التشابه (الهندسة)

في الهندسة الإقليدية ، يتشابه جسمان إذا كان لهما نفس الشكل ، أو إذا كان أحدهما مطابقًا لصورة الآخر في المرآة. بتعبير أدق، يمكن الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق تغيير حجمه (تكبيره أو تصغيره) بشكل منتظم، مع إمكانية إضافة إزاحة أو دوران أو انعكاس . هذا يعني أنه يمكن تغيير حجم أي من الجسمين، أو تغيير موضعه، أو عكسه، بحيث يتطابق تمامًا مع الجسم الآخر. إذا كان جسمان متشابهين، فإن كلًا منهما يُطابق نتيجة تغيير حجم الآخر بشكل منتظم.

على سبيل المثال، جميع الدوائر متشابهة، وجميع المربعات متشابهة، وجميع المثلثات متساوية الأضلاع متشابهة. في المقابل، ليست جميع القطوع الناقصة متشابهة، ولا جميع المستطيلات متشابهة، ولا جميع المثلثات متساوية الساقين متشابهة. وذلك لأن قطعين ناقصين قد يختلفان في نسبة العرض إلى الارتفاع، ومستطيلين قد يختلفان في نسبة الطول إلى العرض، ومثلثين متساويي الساقين قد يختلفان في زوايا القاعدة.

إذا تساوى قياس زاويتين في مثلث مع قياس زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. الأضلاع المتناظرة في المضلعات المتشابهة متناسبة، والزوايا المتناظرة في المضلعات المتشابهة متساوية في القياس.

الشكلان المتطابقان متشابهان، بمعامل قياس يساوي 1. ومع ذلك، تستبعد بعض الكتب المدرسية المثلثات المتطابقة تحديدًا من تعريفها للمثلثات المتشابهة من خلال الإصرار على أن الأحجام يجب أن تكون مختلفة حتى يتم اعتبار المثلثات متشابهة.

يتشابه المثلثان △ ABC و △ A'B'C' إذا وفقط إذا كانت قياسات زواياهما المتناظرة متساوية؛ وهذا يعني أنهما يتشابهان إذا وفقط إذا كانت أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة . ^{[ 1 ]} ويمكن إثبات أن المثلثين اللذين لهما زوايا متطابقة ( مثلثات متساوية الزوايا ) متشابهان ، أي يمكن إثبات تناسب أطوال أضلاعهما المتناظرة. يُعرف هذا بنظرية التشابه AAA. ^{[ 2 ]} لاحظ أن "AAA" اختصارٌ تذكيري: كل حرف من الأحرف الثلاثة A يشير إلى "زاوية". وبفضل هذه النظرية، بسّط العديد من المؤلفين تعريف المثلثات المتشابهة ليقتصر على اشتراط تطابق الزوايا الثلاث المتناظرة. ^{[ 3 ]}

هناك عدة معايير، كل منها ضروري وكافٍ لكي يكون المثلثان متشابهين:

• أي زوجين من الزوايا متطابقان، ^{[ 4 ]} وهو ما يعني في الهندسة الإقليدية أن الزوايا الثلاث متطابقة: ^{[ أ ]}

إذا كانت الزاوية BAC مساوية في القياس للزاوية B'A'C'، وكانت الزاوية ABC مساوية في القياس للزاوية A'B'C'، فإن هذا يعني أن الزاوية ACB مساوية في القياس للزاوية A'C'B' وأن المثلثين متشابهان.

• جميع الأضلاع المتناظرة متناسبة: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

وهذا يعادل القول بأن أحد المثلثات (أو صورته المعكوسة) هو تكبير للمثلث الآخر.

• أي زوجين من الأضلاع متناسبان، والزوايا المحصورة بين هذه الأضلاع متطابقة: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

يُعرف هذا بمعيار التشابه SAS. ^{[ 7 ]} "SAS" هو اختصار: يشير كل حرف من حرفي S إلى "ضلع"؛ ويشير الحرف A إلى "زاوية" بين الضلعين.

بشكل رمزي، نكتب التشابه والاختلاف بين مثلثين △ ABC و △ A'B'C' على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

هناك العديد من النتائج الأولية المتعلقة بالمثلثات المتشابهة في الهندسة الإقليدية: ^{[ 9 ]}

• أي مثلثين متساويي الأضلاع متشابهان.
• مثلثان، كلاهما متشابهان مع مثلث ثالث، متشابهان مع بعضهما البعض ( خاصية التعدي في تشابه المثلثات).
• الارتفاعات المتناظرة للمثلثات المتشابهة لها نفس النسبة مع الأضلاع المتناظرة.
• يتشابه مثلثان قائما الزاوية إذا كانت نسبة طول الوتر إلى طول أحد الضلعين الآخرين متساوية. ^{[ 10 ]} توجد عدة شروط متكافئة في هذه الحالة، مثل أن يكون للمثلث القائم الزاوية زاوية حادة متساوية القياس، أو أن تكون نسبة طول الضلعين القائمين متساوية.

