نظرية الدالة العكسية

لا تُذكر نظرية الدالة العكسية عادةً بشكل منفصل لمتغير واحد، لأن هناك نتيجة أقوى صحيحة: إذا كانت دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي واحد لها مشتقة غير صفرية على فترة ما، فإن للدالة دالة عكسية على امتداد تلك الفترة. بتعبير أدق، لنفترض أن${\displaystyle f}$هي دالة قابلة للتفاضل ذات قيم حقيقية على فترة مفتوحة${\displaystyle I}$، و${\displaystyle f'}$لا يساوي الصفر في جميع أنحاء${\displaystyle I}$ثم صورة الفترة${\displaystyle I}$وهي فترة أخرى${\displaystyle J}$،${\displaystyle f:I\to J}$هي دالة تقابل ، ولها دالة عكسية قابلة للتفاضل${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$هذه النظرية صحيحة لأن عدم انعدام المشتقة يعني أنها يجب أن تكون ذات إشارة واحدة فقط (موجبة أو سالبة)، وبالتالي يجب أن تكون الدالة رتيبة تمامًا ، ومن ثم أحادية. ^{[ 1 ]}

تُعدّ نظرية الدالة العكسية عبارة محلية أضعف . وتنص هذه النظرية، باختصار، على أنه إذا كانت دالة حقيقية القيمة${\displaystyle f}$للمتغير الحقيقي الواحد مشتقة متصلة على فترة مفتوحة${\displaystyle I}$إذن، تكون الدالة قابلة للعكس محليًا بالقرب من كل نقطة تكون فيها مشتقتها غير صفرية. وبشكل أدق، حول أي نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle I}$أين${\displaystyle f'(x)\neq 0}$، هناك فاصل زمني أصغر${\displaystyle I'}$الوظيفة${\displaystyle f}$هي علاقة تقابلية وصورة الفترة${\displaystyle I'}$تحت${\displaystyle f}$وهي أيضًا فترة مفتوحة${\displaystyle J'}$. هكذا${\displaystyle f}$يرسم الخريطة الفاصل الزمني${\displaystyle I'}$بشكل تقابلي على الفترة${\displaystyle J'}$تتبع نظرية الدالة العكسية بهذا الشكل مباشرةً من النتيجة العامة الأقوى، وذلك بتقييد الفترة.${\displaystyle I}$إلى فاصل زمني أصغر${\displaystyle I'}$حول${\displaystyle x}$والتي تكون مشتقتها غير صفرية في جميع أجزائها. ^{[ 2 ]}

متى${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل باستمرار، الدالة العكسية${\displaystyle f^{-1}:J'\to I'}$كما أنها قابلة للتفاضل باستمرار، ومشتقتها عند أي نقطة${\displaystyle y}$في الفترة${\displaystyle J'}$يتم تحديدها بواسطة قاعدة الدالة العكسية : $${\displaystyle {\frac {d}{dy}}f^{-1}(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}.}$$

إن كون المشتقة غير صفرية عند نقطة ما هو شرط كافٍ لوجود دالة عكسية محلية للدالة، ولكنه ليس شرطًا ضروريًا.${\displaystyle f}$قد يكون حقنيًا بالقرب من نقطة${\displaystyle a}$بينما${\displaystyle f'(a)=0}$مثال على ذلك${\displaystyle f(x)=(xa)^{3}}$لكن بالنسبة لمثل هذه الدالة، لا يمكن أن تكون الدالة العكسية قابلة للتفاضل عند${\displaystyle b=f(a)}$، لأنه إذا${\displaystyle f^{-1}}$كانت قابلة للتفاضل عند${\displaystyle b}$ثم، وفقًا لقاعدة السلسلة،${\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)}$وهذا يعني${\displaystyle f'(a)\neq 0}$(يختلف الوضع بالنسبة للدوال التحليلية؛ انظر نظرية الدالة العكسية التحليلية أدناه.)

