نظرية ناش-موسر

في مجال التحليل الرياضي ، تعتبر نظرية ناش-موسر ، التي اكتشفها عالم الرياضيات جون فوربس ناش وسميت باسمه ويورغن موسر ، تعميمًا لنظرية الدالة العكسية على فضاءات باناخ إلى الحالات التي لا يكون فيها تعيين الحل المطلوب للمسألة الخطية محدودًا.

على عكس حالة فضاء باناخ، حيث يكفي أن تكون المشتقة قابلة للعكس عند نقطة ما لكي تكون الدالة قابلة للعكس محليًا، فإن نظرية ناش-موسر تشترط أن تكون المشتقة قابلة للعكس في جوار معين . تُستخدم هذه النظرية على نطاق واسع لإثبات الوجود المحلي للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية في فضاءات الدوال الملساء . وهي مفيدة بشكل خاص عندما "تفقد" الدالة العكسية للمشتقة المشتقات، وبالتالي لا يمكن استخدام نظرية الدالة الضمنية في فضاء باناخ.

تعود نظرية ناش-موسر إلى ناش (1956) ^{[ 1 ]} ، الذي أثبت النظرية في حالة خاصة لمسألة التضمين المتساوي القياس . ويتضح من بحثه إمكانية تعميم طريقته. فعلى سبيل المثال، بيّن موسر (1966) ^{[ 2 ] [ 3 ]} إمكانية تطبيق طرق ناش بنجاح لحل مسائل المدارات الدورية في الميكانيكا السماوية ضمن نظرية KAM . ومع ذلك، فقد ثبت صعوبة إيجاد صيغة عامة مناسبة؛ إذ لا توجد حتى الآن صيغة شاملة؛ وتُعرض في المراجع أدناه صيغ مختلفة منسوبة إلى غروموف ، وهاملتون ، وهورماندر ، وسانت ريموند، وشوارتز، وسيرغيرايرت. وتُعد صيغة هاملتون، المذكورة أدناه، من أكثر الصيغ استشهادًا.

سيتم تقديم هذا في السياق الأصلي لنظرية ناش-موسر، أي مسألة التضمين المتساوي القياس.$أوميغا$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$انظر إلى الخريطة$${\displaystyle P:C^{1}(\Omega$$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{0}{\big (}\Omega  ;{\text{Sym}}_{n\times n}(\mathbb {R} ){\big )}} معطى بواسطة$${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{j}}}.}$$في حل ناش لمسألة التضمين المتساوي القياس (كما هو متوقع في حلول المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية)، تتمثل الخطوة الرئيسية في صياغة بيان بالشكل التخطيطي التالي: "إذا كانت f بحيث أن${\displaystyle P(f)}$إذا كانت الدالة موجبة التحديد، فإنه لأي دالة ذات قيم مصفوفية${\displaystyle g}$وهو قريب من${\displaystyle P(f)}$، يوجد${\displaystyle f_{g}}$مع${\displaystyle P(f_{g})=g}$"

وفقًا للممارسة المعتادة، يُتوقع تطبيق نظرية الدالة العكسية في فضاء باناخ. لذا، على سبيل المثال، قد يتوقع المرء تقييد P إلى${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})} ، ولغرض الغمر f في هذا المجال، لدراسة التخطيط الخطي${\displaystyle C^{5}(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N})\to C^{4}(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))} معطى بواسطة $${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$$إذا استطاع المرء أن يثبت أن هذا قابل للعكس، مع معكوس محدود، فإن نظرية دالة المعكوس في فضاء باناخ تنطبق مباشرة.

لكن ثمة سبب جوهري يجعل هذه الصيغة غير قابلة للتطبيق. تكمن المشكلة في وجود مؤثر تفاضلي من الرتبة الثانية من${\displaystyle P(f)}$وهذا يتوافق مع مؤثر تفاضلي من الدرجة الثانية مطبق على f . بتعبير أدق: إذا كانت f دالة غمر، فإن $${\displaystyle R^{P(f)}=|H(f)|^{2}-|h(f)|_{P(f)}^{2},}$$ أين${\displaystyle R^{P(f)}}$يمثل انحناء المقياس الريماني القياسي P(f) ، بينما يمثل H(f) متوسط ​​انحناء الغمر f ، ويمثل h(f) شكله الأساسي الثاني؛ المعادلة أعلاه هي معادلة غاوس من نظرية السطوح. لذا، إذا كان P(f) من ^الرتبة C₄ ، فإن R ^P(f) يكون عادةً من الرتبة C₂ فقط ^. وبناءً على المعادلة أعلاه، يمكن أن يكون f عادةً من الرتبة C₄ فقط ^؛ أما إذا كان من ^{الرتبة C₅} ، فإن | H | ^² - | h | ^² يجب أن يكون على الأقل من ^{الرتبة C₃} . يمكن تلخيص مصدر المشكلة بإيجاز كما يلي: تُظهر معادلة غاوس وجود مؤثر تفاضلي Q بحيث يكون ترتيب تركيب Q مع P أقل من مجموع ترتيبي P و Q.