بفرض وجود مثلث ABC وقطعة مستقيمة DE ، يمكن باستخدام المسطرة والفرجار إيجاد نقطة F بحيث يكون المثلث ABC مشابهًا للمثلث DEF . إن القول بأن النقطة F تحقق هذا الشرط هو مسلمة واليس ^{[ 11 ]} ، وهي مكافئة منطقيًا لمسلمة التوازي عند إقليدس ^{[ 12 ]} . في الهندسة الزائدية (حيث تكون مسلمة واليس خاطئة)، تكون المثلثات المتشابهة متطابقة.

في المعالجة البديهية للهندسة الإقليدية التي قدمها جورج ديفيد بيركوف (انظر بديهيات بيركوف )، تم استخدام معيار التشابه SAS المذكور أعلاه لاستبدال كل من مسلمة التوازي لإقليدس وبديهية SAS التي أتاحت الاختصار الكبير لبديهيات هيلبرت . ^{[ 7 ]}

تُشكّل المثلثات المتشابهة أساسًا للعديد من البراهين التركيبية (دون استخدام الإحداثيات) في الهندسة الإقليدية. ومن بين النتائج الأولية التي يمكن إثباتها بهذه الطريقة: نظرية منصف الزاوية ، ونظرية الوسط الهندسي ، ونظرية سيفا ، ونظرية مينلاوس ، ونظرية فيثاغورس . كما تُشكّل المثلثات المتشابهة أساسًا لحساب المثلثات في المثلثات القائمة الزاوية . ^{[ 13 ]}

يمتد مفهوم التشابه ليشمل المضلعات التي يزيد عدد أضلاعها عن ثلاثة. ففي أي مضلعين متشابهين، تكون الأضلاع المتناظرة، عند أخذها بنفس الترتيب (حتى لو كان اتجاه عقارب الساعة لأحدهما وعكس اتجاه عقارب الساعة للآخر)، متناسبة ، وتكون الزوايا المتناظرة، عند أخذها بنفس الترتيب، متساوية في القياس. مع ذلك، فإن تناسب الأضلاع المتناظرة وحده لا يكفي لإثبات التشابه في المضلعات التي تتجاوز المثلثات (وإلا لكانت جميع المعينات ، على سبيل المثال، متشابهة). وبالمثل، فإن تساوي جميع الزوايا في الترتيب لا يكفي لضمان التشابه (وإلا لكانت جميع المستطيلات متشابهة). الشرط الكافي لتشابه المضلعات هو أن تكون الأضلاع والأقطار المتناظرة متناسبة.

بالنسبة لقيمة n معينة ، فإن جميع المضلعات المنتظمة ذات n ضلعًا متشابهة.

تتميز أنواع عديدة من المنحنيات بخاصية تشابه جميع الأمثلة من نفس النوع. وتشمل هذه الأنواع ما يلي:

• الخطوط (أي خطين متطابقين زوجياً )
• القطع المستقيمة
• دوائر
• القطع المكافئ ^{[ 14 ]}
• القطع الزائد ذات اللامركزية المحددة ^{[ 15 ]}
• أشكال بيضاوية ذات انحراف مركزي محدد ^{[ 15 ]}
• السلاسل
• رسوم بيانية لدالة اللوغاريتم لقواعد مختلفة
• رسوم بيانية للدالة الأسية لقواعد مختلفة
• اللوالب اللوغاريتمية متشابهة ذاتيًا

التشابه (ويسمى أيضًا تحويل التشابه أو التماثل ) للفضاء الإقليدي هو تقابل f من الفضاء إلى نفسه يضرب جميع المسافات بنفس العدد الحقيقي الموجب r ، بحيث يكون لدينا لأي نقطتين x و y

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

حيث d ( x , y ) هي المسافة الإقليدية من x إلى y . ^{[ 16 ]} يُعرف العدد القياسي r بأسماء عديدة في المراجع، منها نسبة التشابه ، ومعامل التمدد ، ومعامل التشابه . عندما r = 1، يُسمى التشابه تحويلًا متساوي القياس ( تحويلًا صلبًا ). يُقال عن مجموعتين أنهما متشابهتان إذا كانت إحداهما صورة للأخرى في ظل التشابه.

