القطع المخروطي المثلثي

في الهندسة الإقليدية ، يُعرَّف القطع المخروطي المثلثي بأنه قطع مخروطي يقع في مستوى المثلث المرجعي ويرتبط به بطريقة ما. على سبيل المثال، الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية للمثلث المرجعي هما قطعان مخروطيان مثلثيان. ومن الأمثلة الأخرى: قطع شتاينر الإهليلجي ، وهو قطع إهليلجي يمر برؤوس المثلث المرجعي ومركزه مركز ثقله ؛ وقطع كيبرت الزائدي، وهو قطع مخروطي يمر برؤوس المثلث المرجعي ومركز ثقله ومركز تعامده ؛ وقطع أرتز المكافئ، وهو قطع مكافئ يلامس ضلعين من أضلاع المثلث المرجعي عند رؤوسه.

يُستخدم مصطلح "القطع المخروطي المثلثي" على نطاق واسع في المراجع العلمية دون تعريف رسمي؛ أي دون تحديد دقيق للعلاقات التي يجب أن تربط القطع المخروطي بالمثلث المرجعي حتى يُطلق عليه اسم "القطع المخروطي المثلثي" (انظر ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} ). مع ذلك، يُعرّف عالم الرياضيات اليوناني باريس بامفيلوس القطع المخروطي المثلثي بأنه "قطع مخروطي يحيط بالمثلث $△ ABC$ (أي يمر برؤوسه) أو مُحاط به (أي مماس لأضلاعه)". ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} ويُستخدم مصطلح " الدائرة المثلثية " (أو " القطع الناقص" أو "القطع الزائد" أو "القطع المكافئ" ) للدلالة على دائرة (أو قطع ناقص أو قطع زائد أو قطع مكافئ) مرتبطة بالمثلث المرجعي بطريقة ما.

على الرغم من دراسة العديد من القطوع المخروطية المثلثية بشكل فردي، إلا أنه لا توجد موسوعة أو فهرس شامل للقطوع المخروطية المثلثية مماثل لموسوعة كلارك كيمبرلينج لمراكز المثلثات أو فهرس برنارد جيبيرت للمكعبات المثلثية . ^{[ 7 ]}

معادلات القطوع المخروطية المثلثية في الإحداثيات الثلاثية

معادلة القطع المخروطي للمثلث العام في الإحداثيات الثلاثية $x : y : z$ تأخذ الشكل التالي: $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$ تأخذ معادلات القطوع المخروطية المحيطة بالمثلث والقطوع المخروطية الداخلية على التوالي الأشكال التالية ${\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

المنظّر والمخروطيات المزدوجة

المنظور الخاص بالقطع المخروطي المحيطي أو غير المخروطي هو المنظور الخاص بالمثلث المرجعي ومثلثه القطبي بالنسبة للقطع المخروطي.

القطع المخروطي المحيطي هو المحل الهندسي للأقطاب الثلاثية للخطوط المارة عبر سطحه. ^{[ 8 ]} وعلى العكس، يقع سطح القطع المخروطي المحيطي على القطب الثلاثي لأي نقطة على القطع المخروطي باستثناء رؤوس المثلث. ^{[ 9 ]}
نقطة بريانشون هي نقطة المنظور للرسم غير الأيقوني . ^{[ 10 ]}

يقال إن القطع المخروطي المحيطي والقطع المخروطي الداخلي متناظران إذا كانت إحداثيات أي نقطة على القطع المخروطي المحيطي، باستخدام الإحداثيات المركزية ، تعطي معاملات معادلة المماس للقطع المخروطي الداخلي.

تشمل أزواج القطوع المخروطية المزدوجة القطع الناقص والقطع الناقص الداخلي لستاينر، والقطع الزائد والقطع المكافئ لكيبرت.
إن نظائر المخروط المزدوج هي مترافقة متساوية الذرات . ^{[ 11 ]}
المخروط المزدوج المحيط بالمخروط الداخلي هو المرافق المتساوي الذرات للقطب الثلاثي الخطي لمنظوره. ^{[ 12 ]}

ملاحظة: يصف باريس بامفيلوس مفهوماً مختلفاً للقطوع المخروطية المزدوجة من خلال خاصية اشتراكها في نفس المنظور. يشمل هذا المفهوم أيضاً القطع الناقص والقطع الناقص الداخلي لشتاينر. ^{[ 13 ]}

ليست كل القطوع المخروطية المرتبطة بالمثلث هي قطوع مخروطية محيطة أو قطوع مخروطية داخلية؛ على سبيل المثال، كل قطع مكافئ أرتزت لا تلامس سوى رأسين.

