نظريات تضمين ناش

تنص نظريات تضمين ناش (أو نظريات التضمين)، نسبةً إلى جون فوربس ناش الابن، على إمكانية تضمين أي فضاء ريماني بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي . ويعني التضمين متساوي القياس الحفاظ على طول كل مسار . فعلى سبيل المثال، يؤدي ثني صفحة من الورق دون شدها أو تمزيقها إلى تضمينها بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، لأن المنحنيات المرسومة على الصفحة تحتفظ بنفس طول القوس بغض النظر عن ثني الصفحة.

تُعنى النظرية الأولى بالتضمينات القابلة للتفاضل باستمرار ( C1 ^{) ،} بينما تُعنى الثانية بالتضمينات التحليلية أو الملساء من الفئة Ck ، حيث 3 ≤ k ≤ ∞ . تختلف هاتان النظريتان اختلافًا كبيرًا. فالنظرية الأولى لها برهان بسيط للغاية، لكنها تُفضي إلى بعض الاستنتاجات غير البديهية، في حين أن النظرية الثانية لها برهان تقني وغير بديهي، لكنها تُفضي إلى نتيجة أقل إثارة للدهشة.

نُشرت نظرية C1 عام 1954، ونظرية Ck عام ^1956. تناول ناش نظرية التحليل الحقيقي لأول مرة عام 1966؛ وقد بسّط غرين وجاكوبويتز ⁽ 1971) حجته بشكل كبير . (أثبت إيلي كارتان وموريس جانيه نسخة محلية من هذه النتيجة في عشرينيات القرن العشرين). في حالة التحليل الحقيقي، يمكن استبدال عوامل التنعيم (انظر أدناه) في حجة دالة ناش العكسية بتقديرات كوشي. تم لاحقًا تعميم برهان ناش لحالة Ck ليشمل مبدأ h ونظرية دالة ناش-موزر الضمنية . حصل غونتر (1989) على برهان أبسط لنظرية تضمين ناش الثانية ^، حيث اختزل مجموعة المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية إلى نظام إهليلجي، يمكن تطبيق نظرية الانكماش عليه. ^{[ 1 ]}

بالنظر إلى مشعب ريماني ذي m بُعد ( M , g ) ، فإن التضمين المتساوي القياس هو تضمين طوبولوجي قابل للتفاضل باستمرار f  : M → Rⁿ بحيث يكون سحب المقياس الإقليدي مساويًا لـ g. من الناحية التحليلية، يمكن النظر إلى هذا (بالنسبة إلى مخطط إحداثيات أملس x) على أنه نظام من 1/2 m ( m + 1 ) من المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى لـ ⁿ من الدوال المجهولة ( ذات القيم الحقيقية):

${\displaystyle g_{ij}(x)=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{j}}}.}$

إذا كان n أقل من ½ m ( m + 1) ، فإن عدد المعادلات يفوق عدد المجاهيل. من هذا المنطلق، يُعدّ وجود التضمينات المتساوية القياس، كما هو موضح في النظرية التالية، أمرًا مثيرًا للدهشة .

نظرية ناش-كويبر. ^{[ 2 ]} ليكن ( M , g ) مشعبًا ريمانيًا ذا m بُعد ^، وليكن f  : M → Rⁿ غمرًا (أو تضمينًا ) أملسًا قصيرًا في الفضاء الإقليدي Rⁿ ^، حيث n ≥ m + 1. لا يُشترط أن يكون هذا التطبيق متساوي القياس. عندئذٍ، توجد متتالية من الغمرات (أو التضمينات) المتساوية القياس والقابلة للتفاضل باستمرار M → Rⁿ ^لـ g، والتي تتقارب بانتظام إلى f .