في هذا السياق، فإن النتيجة هي أن معكوس عملية التخطيط الخطي لـ P ، حتى لو كان موجودًا كدالة${\displaystyle C^{\infty }(\Omega ;Sym_{n\times n}(\mathbb {R} ))\to C^{\infty }(\Omega$ ;\mathbb {R} ^{N}} ), لا يمكن تقييدها بين فضاءات باناخ المناسبة، وبالتالي لا يمكن تطبيق نظرية الدالة الضمنية لفضاء باناخ.

وبالمنطق نفسه، لا يمكن تطبيق نظرية الدالة الضمنية في فضاء باناخ مباشرةً حتى عند استخدام فضاءات هولدر، أو فضاءات سوبوليف، أو أي من فضاءات C ^k . ففي أي من هذه الحالات، لن يكون معكوس خطية P محدودًا.

هذه هي مشكلة فقدان المشتقات . من المتوقع ببساطة أنه، بشكل عام، إذا كان P مؤثرًا تفاضليًا من الرتبة k ، فإذا كان P(f) ينتمي إلى C m ، فإن f يجب أن ينتمي إلى C m+k . ومع ذلك، فإن هذا نادر الحدوث. في حالة المؤثرات التفاضلية الإهليلجية المنتظمة، تُظهر تقديرات شاودر الشهيرة أن هذا التوقع البسيط صحيح، مع التنويه إلى ضرورة استبدال${\displaystyle C^{k}}$مساحات مع مساحات هولدر${\displaystyle C^{k,\alpha }}$لا يُسبب هذا أي صعوبة إضافية على الإطلاق لتطبيق نظرية الدالة الضمنية في فضاء باناخ. مع ذلك، يُبين التحليل السابق أن هذا التوقع الساذج لا يتحقق بالنسبة للدالة التي تُرسل غمرًا إلى مقياس ريماني مُستحث؛ نظرًا لأن هذه الدالة من الرتبة 1، فلا يُمكن الحصول على المشتقة "المتوقعة" عند عكس المؤثر. هذا القصور شائع في المسائل الهندسية، حيث يكون تأثير زمرة التشاكل هو السبب الجذري، وفي مسائل المعادلات التفاضلية الزائدية، حيث لا يُمكن حتى في أبسط المسائل الحصول على سلاسة الحل المتوقعة. تُوفر كل هذه الصعوبات سياقات مشتركة لتطبيقات نظرية ناش-موسر.

يهدف هذا القسم فقط إلى وصف فكرة، ولذلك فهو غير دقيق عمداً. ولتوضيح الفكرة، افترض أن${\displaystyle P}$هو مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى على بعض فضاءات الدوال، بحيث يُعرّف خريطة${\displaystyle P:C^{k+1}\to C^{k}}$لكل${\displaystyle k}$لنفترض أنه عند نقطة ما${\displaystyle C^{k+1}}$الدالة f ، التخطيط الخطي${\displaystyle DP_{f}:C^{k+1}\to C^{k}}$له معكوس يميني${\displaystyle S:C^{k}\to C^{k}}$في اللغة المذكورة أعلاه، يعكس هذا "فقدان مشتقة واحدة". ويمكن للمرء أن يرى بوضوح فشل محاولة استخدام طريقة نيوتن لإثبات نظرية الدالة الضمنية في فضاء باناخ في هذا السياق: إذا${\displaystyle g_{\infty }}$قريب من${\displaystyle P(f)}$في${\displaystyle C^{k}}$ويحدد أحدهما التكرار $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$$ ثم${\displaystyle f_{1}\in C^{k+1}}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{n})}$هو في${\displaystyle C^{k}}$، وثم${\displaystyle f_{2}}$هو في${\displaystyle C^{k}}$وبناءً على نفس المنطق،${\displaystyle f_{3}}$هو في${\displaystyle C^{k-1}}$،${\displaystyle f_{4}}$هو في${\displaystyle C^{k-2}}$وهكذا دواليك. في عدد محدود من الخطوات، يجب أن تنتهي عملية التكرار، لأنها ستفقد كل انتظام ولن تكون الخطوة التالية محددة حتى.