القطوع المخروطية المثلثية الخاصة

فيما يلي، نناقش بعض القطوع المخروطية المثلثية الخاصة النموذجية. في هذه الأوصاف، نستخدم الرموز القياسية: يُرمز دائمًا للمثلث المرجعي بالرمز $△ ABC$ . تُرمز الزوايا عند الرؤوس $A وB وC بالرموز$ $A وB وC$ على التوالي ، بينما تُرمز أطوال الأضلاع المقابلة لهذه الرؤوس بالرموز $a وb و$ $c$ على التوالي . تُعطى معادلات القطوع المخروطية في الإحداثيات الثلاثية $x و y و z$ . تم اختيار هذه القطوع المخروطية لتوضيح الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها ربط القطع المخروطي بالمثلث.

دوائر مثلثة

بعض الدوائر المثلثية المعروفة ^{[ 14 ]}
لا.	اسم	تعريف	معادلة	شكل
1	دائرة محيطة	دائرة تمر عبر الرؤوس	${\frac {a}{x}}+{\frac {b}{y}}+{\frac {c}{z}}=0$	الدائرة المحيطة $بالمثلث ABC$
2	دائرة داخلية	دائرة تلامس الخطوط الجانبية من الداخل	$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0$	الدائرة الداخلية $للمثلث ABC$
3	الدوائر الخارجية (أو الدوائر المرسومة)	دائرة تقع خارج المثلث، مماسة لأحد أضلاعه ومماسّة لامتداد الضلعين الآخرين. لكل مثلث ثلاث دوائر خارجية مميزة.	$\begin{aligned}\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac { {C}{2}}&=0\end{aligned}}}$	الدوائر الداخلية والخارجية
4	دائرة النقاط التسع (أو دائرة فيورباخ، دائرة أويلر، دائرة تيركيم)	دائرة تمر بمنتصف الأضلاع، وقاعدة الارتفاعات ، ومنتصف القطع المستقيمة من كل رأس إلى مركز التعامد.	${\begin{aligned}&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\ -\\&2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{aligned}}$	النقاط التسع
5	الدائرة القطبية	دائرة مركزها المركز العمودي $H، والتي يكون$ $المثلث ABC$ قطبيًا بالنسبة لها : الرؤوس والأضلاع المتقابلة هي أزواج قطبية متناظرة. تكون الدائرة القطبية حقيقية إذا وفقط إذا كان $المثلث ABC$ منفرج الزاوية.		الدائرة القطبية $للمثلث ABC$ ، مركزها عند $H$
6	دائرة مركزية قائمة	دائرة قطرها قطعة مستقيمة تصل بين مركز التعامد $H$ ومركز الثقل $G.$ دائرة مركز التعامد هي معكوس المحور القائم في الدائرة القطبية. ^{[ 15 ]} تشكل نقاط تقاطع الدائرة المتعامدة والارتفاعات مثلثًا مشابهًا $للمثلث ABC الذي يشترك$ ^في نفس النقطة المتوسطة $K.$ [ ^{16 ]}		دائرة مركزية قائمة $للمثلث ABC$ مع تظليل داخلي
7	دائرة بروكارد	دائرة تمر بنقاط بروكارد ، ويكون قطرها قطعة مستقيمة تصل بين النقطة المتناظرة $K$ ومركز الدائرة المحيطة $O.$ دائرة بروكارد هي معكوس محور ليموين في الدائرة المحيطة. ^{[ 17 ]} تشكل نقاط تقاطع دائرة بروكارد والمنصفات العمودية للأضلاع مثلثًا مشابهًا $للمثلث ABC الذي يشترك$ ^في نفس المركز $G.$ ^[¹⁵ ]		دائرة بروكارد من $△ ABC$
8	دائرة جيب التمام (أو دائرة ليموين الثانية)	ارسم خطوطًا تمر بالنقطة $K$ وتكون معاكسة لأضلاع $المثلث ABC$ . تقع النقاط الست التي تتقاطع فيها هذه الخطوط مع الأضلاع على دائرة تُعرف بدائرة جيب التمام، حيث يتناسب طول الوتر على كل ضلع مع جيب تمام الزاوية المقابلة. مركز هذه الدائرة هو النقطة $K.$ تشكل النقاط الست شكلاً سداسياً مرسوماً داخل المثلث ABC، حيث تتناوب أضلاعه بين التوازي والتضاد مع أضلاع $المثلث ABC$ . هذا الشكل السداسي دائري دائماً ويقع على دائرة تاكر ، التي تُعد دائرة جيب التمام والدائرة المحيطة بها حالتين خاصتين منها. جميع دوائر تاكر مركزها على الخط $KO$ ( محور بروكارد ). ^{[ 18 ]} تشكل النقاط الست المتمركزة على دائرة واحدة، والتي تُعرّف دائرة تاكر، مثلثين متشابهين مع $المثلث ABC$ . نقاط ميكيل لهذين المثلثين بالنسبة $للمثلث ABC$ هي نقاط بروكارد $Ω$ و $Ω'$ . كل دائرة تاكر متمركزة حول دائرة تمر بنقاط بروكارد ونصف قطرها ${\frac {R}{\overline {O\varOmega }}}$ أكبر بمرتين، حيث $R$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة. ^{[ 19 ]}		دائرة جيب التمام $للمثلث ABC$
9	دائرة ليموين الأولى (أو دائرة بنسبة ثلاثية)	ارسم خطوطًا تمر عبر النقطة $K$ موازية لأضلاع $المثلث ABC$ . تقع النقاط الست التي تتقاطع فيها الخطوط مع الأضلاع على دائرة تُعرف باسم دائرة ليموين الأولى. إنها دائرة تاكر مركزها في منتصف المسافة بين $K$ و $O$ ونصف قطرها ${\frac {R}{\overline {O\varOmega }}}$ مضروبًا في نصف قطر دائرة بروكارد.		الدائرة الأولى من دائرة ليموين $△ ABC$