أُثبتت النظرية في الأصل بواسطة جون ناش بافتراض أقوى هو n ≥ m + 2. وقد عدّل نيكولاس كويبر طريقته للحصول على النظرية المذكورة أعلاه. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تُعتبر التضمينات المتساوية القياس الناتجة عن نظرية ناش-كويبر في كثير من الأحيان غير بديهية وشاذة. ^{[ 5 ]} وغالبًا ما تفشل في أن تكون قابلة للتفاضل بسلاسة. على سبيل المثال، تنص نظرية ديفيد هيلبرت الشهيرة على أنه لا يمكن غمر المستوى الزائدي بسلاسة متساوية القياس في R³ . ولا يمكن غمر أي مشعب أينشتاين ذي انحناء قياسي سالب بسلاسة متساوية القياس كسطح فائق، ^{[ 6 ]} بل إن نظرية ^شينغ -شين تشيرن وكويبر تنص على أنه لا يمكن غمر أي مشعب مغلق ^ذي m بُعد ذي انحناء مقطعي غير موجب بسلاسة ^{متساوية القياس في} R²m⁻¹ . ^{[ 7 ]} علاوة على ذلك، تُظهر بعض التضمينات المتساوية القياس السلسة ظواهر صلابة تُنتهك بسبب الاختيار غير المقيد إلى حد كبير للدالة ^f في نظرية ناش-كويبر. على سبيل المثال، يجب أن تكون صورة أي غمر سطحي متساوي القياس أملس للكرة المستديرة هي نفسها كرة مستديرة. ^{[ 8 ]} في المقابل، تضمن نظرية ناش-كويبر وجود غمرات سطحية متساوية القياس قابلة للتفاضل باستمرار للكرة المستديرة، والتي تكون قريبة بشكل تعسفي من (على سبيل المثال) تضمين طوبولوجي للكرة على شكل قطع ناقص صغير .

يمكن تضمين أي سطح ثنائي الأبعاد مغلق وموجه بسلاسة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ . ويمكن تغيير مقياس أي تضمين من هذا القبيل بثابت صغير كيفيًا ليصبح قصيرًا، بالنسبة لأي مقياس ريماني مُعطى على السطح. ويترتب على نظرية ناش-كويبر وجود تضمينات متساوية القياس قابلة للتفاضل باستمرار لأي سطح ريماني من هذا القبيل، حيث يكون نصف قطر الكرة المحيطة صغيرًا كيفيًا. في المقابل، لا يمكن تضمين أي سطح مغلق ذي انحناء سالب بشكل متساوي القياس بسلاسة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ . ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، بالنسبة لأي تضمين متساوي القياس سلس (أو حتى من الفئة ^C² ) لسطح ريماني مغلق كيفيًا، يوجد حد أدنى كمي (موجب) لنصف قطر الكرة المحيطة بدلالة مساحة السطح وانحناء المقياس المُضمن. ^{[ 10 ]}

في الأبعاد الأعلى، وكما يتضح من نظرية ويتني للتضمين ، تُبين نظرية ناش-كويبر أن أي مشعب ريماني مغلق ذي بُعد m يقبل تضمينًا متساوي القياس قابلًا للتفاضل باستمرار في جوار صغير كيفيًا في فضاء إقليدي ذي بُعد 2m . مع أن نظرية ويتني تنطبق أيضًا على المشعبات غير المتراصة، إلا ^أنه لا يمكن ببساطة تغيير مقياس هذه التضمينات بثابت صغير لتصبح قصيرة. وقد أثبت ناش أن كل مشعب ريماني ذي بُعد m يقبل تضمينًا متساوي القياس قابلًا للتفاضل باستمرار في R²m ^{+ 1} . ^{[ 11 ]}

في وقت عمل ناش، اعتُبرت نظريته ضربًا من ضروب الفضول الرياضي. ولم تجد النتيجة نفسها تطبيقات واسعة. مع ذلك، قام كاميلو دي ليليس ولازلو سيكيليهيدي بتكييف طريقة برهان ناش لبناء حلول منخفضة الانتظام، ذات طاقة حركية محددة ، لمعادلات أويلر من الدراسة الرياضية لميكانيكا الموائع . من الناحية التحليلية، تتشابه معادلات أويلر شكليًا مع معادلات التضمين المتساوي القياس، عبر اللاخطية التربيعية في المشتقات الأولى للدالة المجهولة. ^{[ 12 ]} استخلص ميخائيل غروموف أفكار برهان ناش إلى مبدأ التكامل المحدب ، مع مبدأ h المقابل . ^{[ 13 ]} وقد طبق ستيفان مولر وفلاديمير شفيراك هذا على مسألة هيلبرت التاسعة عشرة ، حيث قاما ببناء مصغرات التفاضل الأدنى في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 14 ]}

ينص البيان التقني الوارد في ورقة ناش الأصلية على ما يلي: إذا كانت M مشعبًا ريمانيًا معطى ذو m بُعد (تحليليًا أو من الفئة C  k  ، حيث 3 ≤ k ≤ ∞ )، فإنه يوجد عدد n (حيث n ≤ m ( 3m + 11)/2 إذا كانت M مشعبًا متراصًا، و n ≤ m ( m + 1)( 3m + 11)/2 إذا كانت M مشعبًا غير متراص) وتضمين متساوي القياس f  : M → R n (أيضًا تحليليًا أو من الفئة C k ). [ 15 ] أي أن f هو تضمين لمشعبات C k ، ولكل نقطة p من M ، فإن المشتقة df  p هي دالة خطية من الفضاء المماسي T p M إلى R n تتوافق مع الجداء الداخلي المعطى على T p M والجداء النقطي القياسي لـ R n بالمعنى التالي:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}$

لجميع المتجهات u و v في T _p M. عندما يكون n أكبر من 1 / 2 m ( m + 1) ، فإن هذا نظام غير محدد من المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs).