بالنسبة للدوال التي تحتوي على أكثر من متغير واحد، تنص النظرية على أنه إذا${\displaystyle f}$دالة قابلة للتفاضل باستمرار من مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle A}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$والمشتق​${\displaystyle f'(a)}$إذا كانت الدالة قابلة للعكس عند النقطة a (أي أن محدد مصفوفة جاكوبي للدالة f عند النقطة a لا يساوي الصفر)، فإنه توجد جوارات مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle a}$في${\displaystyle A}$و${\displaystyle V}$ل${\displaystyle b=f(a)}$بحيث${\displaystyle f(U)=V}$و${\displaystyle f:U\to V}$هي دالة تقابلية. ^{[ 3 ]} الكتابة${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$وهذا يعني أن نظام المعادلات n${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$لديها حل فريد لـ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$من ناحية${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$متى${\displaystyle x\in U,y\in V}$لاحظ أنه على عكس حالة المتغير الواحد، فإن النظرية لا تنص على${\displaystyle f}$تكون تقابلية على الصورة حيث${\displaystyle f'}$هي قابلة للعكس ولكنها تقابلية محليًا حيث${\displaystyle f'}$قابلة للعكس.

علاوة على ذلك، تنص النظرية على أن الدالة العكسية${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$قابلة للتفاضل باستمرار، ومشتقتها عند${\displaystyle b=f(a)}$هي الخريطة العكسية لـ${\displaystyle f'(a)}$؛ أي،

${\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.}$

بمعنى آخر، إذا${\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)}$تمثل مصفوفات جاكوبيان${\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}$، هذا يعنى:

${\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.}$

يكمن الجزء الصعب في هذه الصيغة في وجود وقابلية التفاضل لـ${\displaystyle f^{-1}}$وبافتراض ذلك، فإن صيغة المشتقة العكسية تتبع من قاعدة السلسلة المطبقة على${\displaystyle f^{-1}\circ f=I}$. (بالفعل،${\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).}$بما أن الدالة العكسية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، فإن صيغة مشتقة الدالة العكسية تُظهر أنه إذا${\displaystyle f}$باستمرار${\displaystyle k}$إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل عدة مرات، ولها مشتقة قابلة للعكس عند النقطة a ، فإن معكوسها يكون متصلاً أيضاً.${\displaystyle k}$قابلة للتفاضل مرات. هنا${\displaystyle k}$هو عدد صحيح موجب أو${\displaystyle \infty }$.

يوجد نوعان من نظرية الدالة العكسية. ^{[ 3 ]} بالنظر إلى دالة قابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$الأول هو

• المشتق${\displaystyle f'(a)}$هي شاملة (أي أن مصفوفة جاكوبي التي تمثلها لها رتبة${\displaystyle m}$) إذا وفقط إذا كانت هناك دالة قابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle g}$في حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle b=f(a)}$بحيث${\displaystyle f\circ g=I}$قريب${\displaystyle b}$،

والثاني هو

• المشتق${\displaystyle f'(a)}$تكون الدالة أحادية إذا وفقط إذا وُجدت دالة قابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle g}$في حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle b=f(a)}$بحيث${\displaystyle g\circ f=I}$قريب${\displaystyle a}$.

في الحالة الأولى (عندما${\displaystyle f'(a)}$(شاملة)، النقطة${\displaystyle b=f(a)}$يُطلق عليها القيمة العادية . بما أن${\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))}$الحالة الأولى تعادل قول${\displaystyle b=f(a)}$لا يتماشى مع صورة النقاط الحرجة${\displaystyle a}$النقطة الحرجة هي نقطة${\displaystyle a}$بحيث تكون نواة${\displaystyle f'(a)}$(غير صفري). العبارة في الحالة الأولى هي حالة خاصة من نظرية الغمر .

هذه الصيغ هي إعادة صياغة لنظرية الدوال العكسية. في الواقع، في الحالة الأولى عندما${\displaystyle f'(a)}$بما أن الدالة شاملة، يمكننا إيجاد تطبيق خطي (متباين).${\displaystyle T}$بحيث${\displaystyle f'(a)\circ T=I}$. يُعرِّف${\displaystyle h(x)=a+Tx}$بحيث يكون لدينا:

${\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.}$

وبالتالي، وفقًا لنظرية الدالة العكسية،${\displaystyle f\circ h}$له معكوس بالقرب${\displaystyle 0}$؛ أي،${\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I}$قريب${\displaystyle b}$الحالة الثانية (${\displaystyle f'(a)}$(هو حقني) يُنظر إليه بطريقة مماثلة.