مثلثات قطع ناقصة

بعض الأشكال المثلثية الإهليلجية المعروفة
لا.	اسم	تعريف	معادلة	شكل
1	قطع ناقص شتاينر	قطع مخروطي يمر برؤوس المثلث $ABC ومركزه$ في مركز ثقل $المثلث ABC$	${\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0$	قطع ناقص شتاينر $للمثلث ABC$
2	قطع ناقص شتاينر	شكل بيضاوي يلامس الخطوط الجانبية عند منتصف الجانبين	${\begin{aligned}&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-\\&2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{aligned}}$	القطع الناقص لستاينر $للمثلث ABC$
3	قطع ناقص من نوع ماندارت	شكل بيضاوي يلامس الخطوط الجانبية عند نقاط التماس للدوائر الخارجية. مركزه هو نقطة المنتصف (mittenpunkt) ونقطة الرؤية (Popture) هي نقطة ناجل (Nagel point) .	$\begin{aligned} \displaystyle \begin{aligned} \f^{2}x^{2} + g^{2}y^{2} + h^{2}z^{2} - \f^{2}x^{2} + g^{2}y^{2} + h^{2}z^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}y^{2}y^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} = 0 \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} = 0 \f^{2}x^{2} - \f^{2}x^{2} = ...$	شكل ناقص من نوع ماندارت لـ $△ ABC$