تُعدّ نظرية تضمين ناش نظرية شاملة بمعنى أن الفضاء المتشعب بأكمله مُضمّن في Rⁿ . ^أما نظرية التضمين المحلية فهي أبسط بكثير، ويمكن إثباتها باستخدام نظرية الدالة الضمنية في حساب التفاضل والتكامل المتقدم في جوار إحداثي للفضاء المتشعب. يعتمد برهان نظرية التضمين الشاملة على نظرية الدالة الضمنية لناش للتضمينات المتساوية القياس. وقد عُممت هذه النظرية من قِبل عدد من المؤلفين الآخرين لتشمل سياقات مجردة، حيث تُعرف باسم نظرية ناش-موسر . الفكرة الأساسية في برهان نظرية الدالة الضمنية لناش هي استخدام طريقة نيوتن لبناء الحلول. تفشل طريقة نيوتن القياسية في التقارب عند تطبيقها على النظام؛ يستخدم ناش عوامل التنعيم المُعرّفة بالالتفاف لجعل تكرار نيوتن يتقارب: هذه هي طريقة نيوتن مع التكييف اللاحق. إن حقيقة أن هذه التقنية تُقدّم حلاً تُعدّ في حد ذاتها نظرية وجود، ولها أهمية مستقلة. وفي سياقات أخرى، تم إثبات تقارب طريقة نيوتن القياسية في وقت سابق بواسطة ليونيد كانتوروفيتش .

تمتد مشكلة التضمين المتساوي القياس بشكل طبيعي إلى المقاييس شبه الريمانية ، أي المقاييس غير المنحلة ذات المؤشر العشوائي. في عام 1970، أثبت كل من غرين ^{[ 16 ]} وكلارك ^{[ 17 ]} بشكل مستقل إمكانية تعميم نظرية ناش للتضمين لتشمل المقاييس غير المحددة - وحتى المنحلة منها - عن طريق اختزال المشكلة جبريًا إلى الحالة الريمانية.

على وجه التحديد، أي سطح أملس${\displaystyle n}$-متعدد المنافذ${\displaystyle M^{n}}$مزود بمقياس شبه ريماني${\displaystyle g}$يمكن تضمينها بشكل متساوي القياس في فضاء شبه إقليدي${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$بالنسبة لحجم كبير بما فيه الكفاية${\displaystyle N}$والفهرس${\displaystyle \nu }$وقد حسّن كلا المؤلفين أيضًا قيمة ناش لـ${\displaystyle N}$كدالة لـ${\displaystyle n}$: استخدم غرين نظرية الدالة الضمنية كما صاغها شوارتز (1960) ^{[ 18 ]} ، بينما استخدم كلارك أسلوبًا مستوحى من كويبر ( كويبر 1955 أ ، كويبر 1955 ب ).

تنشأ مشكلة أكثر تقييدًا عندما يكون مؤشر الفضاء شبه الإقليدي المحيط${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$يتم تثبيته مساوياً لمؤشر المقياس${\displaystyle g}$وهذا الأمر ذو أهمية خاصة بالنسبة للتوقيع اللورنتزي (حالة${\displaystyle \nu =1}$حيث يرتبط وجود التضمين بشروط السببية - وهي خصائص تظل ثابتة تحت التحويلات المطابقة. وقد قدم مولر وسانشيز (2011) ^{[ 19 ]} حلاً كاملاً لهذه المشكلة:

(1) معيار التضمين متساوي القياس: دالة لورنتزية${\displaystyle C^{3}}$-متعدد المنافذ${\displaystyle (M,g)}$يمكن تضمينها بشكل متساوي القياس في فضاء لورنتز-مينكوفسكي${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}:=\mathbb {R} _{1}^{N}}$إذا وفقط إذا كانت تقبل دالة زمنية حادة. هذه دالة سلسة${\displaystyle \tau }$الذي تدرجه${\displaystyle \nabla \tau }$يرضي:

${\displaystyle g(\nabla \tau ,\nabla \tau )\leq -1}$

• الضرورة: إذا وُجد مثل هذا التضمين، فإن تقييد إحداثيات الزمن الطبيعية لـ${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$ل${\displaystyle M}$ينتج عنه دالة زمنية حادة.
• الكفاية: يتم إثبات ذلك بتطبيق تضمين ناش على مقياس ريماني تم إنشاؤه عن طريق عكس إشارة المقياس اللورنتزي في اتجاه${\displaystyle \nabla \tau }$ضمن التحلل المتعامد${\displaystyle TM=\langle \nabla \tau \rangle \oplus \nabla \tau ^{\perp }}$.

الملاحظات:

• وجود${\displaystyle \tau }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle g}$قابل للتوجيه الزمني .
• ${\displaystyle \tau }$يعمل كدالة زمنية للزمكان الذي تم الحصول عليه من خلال توجيه الزمن${\displaystyle (M,g)}$لهذا السبب.${\displaystyle \nabla \tau }$هو موجه نحو الماضي. وبالتالي، فإن هذا الزمكان سببي بشكل مستقر .
• مع أن ليس كل الزمكانات السببية المستقرة تقبل دالة زمنية حادة، إلا أنها جميعًا تقبل مقياسًا توافقيًا يقبلها. وبالتالي، فإن جميع الزمكانات السببية المستقرة قابلة للتضمين التوافقي في${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$للكبير${\displaystyle N}$.

(2) القطع الزائد العالمي: أي زمكان قطعي عالمي يقبل دالة زمنية حادة.

تحققت هذه النتيجة من خلال تحسين التقنيات التي قدمها برنال وسانشيز (2005) لبناء دوال كوشي الزمنية. صُممت هذه الدوال في الأصل لإثبات وجود انقسامات برنال-سانشيز . قام مولر وسانشيز بتوسيع نطاقها لإثبات وجود دوال كوشي الزمنية الحادة، التي تضمن في آنٍ واحد كلاً من الانقسام والتضمين المتساوي القياس.

الملاحظات:

• الخصائص المطابقة. جميع المقاييس المطابقة لمقياس زائدي عالمي تظل زائدية عالمية، وبالتالي يمكن تضمينها بشكل متساوي القياس في بعض${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$تُحدد هذه الخاصية في الواقع خاصية القطع الزائد العالمي: أي فضاء-زمن سببي مستقر ولكنه غير قطعي عالميًا يقبل مقياسًا توافقيًا لا يمكن تضمينه بشكل متساوي القياس في أي${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$.
• ملاحظة تاريخية: على الرغم من أن كلارك (1970) ادعى في الأصل النتيجة (2)، فقد أوضح مولر وسانشيز (2011) في ملحقهما أن أسلوب كلارك ينطوي على ثغرة. ويتوافق نهجهما، المختلف جوهريًا، مع حل "المشكلة الشعبية" العريقة المتعلقة بتقسيم جيروش .

• نظرية التمثيل – برهان على أن كل بنية ذات خصائص معينة متماثلة مع بنية أخرى 
• نظرية ويتني للتضمين – نظرية في الطوبولوجيا التفاضلية 
• نظرية ويتني للغمر – نظرية في الطوبولوجيا التفاضلية 
• نظرية تاكنز – الشروط التي يمكن في ظلها إعادة بناء نظام فوضوي عن طريق الملاحظة 
• تقليل الأبعاد غير الخطي – إسقاط البيانات على مشعبات ذات أبعاد أقل 
• الفضاء الكوني

• برنال، أ.ن.؛ سانشيز، م. (2005). "سلاسة الدوال الزمنية وتقسيم المقياس للفضاءات الزمكانية الزائدية العالمية". مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 257 : 43-50 . arXiv : gr-qc/0401112 . doi : 10.1007/s00220-005-1346-1 .
• كلارك، سي جيه إس (1970). "حول التضمين المتساوي القياس العالمي للمشعبات شبه الريمانية". وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ . 314 : 417-428 . MR 0259813 . 
• غرين، ر. إي. (1970). التضمينات المتساوية القياس للمشعبات الريمانية وشبه الريمانية . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم 97. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية.
• مولر، أو.؛ ​​سانشيز، م. (2011). "المشعبات اللورنتزية القابلة للتضمين المتساوي القياس في L ^N ". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 363 : 5367-5379 .
• شوارتز، جيه تي (1960). "حول نظرية ناش الوظيفية الضمنية". اتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 13 : 509-530 .