if }}C>\pi /2\end{cases}}}$	الرأس ج

علاوة على ذلك، فإن المحل الهندسي لـ N عندما تتغير زاوية القاعدة θ بين −π / 2 و π /2 هو القطع المخروطي

$${\displaystyle {\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0.}$$

هذا القطع المخروطي هو قطع زائد قائم، ويُسمى قطع كيبرت الزائد تكريمًا للودفيج كيبرت (1846-1934)، عالم الرياضيات الذي اكتشف هذه النتيجة. ^{[ 4 ]} هذا القطع الزائد هو القطع المخروطي الوحيد الذي يمر بالنقاط الخمس A وB وC وG و O.

لا يشترط أن تكون المثلثات الثلاثة △ XBC و △ YCA و △ ZAB المقامة على أضلاع المثلث △ ABC متساوية الساقين حتى تتقاطع الخطوط الثلاثة AX و BY و CZ في نقطة واحدة. ^{[ 5 ]}

إذا تم إنشاء المثلثات المتشابهة △ XBC و △ AYC و △ ABZ بشكل خارجي على جوانب أي مثلث △ ABC فإن الخطوط AX و BY و CZ تتقاطع.

يتحقق تلاقي الخطوط AX وBY وCZ حتى في ظل شروط أكثر تساهلاً. وتوضح النتيجة التالية أحد أكثر الشروط عمومية لتلاقي الخطوط AX وBY وCZ . ^{[ 5 ]}

إذا تم إنشاء المثلثات △ XBC و △ YCA و △ ZAB بشكل خارجي على أضلاع أي مثلث △ ABC بحيث

$${\displaystyle \angle CBX=\angle ABZ,\quad \angle ACY=\angle BCX,\quad \angle BAZ=\angle CAY;}$$

إذن، الخطوط AX و BY و CZ متقاطعة.

تُعرف نقطة التزامن باسم نقطة جاكوبي .