القطع الزائد المثلثي

بعض القطع الزائد المثلثية المعروفة
لا.	اسم	تعريف	معادلة	شكل
1	قطع كيبرت الزائدي	إذا كانت المثلثات الثلاثة $△ XBC$ و $△ YCA$ و $△ ZAB$ ، المرسومة على أضلاع المثلث $△ ABC$ كقاعدة، متشابهة ومتساوية الساقين ومتشابهة الموقع، فإن الخطوط $AX و BY و CZ$ تتقاطع في نقطة $N.$ المحل الهندسي للنقطة $N$ هو قطع كيبرت الزائدي. ^{[ 20 ]} القطع الزائد لكيبرت مستطيل الشكل ويمر عبر مركز التعامد ومركز ثقل $المثلث ABC$ . وهو المرافق المتساوي الذرات لـ $GK$ الخط الواصل بين مركز الثقل والنقطة المتوسطة، والمترافق المتساوي الزوايا لمحور بروكارد. مركزه هو معكوس النقطة المتوسطة في الدائرة المتعامدة المركزية، والقطب العمودي لمحور بروكارد، ونقطة شتاينر للمثلث المتوسط ، ويقع على دائرة النقاط التسع وقطع شتاينر الناقص. ناظره هو تقاطع المحور العمودي مع الخط عند اللانهاية . ^{[ 9 ]}	${\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0$	القطع الزائد لكيبرت $للمثلث ABC$ . يمر القطع الزائد عبر الرؤوس $A و B و C$ ومركز التعامد ( $O$ ) ومركز الثقل ( $G$ ) للمثلث.
2	القطع الزائد لجيرابيك	قطع زائد مستطيل يمر برؤوس المثلث $ABC$ ومركزه العمودي ومركزه المحيطي . وهو المرافق المتساوي الزوايا لخط أويلر $.$ مركزه هو القطب العمودي لخط أويلر، وبؤرة قطع كيبرت المكافئ للمثلث المتوسط، ويقع على دائرة النقاط التسع والقطع المخروطي العمودي . ومحوره المنظوري هو تقاطع المحور العمودي ومحور ليموين. ^[⁹^]	${\begin{aligned}&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}\\[2pt]&+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}$	قطع جيرابيك الزائدي $△ ABC$
3	قطع زائد فيورباخ	القطع الزائد المستطيل الذي يمر برؤوس $المثلث ABC$ ومركز تعامده ومركزه الداخلي . المرافق المتساوي الزوايا لـ $OI$ ، الخط الواصل بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة الداخلية. مركزه هو القطب القائم لـ $OI$ تقع نقطة فيورباخ ، على الدائرة الداخلية، ودائرة النقاط التسع، وقطع ماندارت الناقص. ونقطة انعكاسها هي نقطة تقاطع المحور القائم، والمحور المضاد للقائمة ، وخط جيرجون . ^{[ 9 ]}	${\frac {\cos B-\cos C}{x}}+{\frac {\cos C-\cos A}{y}}+{\frac {\cos A-\cos B}{z}}=0$	قطع فيورباخ الزائدي $△ ABC$
4	مكافئ القطع المكافئ Yff	قطع زائد يمر برؤوس المثلث ABC ومركزه ونقطة جيرجون $.$ وهو المرافق المتساوي لخط ناجل $.$ ^[²¹^] مركزه هو نقطة تقاطع القطع المكافئ Yff للمثلث المتوسط، ويقع على القطع الناقص شتاينر. نقطة تقاطعه هي تقاطع خط جيرجون مع الخط عند اللانهاية . ^[¹²^]^[²²^]^[⁹^]	${\frac {bc(b-c)}{x}}+{\frac {ca(c-a)}{y}}+{\frac {ab(a-b)}{z}}=0$

ملاحظة: دائرة القدم لأي نقطة على القطع الزائد المحيط المستطيل تمر بمركز القطع الزائد. وبما أن جميع هذه القطوع الزائدة تمر بمركز التعامد، فإن مراكزها تقع جميعها على دائرة النقاط التسع. ^{[ 11 ]}