كخريطة​${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$تأخذ نسبة التشابه r الشكل التالي

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

أين​${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$هي مصفوفة متعامدة من الرتبة n × n و${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$هو متجه إزاحة.

تحافظ أوجه التشابه على المستويات والخطوط والتعامد والتوازي ونقاط المنتصف وعدم المساواة بين المسافات وقطع الخطوط. ^{[ 17 ]} تحافظ أوجه التشابه على الزوايا ولكنها لا تحافظ بالضرورة على الاتجاه، فالتشابهات المباشرة تحافظ على الاتجاه والتشابهات المعاكسة تغيره. ^{[ 18 ]}

تشكل أوجه التشابه في الفضاء الإقليدي زمرةً تحت تأثير عملية التركيب تُسمى زمرة التشابهات S. ^{[ 19} ] تشكل أوجه التشابه المباشرة زمرةً جزئيةً طبيعيةً من S ^، كما تشكل الزمرة الإقليدية E ( n ) للتناظرات زمرةً جزئيةً طبيعيةً أيضًا. ^{[ 20 ]} زمرة التشابهات S هي نفسها زمرة جزئية من الزمرة الأفينية ، لذا فإن كل تشابه هو تحويل أفيني .

يمكن اعتبار المستوى الإقليدي مستوىً مركباً ، ^{[ ب ]} أي فضاءً ثنائي الأبعاد على الأعداد الحقيقية . ويمكن التعبير عن تحويلات التشابه ثنائية الأبعاد بدلالة الحساب المركب، وهي معطاة بالصيغة التالية:

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(أوجه التشابه المباشر)، و
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(أوجه التشابه المعاكسة)،

حيث أن a و b أعداد مركبة، a ≠ 0. عندما | a | = 1 ، فإن هذه التشابهات هي تماثلات.

نسبة مساحات الأشكال المتشابهة تساوي مربع نسبة أطوال أضلاعها المتناظرة (على سبيل المثال، عند ضرب طول ضلع مربع أو نصف قطر دائرة في ثلاثة، تتضاعف مساحته في تسعة، أي في ثلاثة تربيع). وتكون ارتفاعات المثلثات المتشابهة بنفس نسبة أطوال أضلاعها المتناظرة. فإذا كان طول ضلع مثلث ما b وارتفاعه h ، فإن المثلث المشابه له الذي طول ضلعه kb سيكون ارتفاعه h . مساحة المثلث الأول هي${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$بينما ستكون مساحة المثلث المماثل هي $${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$ الأشكال المتشابهة التي يمكن تقسيمها إلى مثلثات متشابهة تتشابه مساحاتها بنفس الطريقة. وينطبق هذا الأمر أيضاً على الأشكال غير القابلة للتصحيح.

نسبة أحجام الأشكال المتشابهة تساوي مكعب نسبة الأطوال المتناظرة لتلك الأشكال (على سبيل المثال، عندما يتم ضرب حافة المكعب أو نصف قطر الكرة في ثلاثة، فإن حجمها يتم ضربه في 27 - أي في ثلاثة مكعب).

يتعلق قانون غاليليو التربيعي-التكعيبي بالأجسام المتشابهة. إذا كانت نسبة التشابه (نسبة الأضلاع المتناظرة) بين الجسمين هي k ، فإن نسبة مساحات سطح الجسمين ستكون k² ^، بينما ستكون نسبة أحجامهما k³ ^.

مثال حيث يكون لكل تشابه مكون من نفسه عدة مرات متتالية مركز في مركز مضلع منتظم يقوم بتقليصه.

مثال على التشابه المباشر للمركز S الذي تم تحليله إلى دوران بزاوية 135 درجة وتماثل يقسم المساحات إلى النصف .

أمثلة على أوجه التشابه المباشر التي يشترك كل منها في مركز واحد .

إذا كان للتشابه نقطة ثابتة واحدة فقط : وهي النقطة التي يبقى التشابه دون تغيير، فإن هذه النقطة الوحيدة تسمى " مركز " التشابه.