يتميز حل ناش ببساطته اللافتة للنظر. لنفترض أنه لكل${\displaystyle n>\theta }$يحتوي أحدهما على عامل تنعيم${\displaystyle \theta _{n}}$الأمر الذي يتطلب${\displaystyle C^{k}}$الدالة، تُرجع دالة سلسة، وتقارب دالة الهوية عندما${\displaystyle n}$كبير. ثم تكرار نيوتن "المُنعّم". $${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$$ لا تواجه هذه الطريقة، بشكل واضح، نفس الصعوبة التي واجهتها النسخة "غير المُنعّمة" السابقة، لأنها عبارة عن تكرار في فضاء الدوال الملساء التي لا تفقد انتظامها أبدًا. وبالتالي، نحصل على متتالية دوال محددة جيدًا؛ والمفاجأة الكبرى في منهج ناش هي أن هذه المتتالية تتقارب بالفعل إلى دالة.${\displaystyle f_{\infty }}$مع${\displaystyle P(f_{\infty })=g_{\infty }}$بالنسبة للعديد من علماء الرياضيات، يُعدّ هذا الأمر مفاجئًا إلى حدٍّ ما، إذ يبدو "الحلّ" المتمثل في إضافة عامل تنعيم سطحيًا للغاية بحيث لا يُمكنه التغلّب على المشكلة العميقة في طريقة نيوتن القياسية. على سبيل المثال، يقول ميخائيل غروموف في هذا الصدد:

لا بد أن تكون مبتدئًا في التحليل أو عبقريًا مثل ناش لتصدق شيئًا كهذا. [...] قد يبدو لك هذا واقعيًا كنجاح آلة الحركة الدائمة مع تطبيق ميكانيكي لشيطان ماكسويل... إلا إذا بدأت بمتابعة حسابات ناش وأدركت، لدهشتك الكبيرة، أن التنعيم فعال بالفعل.

ملاحظة: إنّ "تكرار نيوتن المُنعّم" الحقيقي أكثر تعقيدًا بقليل من الشكل المذكور أعلاه، على الرغم من وجود بعض الأشكال غير المتكافئة، وذلك بحسب موضع إدخال عوامل التنعيم. ويكمن الاختلاف الرئيسي في اشتراط قابلية عكس...${\displaystyle DP_{f}}$بالنسبة لجوار مفتوح كامل من خيارات f ، ثم يستخدم المرء تكرار نيوتن "الحقيقي"، والذي يتوافق مع (باستخدام تدوين متغير واحد) $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$ على عكس $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$$ يعكس الأخير الصيغ المذكورة أعلاه. وهذا أمر بالغ الأهمية، إذ يُستخدم التقارب التربيعي المُحسَّن لتكرار نيوتن "الحقيقي" بشكلٍ كبيرٍ لمواجهة خطأ "التنعيم"، وذلك لتحقيق التقارب. تتبع بعض المناهج، ولا سيما منهج ناش وهاملتون، حل معادلة تفاضلية عادية في فضاء الدوال بدلاً من التكرار في فضاء الدوال؛ والعلاقة بين الأخير والأول هي في جوهرها علاقة حل طريقة أويلر بحل معادلة تفاضلية.

يظهر البيان التالي في كتاب هاميلتون (1982): ^{[ 4 ]}

ليكن F و G فضاءات فريشيه مروضة، و${\displaystyle U\subseteq F}$ليكن مجموعة جزئية مفتوحة، وليكن${\displaystyle P:U\to G}$لتكن خريطة ترويض سلسة. افترض أنه لكل${\displaystyle f\in U}$التخطيط الخطي${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$قابلة للعكس، وعائلة المعكوسات، كدالة${\displaystyle U\times G\to F,}$إذا كانت ناعمة ومروضة، فإن P قابلة للعكس محليًا، وكل معكوس محلي${\displaystyle P^{-1}}$إنها خريطة ترويض سلسة.

وبالمثل، إذا كانت كل عملية خطية أحادية فقط، وكانت مجموعة المعكوسات اليسرى ناعمة ومروضة، فإن P تكون أحادية محليًا. وإذا كانت كل عملية خطية شاملة فقط، وكانت مجموعة المعكوسات اليمنى ناعمة ومروضة، فإن P تكون شاملة محليًا مع معكوس يميني ناعم ومروض.

خرائط ترويض سلسة

يترك${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$تُصنّف مساحات فريشيه حسب الدرجة.${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle F}$وهذا يعني أنه لكل${\displaystyle f\in U}$هناك${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$و${\displaystyle \varepsilon >0}$بحيث${\displaystyle \|f-f_{1}\|_{n}<\varepsilon }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle f_{1}}$وهو موجود أيضًا في${\displaystyle U}$.

خريطة سلسة${\displaystyle P:U\to G}$يُطلق عليه اسمخريطة سلسة ومُهذّبة للجميع${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$المشتق${\displaystyle D^{k}P:U\times F\times \cdots \times F\to G}$يستوفي الشروط التالية:

يوجد${\displaystyle r}$و${\displaystyle b}$بحيث${\displaystyle n>b}$يشير إلى

$${\displaystyle {\big \|}D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$$

للجميع${\displaystyle \left(f,h_{1},\dots ,h_{k}\right)\in U\times F\times \cdots \times F}$.

يقول المثال الأساسي إنه على مشعب أملس مضغوط، يكون المؤثر التفاضلي الجزئي غير الخطي (ربما بين مقاطع من حزم المتجهات فوق المشعب) عبارة عن خريطة ملساء مروضة؛ في هذه الحالة،${\displaystyle r}$يمكن اعتبار ذلك بمثابة أمر من المشغل.