القطع المكافئ المثلثي

بعض القطع المكافئ المثلثي المعروف
لا.	اسم	تعريف	معادلة	شكل
1	قطع مكافئة Artzt	قطع مكافئ ( قطع مكافئ أرتزت- $أ$ ) مماس عند النقطتين $ب، ج$ للضلعين $أ ب، أ ج$ ، وقطعين مكافئين آخرين مماثلين. ^{[ 23 ]} دليل قطع مكافئ أرتزت- $أ$ هو العمود على المتوسط المار بالنقطة $أ$ عند تقاطعه، بجوار منتصف $ب ج$ ، مع دائرة النقاط التسع. بؤرة قطع مكافئ أرتزت- $أ$ هي نقطة تقاطع المتوسط المتناظر المار بالنقطة $أ$ ، بجوار نقطة المتوسط المتناظر، مع دائرة بروكارد. ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}	${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\[2pt]{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4xz}{ca}}&=0\\[2pt]{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}$	Artzt parabolas of $△ ABC$
2	قطع مكافئ كيبرت	لنفترض أن ثلاثة مثلثات متساوية الساقين متشابهة $△ A'BC$ و $△ AB'C$ و $△ ABC'$ قد تم إنشاؤها على أضلاع $△ ABC$ . عندئذٍ يكون غلاف المنظور للمثلثين $△$ $ABC$ و $△$ $A'B'C'$ هو قطع كيبرت المكافئ. ^[²⁰^] يُعتبر خط أويلر دليلاً لقطع كيبرت المكافئ. بؤرته (وتُسمى أيضاً نقطة انعكاس أويلر ) هي معكوس مركز دائرة بروكارد، ^{[ 26 ]} والقطب الثلاثي لمحور بروكارد، والمقابل العمودي لمركز قطع كيبرت الزائدي، ومركز قطع جيرابيك الزائدي للمثلث المضاد للمكمل ، وإذا كان $المثلث ABC$ حاد الزاوية، فهي نقطة فيورباخ للمثلث المماسي . نقطة شتاينر هي نقطة الرؤية، وتقع على الدائرة المحيطة وقطع شتاينر الناقص. ^{[ 9 ]}	${\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfxz=0,\\[8pt]&{\text{where }}f=b^{2}-c^{2},\\&g=c^{2}-a^{2},\ h=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}$	القطع المكافئ لكيبرت $للمثلث ABC$ . يوضح الشكل أيضًا أحد عناصر عائلة الخطوط (الخط $LMN ) التي يمثل غلافها القطع المكافئ لكيبرت.$
3	قطع مكافئ Yff	قطع مكافئ مماس لأضلاع المثلث $ABC ،$ ودليله هو محور بروكارد للمثلث الخارجي، وبؤرته هي مركز القطع الزائد لكيبرت للمثلث الخارجي. ^{[ 21 ]} ونظيره هو القطب الثلاثي لخط ناجل، ويقع على قطع شتاينر الناقص. ^{[ 12 ]}^{[ 9 ]}	${\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfxz=0,\\[8pt]&{\text{where }}f=a^{2}(b-c)^{2},\\&g=b^{2}(c-a)^{2},\ h=c^{2}(a-b)^{2}.\end{aligned}}$

عائلات القطوع المخروطية المثلثية

أشكال هوفستادتر الناقصة

عائلة القطوع المخروطية لهوفستاتر من $△ ABC$

يُعدّ القطع الناقص لهوفستاتر ^{[ 27 ]} أحد أفراد عائلة القطع الناقص ذات المعامل الواحد في مستوى $△ ABC$ المحدد بالمعادلة التالية في الإحداثيات الثلاثية: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ حيث $t$ هو مُعامل و ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\sin C-\cos C\cot tC\end{aligned}}$ القطع الناقص المناظر لـ $t$ و $1 - t$ متطابق. عندما $t = 1/2$ يكون لدينا القطع الناقص الداخلي $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ وعندما $t \to 0$ نحصل على القطع الناقص الدائري ${\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.$

المخروطيات لثومسون وداربو

تتألف عائلة مخاريط طومسون من تلك المخاريط المحصورة داخل المثلث المرجعي $△ ABC$ والتي تتميز بأن أعمدة المخاريط عند نقاط التماس مع الخطوط الجانبية تتقاطع. أما عائلة مخاريط داربو، فتضم المخاريط المحيطة بالمثلث المرجعي $△ ABC$ والتي تتقاطع أعمدة المخاريط عند رؤوس المثلث $△ ABC$ . في كلتا الحالتين، تقع نقاط التقاطع على مكعب داربو. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}

القطوع المخروطية المرتبطة بمقاطع متوازية

بفرض وجود نقطة عشوائية في مستوى المثلث المرجعي $△ ABC$ ، إذا رُسمت خطوطٌ تمر عبر $النقطة P$ موازيةً للأضلاع $BC وCA وAB،$ وتتقاطع مع الأضلاع الأخرى عند النقاط $Xb وXc و Yc و Ya و Za و Zb ، فإن$ نقاط التقاطع الست هذه تقع على قطع مخروطي. إذا اختيرت P كنقطة متناظرة متوسطة، فإن القطع المخروطي الناتج يكون دائرة تُسمى دائرة ليموين الأولى. إذا كانت الإحداثيات الثلاثية للنقطة $P$ هي $u : v : w،$ فإن معادلة القطع المخروطي ذي النقاط الست هي ^{[ 11 ].} $-(au+bv+cw)^{2}(uyz+vzx+wxy)+(ax+by+cz)(vw(bv+cw)x+wu(cw+au)y+uv(au+bv)z)=0$