في الصورة الأولى أسفل العنوان، على اليسار، يُقلّص أحد أوجه التشابه مضلعًا منتظمًا إلى مضلع متحد المركز ، حيث تقع رؤوسه على ضلع من المضلع السابق. يتكرر هذا الاختزال الدوراني ، فيمتد المضلع الأصلي إلى سلسلة من المضلعات المنتظمة. مركز التشابه هو المركز المشترك للمضلعات المتتالية. يربط خط أحمر رأسًا من المضلع الأصلي بصورته تحت تأثير التشابه، يليه خط أحمر آخر يصل إلى صورة الرأس التالي، وهكذا لتشكيل حلزون . في الواقع، يمكننا رؤية أكثر من ثلاثة أوجه تشابه مباشرة في هذه الصورة الأولى، لأن كل مضلع منتظم يبقى ثابتًا تحت تأثير أوجه تشابه مباشرة معينة، وتحديدًا دورانات معينة يكون مركزها مركز المضلع، كما أن تركيب أوجه التشابه المباشرة هو أيضًا تشابه مباشر. على سبيل المثال، نرى صورة الخماسي المنتظم الأولي تحت تماثل النسبة السالبة −k ، وهو تشابه زاوية ±180 درجة ونسبة موجبة تساوي k .

أسفل العنوان على اليمين، تُظهر الصورة الثانية تشابهًا مُحللًا إلى دوران وتماثل. للتشابه والدوران نفس الزاوية وهي +135 درجة بتردد 360 درجة . وللتشابه والتماثل نفس النسبة .${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$المعكوس الضربي للنسبة​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$الجذر التربيعي لـ ٢ لمعكوس التشابه . النقطة S هي المركز المشتركللتحويلات الثلاثة: الدوران، والتماثل، والتشابه. على سبيل المثال، النقطة W هي صورة F تحت الدوران، والنقطة T هي صورة W تحت التماثل، باختصار. $${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$ عن طريق تسمية R و H و D الدوران السابق والتجانس والتشابه، مع " D " مثل "مباشر".

يمكن تحليل هذا التشابه المباشر الذي يحوّل المثلث △ EFA إلى المثلث △ ATB إلى دوران وتماثل مركزه S بعدة طرق. على سبيل المثال، D = R ○ H = H ○ R ، وهذا التحليل الأخير مُوضّح فقط في الصورة. وللحصول على D ، يمكننا أيضًا تركيب دوران بزاوية -45° وتماثل بنسبة معينة بأي ترتيب .${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$⁠

إذا كان " M " مثل "المرآة" و" I " مثل "التشابه غير المباشر"، وكان M هو الانعكاس بالنسبة للخط CW ، فإن M ○ D = I هو التشابه غير المباشر الذي يحول القطعة المستقيمة BF ، كما هو الحال مع D، إلى القطعة المستقيمة CT ، ولكنه يحول النقطة E إلى B والنقطة A إلى A نفسها. المربع ACBT هو صورة ABEF تحت التشابه I بنسبة ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$النقطة A هي مركز هذا التشابه لأن أي نقطة K ثابتة تحتها تحقق${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$لا يكون ذلك ممكناً إلا إذا كانت قيمة AK تساوي صفرًا ، وإلا يُكتب A = K.

كيفية إنشاء المركز S للتشابه المباشر D من المربع ABEF ، وكيفية إيجاد النقطة S مركز دوران بزاوية +135° يحول الشعاع${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$إلى شعاع​${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$هذه مسألة زاوية محيطية بالإضافة إلى مسألة توجيه . مجموعة النقاط P التي تحقق${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$هو قوس من الدائرة EA يصل بين النقطتين E و A ، ونصفا قطريه المؤديين إلى E و A يشكلان زاوية مركزية قياسها 2(180° − 135°) = 2 × 45° = 90° . هذه المجموعة من النقاط هي ربع الدائرة الزرقاء التي مركزها F داخل المربع ABEF . وبالمثل، فإن النقطة S هي جزء من ربع الدائرة الزرقاء التي مركزها T داخل المربع BCAT . إذن، النقطة S هي نقطة تقاطع ربعي الدائرتين.

خريطة تقابلية${\displaystyle f:M\to N}$يُطلق على التشابه بين الفضاءات المترية اسم التشابه إذا${\displaystyle d(f(x),f(y))=c\cdot d(x,y)}$للجميع${\displaystyle x,y\in M}$أين${\displaystyle c>0}$[ ^{21 ]​}

على سبيل المثال، قد تتضمن النسخ الأضعف من التشابه دالة f ثنائية ليبشيتز ، ويكون العدد القياسي r حدًا.

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

ينطبق هذا الإصدار الأضعف عندما يكون المقياس عبارة عن مقاومة فعالة على مجموعة متشابهة ذاتيًا من الناحية الطوبولوجية.