المخروطيات Yff

أعضاء عائلة القطوع المخروطية ذات المعامل الواحد، والمحددة بالمعادلة $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$ أين $\lambda$ يمثل معاملًا، وهي القطوع المخروطية Yff المرتبطة بالمثلث المرجعي $△ ABC$ . ^{[ 30 ]} يرتبط عنصر من هذه المجموعة بكل نقطة $P (u : v : w)$ في المستوى عن طريق تحديد $\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.$ يكون القطع المخروطي Yff قطعًا مكافئًا إذا $\lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}$ (على سبيل المثال). إنه قطع ناقص إذا $\lambda <\lambda _{0}$ و $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ ويكون قطعًا زائدًا إذا $\lambda _{0}<\lambda <-1$ . ل $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ ، القطوع المخروطية وهمية.

انظر أيضاً

مراجع

↑ باريس بامفيلوس (2021). "الأشكال متساوية الأضلاع المحصورة في القطوع المخروطية". المجلة الدولية للهندسة . 10 (1): 5-24 .
↑ كريستوفر ج. برادلي. "أربعة قطوع مخروطية مثلثة" . صفحات شخصية . جامعة باث . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .
↑ غوتهارد فايس (2012). "تعميم وتوسيع نظرية والاس" . منتدى الهندسة . 12 : 1-11 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2021 .
^ زلاتان ماجاجنا. "أوكي جيوميتري بلس" . موافق الهندسة زائد . تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2021 .
↑ "Geometrikon" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .
↑ "1. القطوع المخروطية المثلثية" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .
^ برنارد جيبرت. ""كتالوج مكعبات المثلث" " مكعب في مستوى المثلث . برنارد جيبرت . تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2021 .
↑ "القطوع المخروطية المثلثية" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تاريخ الاسترجاع: ١١ أكتوبر ٢٠٢٥ .
1 2 3 4 5 6 7 كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلث" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أكتوبر 2025 .انظر X (11) = نقطة فيورباخ، X (101) = Ψ (مركز الدائرة الداخلية، نقطة الوسيط)، X (110) = بؤرة قطع كيبرت المكافئ، X (115) = مركز قطع كيبرت الزائدي، X (125) = مركز قطع جيرابيك الزائدي، X (190) = نقطة Yff المكافئة، X (514) = المرافق المتساوي الزوايا لـ X (101)، X (523) = المرافق المتساوي الزوايا لـ X (110)، X (647) = الفرق المتبادل بين X (2) و X (3)، و X (650) = الفرق المتبادل بين X (1) و X (3).
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "المنظّر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 23 يونيو 2025 .
1 2 3 بول ييو (صيف 2001). مقدمة في هندسة المثلث (ملف PDF) . الصفحات 127، 133، 141. تاريخ الاطلاع: 11 أكتوبر 2025 .
1 2 3 ستوثرز، ويلسون. "القطوع الدائرية والقطوع غير الدائرية" . www.maths.gla.ac.uk . تاريخ الاسترجاع: 23 يونيو 2025 .
↑ "تلعب الإسقاطات دورًا مرتبطًا بالمثلث" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يونيو 2025 .
↑ نيل ماي كوك (1929). المثلث ودوائره (ملف PDF) . كلية كانساس ستيت الزراعية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2021 .
1 2 جيبيرت، برنارد. "مثلثات بروكارد" . المكعبات في المستوى المثلثي . تم الاسترجاع في 10 يناير 2026 ."تذكر أن المحور المتعامد (أي المعكوس في الدائرة القطبية) للمحور المتعامد هو الدائرة المتعامدة المركزية."
↑ كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلثات الجزء 4" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يناير 2026 .انظر X (5476) = نقطة المنتصف بين X (6) و X (381).
↑ "نقاط بروكارد والمثلثات" (ملف PDF) . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس. 23 نوفمبر 2021. ص 5. تاريخ الاطلاع: 10 يناير 2026 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "دوائر تاكر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 11 أكتوبر 2025 .
↑ جونسون، روجر أ. (2007) [1929]، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، الصفحات 271-272 ، 276
1 2 آر إتش إيدي وآر فريتش (يونيو 1994). "مخروطيات لودفيج كيبرت: درس شامل في هندسة المثلث". مجلة الرياضيات . 67 (3): 188-205 . doi : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .
1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "قطع مكافئ Yff" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 20 يونيو 2025 .
↑ كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلثات الجزء 2" . تم الاطلاع عليه في 1 يوليو 2025 .انظر X (1086) = مركز القطع الزائد {{A,B,C, X (2), X (7)|}.
↑ نيكولاوس ديرجياديس (2010). "المماس المخروطي عند رؤوس ضلعين من المثلث". منتدى الهندسة . 10 : 41-53 .
↑ شارب، جون (2 نوفمبر 2015). "القطع المكافئ المثلثي" . المجلة الرياضية . 99 (546). مطبعة جامعة كامبريدج: 454، 458. doi : 10.1017/mag.2015.81 . تاريخ الاسترجاع: 11 أكتوبر 2025 .
↑ "المتناظر الوسيط" (ملف PDF) . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس. 15 مايو 2021. تاريخ الاطلاع: 24 يونيو 2025 .
↑ كول، تيلف. "مدونة تيلف كول للهندسة: بؤر القطع الناقص لستاينر ومراكز المثلثات الأخرى" . AoPS . تم الاطلاع عليه في 9 يناير 2026 .انظر الخاصية 2 : $E و G و T تقع على خط مستقيم$ $واحد$ و $E \leftrightarrow G$ تحت الانعكاس بالنسبة لدائرة بروكارد $⊙(OK)$ للمثلث $ABC$ .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "قطع ناقص هوفستاتر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2021 .
↑ روسكو وودز (1932). "بعض القطوع المخروطية ذات الأسماء". وقائع أكاديمية أيوا للعلوم . 39 المجلد 50 (العدد السنوي).
↑ "K004 : منحنى داربو المكعب" . كتالوج المنحنيات المكعبة . برنارد جيبير . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 نوفمبر 2021 .
↑ كلارك كيمبرلينج (2008). "المخروطيات Yff". مجلة الهندسة والرسومات . 12 (1): 23-34 .

[1] باريس بامفيلوس (2021). "الأشكال متساوية الأضلاع المحصورة في القطوع المخروطية". المجلة الدولية للهندسة . 10 (1): 5-24 .

[2] كريستوفر ج. برادلي. "أربعة قطوع مخروطية مثلثة" . صفحات شخصية . جامعة باث . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .

[3] غوتهارد فايس (2012). "تعميم وتوسيع نظرية والاس" . منتدى الهندسة . 12 : 1-11 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2021 .

[4] زلاتان ماجاجنا. "أوكي جيوميتري بلس" . موافق الهندسة زائد . تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2021 .

[5] "Geometrikon" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .

[6] "1. القطوع المخروطية المثلثية" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2021 .

[7] برنارد جيبرت. ""كتالوج مكعبات المثلث" " مكعب في مستوى المثلث . برنارد جيبرت . تم الاسترجاع في 12 نوفمبر 2021 .

[8] "القطوع المخروطية المثلثية" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تاريخ الاسترجاع: ١١ أكتوبر ٢٠٢٥ .

[etc-9] 1 2 3 4 5 6 7 كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلث" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أكتوبر 2025 .انظر X (11) = نقطة فيورباخ، X (101) = Ψ (مركز الدائرة الداخلية، نقطة الوسيط)، X (110) = بؤرة قطع كيبرت المكافئ، X (115) = مركز قطع كيبرت الزائدي، X (125) = مركز قطع جيرابيك الزائدي، X (190) = نقطة Yff المكافئة، X (514) = المرافق المتساوي الزوايا لـ X (101)، X (523) = المرافق المتساوي الزوايا لـ X (110)، X (647) = الفرق المتبادل بين X (2) و X (3)، و X (650) = الفرق المتبادل بين X (1) و X (3).