المجموعة الجزئية ذاتية التشابه في فضاء متري ( X , d ) هي مجموعة K التي يوجد لها مجموعة منتهية من أوجه التشابه { f _s } _{s ∈ S} بمعاملات انكماش 0 ≤ r _s < 1 بحيث تكون K هي المجموعة الجزئية المدمجة الوحيدة من X التي

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

تتمتع هذه المجموعات المتشابهة ذاتيًا بمقياس تشابه ذاتي μ ^D ذي بُعد D يُعطى بالصيغة التالية

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

وهو ما يساوي غالبًا (ولكن ليس دائمًا) بُعد هاوسدورف وبُعد التعبئة للمجموعة . إذا كانت التداخلات بين f ₍ K ) "صغيرة"، فلدينا الصيغة البسيطة التالية للمقياس:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

في علم الطوبولوجيا ، يمكن إنشاء فضاء متري عن طريق تعريف التشابه بدلاً من المسافة . التشابه هو دالة تكون قيمتها أكبر عندما تكون نقطتان أقرب (على عكس المسافة، التي هي مقياس للاختلاف : كلما اقتربت النقاط، قلت المسافة).

قد يختلف تعريف التشابه بين المؤلفين، تبعًا للخصائص المرغوبة. أما الخصائص المشتركة الأساسية فهي:

1. تعريف الإيجابية:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. يتأثر بشكل رئيسي بتشابه عنصر واحد مع نفسه ( التشابه الذاتي ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

يمكن استدعاء المزيد من الخصائص، مثل:

• الانعكاسية :${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$أو
• التناهي :${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

غالباً ما يتم تحديد القيمة العليا عند 1 (مما يخلق إمكانية للتفسير الاحتمالي للتشابه).

تجدر الإشارة إلى أن التشابه، بالمعنى الطوبولوجي المستخدم هنا، هو نوع من أنواع القياس . وهذا الاستخدام يختلف عن تحويل التشابه الوارد في قسمي "  في الفضاء الإقليدي" و "  في الفضاءات المترية العامة" من هذه المقالة.

تظهر بديهة مفهوم التشابه الهندسي لدى الأطفال، كما يتضح من رسوماتهم. ^{[ 22 ]} وتعتمد بعض نماذج التصنيف الإدراكي في علم النفس على التشابه الهندسي، انطلاقًا من افتراض أن التعلم يتضمن تخزين نماذج محددة (أي مواصفات عامة للأشياء) في الذاكرة. ويستند تصنيف أي شيء آخر لاحقًا على مدى تشابهه مع النماذج المخزنة في الذاكرة. ^{[ 23 ]}

• نظرية التناسب الأساسية
• تحويل هيلمرت
• تشابه حلزوني

• هندرسون، ديفيد دبليو.؛ تايمينا ، داينا (2005). تجربة الهندسة/الإقليدية وغير الإقليدية مع التاريخ (  الطبعة الثالثة). بيرسون برنتيس هول. ISBN 978-0-13-143748-7.
• جاكوبس، هارولد ر. (1974). الهندسة . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-0456-0.
• بيدو، دان (1988) [1970]. الهندسة/دورة شاملة . دوفر. ISBN 0-486-65812-0.
• سيبلي، توماس كيو. (1998). المنظور الهندسي/مسح للهندسات . أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-87450-1.
• سمارت، جيمس ر. (1998). الهندسة الحديثة (  الطبعة الخامسة). بروكس/كول. ISBN 0-534-35188-3.
• ستال، شاول (2003). الهندسة/من إقليدس إلى العقد . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-032927-1.
• فينيما، جيرارد أ. (2006). أسس الهندسة . بيرسون برنتيس هول. ISBN 978-0-13-143700-5.
• ييل، بول ب. (1968). الهندسة والتناظر . هولدن-داي.

• سيدربيرغ، جوديث ن. (2001) [1989]. "الفصل 3.12: تحويلات التشابه". دورة في الهندسة الحديثة . سبرينغر. ص 183-189 . ISBN  0-387-98972-2.
• كوكسيتر، HSM (1969) [1961]. "القسم 5: التشابه في المستوى الإقليدي". الصفحات  67-76. "القسم 7: التساوي والتشابه في الفضاء الإقليدي". الصفحات  96-104. مقدمة في الهندسة . جون وايلي وأولاده .
• إيوالد، غونتر (1971). الهندسة: مقدمة . دار وادزورث للنشر . الصفحات  106، 181.
• مارتن، جورج إي. (1982). "الفصل 13: أوجه التشابه في المستوى". هندسة التحويل: مقدمة في التناظر . سبرينغر. ص 136-146 . ISBN  0-387-90636-3.

• عرض توضيحي متحرك للمثلثات المتشابهة
• نظرية أساسية في التشابه - رسم توضيحي للهندسة الديناميكية