[10] وايسشتاين، إريك دبليو. "المنظّر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 23 يونيو 2025 .

[yiu-11] 1 2 3 بول ييو (صيف 2001). مقدمة في هندسة المثلث (ملف PDF) . الصفحات 127، 133، 141. تاريخ الاطلاع: 11 أكتوبر 2025 .

[candi-12] 1 2 3 ستوثرز، ويلسون. "القطوع الدائرية والقطوع غير الدائرية" . www.maths.gla.ac.uk . تاريخ الاسترجاع: 23 يونيو 2025 .

[13] "تلعب الإسقاطات دورًا مرتبطًا بالمثلث" . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يونيو 2025 .

[14] نيل ماي كوك (1929). المثلث ودوائره (ملف PDF) . كلية كانساس ستيت الزراعية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 نوفمبر 2021 .

[gibert-brocard-15] 1 2 جيبيرت، برنارد. "مثلثات بروكارد" . المكعبات في المستوى المثلثي . تم الاسترجاع في 10 يناير 2026 ."تذكر أن المحور المتعامد (أي المعكوس في الدائرة القطبية) للمحور المتعامد هو الدائرة المتعامدة المركزية."

[16] كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلثات الجزء 4" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يناير 2026 .انظر X (5476) = نقطة المنتصف بين X (6) و X (381).

[17] "نقاط بروكارد والمثلثات" (ملف PDF) . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس. 23 نوفمبر 2021. ص 5. تاريخ الاطلاع: 10 يناير 2026 .

[18] وايسشتاين، إريك دبليو. "دوائر تاكر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 11 أكتوبر 2025 .

[19] جونسون، روجر أ. (2007) [1929]، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، الصفحات 271-272 ، 276

[kiepert-20] 1 2 آر إتش إيدي وآر فريتش (يونيو 1994). "مخروطيات لودفيج كيبرت: درس شامل في هندسة المثلث". مجلة الرياضيات . 67 (3): 188-205 . doi : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .

[yff-21] 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "قطع مكافئ Yff" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 20 يونيو 2025 .

[22] كيمبرلينج، كلارك . "موسوعة مراكز المثلثات الجزء 2" . تم الاطلاع عليه في 1 يوليو 2025 .انظر X (1086) = مركز القطع الزائد {{A,B,C, X (2), X (7)|}.

[23] نيكولاوس ديرجياديس (2010). "المماس المخروطي عند رؤوس ضلعين من المثلث". منتدى الهندسة . 10 : 41-53 .

[24] شارب، جون (2 نوفمبر 2015). "القطع المكافئ المثلثي" . المجلة الرياضية . 99 (546). مطبعة جامعة كامبريدج: 454، 458. doi : 10.1017/mag.2015.81 . تاريخ الاسترجاع: 11 أكتوبر 2025 .

[25] "المتناظر الوسيط" (ملف PDF) . الصفحة الرئيسية لباريس بامفيلوس حول الهندسة والفلسفة والبرمجة . باريس بامفيلوس. 15 مايو 2021. تاريخ الاطلاع: 24 يونيو 2025 .

[26] كول، تيلف. "مدونة تيلف كول للهندسة: بؤر القطع الناقص لستاينر ومراكز المثلثات الأخرى" . AoPS . تم الاطلاع عليه في 9 يناير 2026 .انظر الخاصية 2 : $E و G و T تقع على خط مستقيم$ $واحد$ و $E \leftrightarrow G$ تحت الانعكاس بالنسبة لدائرة بروكارد $⊙(OK)$ للمثلث $ABC$ .

[27] وايسشتاين، إريك دبليو. "قطع ناقص هوفستاتر" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . وولفرام ريسيرش . تم الاسترجاع في 25 نوفمبر 2021 .

[28] روسكو وودز (1932). "بعض القطوع المخروطية ذات الأسماء". وقائع أكاديمية أيوا للعلوم . 39 المجلد 50 (العدد السنوي).

[29] "K004 : منحنى داربو المكعب" . كتالوج المنحنيات المكعبة . برنارد جيبير . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 نوفمبر 2021 .

[30] كلارك كيمبرلينج (2008). "المخروطيات Yff". مجلة الهندسة والرسومات . 12 (1): 23-34 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

في

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]