نريد إثبات ما يلي: ليكن${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$كن مجموعة مفتوحة مع${\displaystyle x_{0}\in D,f:D\to \mathbb {R} }$دالة قابلة للتفاضل باستمرار معرفة على${\displaystyle D}$ولنفترض أن${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$إذن توجد فترة مفتوحة${\displaystyle I}$مع${\displaystyle x_{0}\in I}$بحيث${\displaystyle f}$خرائط${\displaystyle I}$بشكل تقابلي على الفترة المفتوحة${\displaystyle J=f(I)}$، بحيث تكون الدالة العكسية${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$قابلة للتفاضل باستمرار، ولأي${\displaystyle y\in J}$، لو${\displaystyle x\in I}$بحيث${\displaystyle f(x)=y}$، ثم${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\dfrac {1}{f'(x)}}}$.

يمكننا، دون الإخلال بعمومية النتائج، أن نفترض أن${\displaystyle f'(x_{0})>0}$. بشرط${\displaystyle D}$هي مجموعة مفتوحة و${\displaystyle f'}$متصل عند${\displaystyle x_{0}}$، يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)\subseteq D}$و$${\displaystyle |f'(x)-f'(x_{0})|<{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

بخاصة،$${\displaystyle f'(x)>{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}>0\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

هذا يدل على أن${\displaystyle f}$يزداد بشكل صارم للجميع${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$. يترك${\displaystyle \delta >0}$أن يكون على هذا النحو${\displaystyle \delta <r}$. ثم${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]\subseteq (x_{0}-r,x_{0}+r)}$باستخدام نظرية القيمة المتوسطة، نجد أن${\displaystyle f}$يرسم الخريطة الفاصل الزمني${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]}$بشكل ثنائي على${\displaystyle [f(x-\delta ),f(x+\delta )]}$. يُرمز إليه بـ${\displaystyle I=(x-\delta ,x+\delta )}$و${\displaystyle J=(f(x-\delta ),f(x+\delta ))}$. ثم${\displaystyle f:I\to J}$هي دالة تقابل ودالة عكسية${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$موجود. حقيقة أن${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$إن قابلية التفاضل تستنتج من قابلية تفاضل${\displaystyle f}$وبالتحديد، تترتب النتيجة على حقيقة أنه إذا${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$هي دالة رتيبة تمامًا ومتصلة وقابلة للتفاضل عند${\displaystyle x_{0}\in I}$مع${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$، ثم${\displaystyle f^{-1}:f(I)\to \mathbb {R} }$قابلة للتفاضل مع${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\dfrac {1}{f'(x_{0})}}}$، أين${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$(نتيجة قياسية في التحليل). وبهذا يكتمل البرهان.

لإثبات الوجود، يمكن افتراض بعد تحويل خطي أن${\displaystyle f(0)=0}$و${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$، لهذا السبب${\displaystyle a=b=0}$.

بحسب نظرية القيمة المتوسطة للدوال المتجهة ، بالنسبة للدالة القابلة للتفاضل${\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$،${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$. جلسة${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$وبناءً على ذلك

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

اختر الآن${\displaystyle \delta >0}$لهذا السبب.${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$ل${\displaystyle \|x\|<\delta }$لنفترض أن${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$وحدد${\displaystyle x_{n}}$استقرائيًا بواسطة${\displaystyle x_{0}=0}$و${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$تُظهر الافتراضات أنه إذا${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$ثم

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

بخاصة${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$يشير إلى${\displaystyle x=x^{\prime }}$في المخطط الاستقرائي${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$ و${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$. هكذا${\displaystyle (x_{n})}$هي متتالية كوشي تميل إلى${\displaystyle x}$. عن طريق البناء${\displaystyle f(x)=y}$حسب الحاجة.

للتأكد من ذلك${\displaystyle g=f^{-1}}$إذا كان C ¹ ، فاكتب${\displaystyle g(y+k)=x+h}$لهذا السبب. ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$بناءً على المتباينات المذكورة أعلاه،${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$لهذا السبب.${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$، ثم${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$استخدام المتسلسلات الهندسية لـ${\displaystyle B=I-A}$وبناءً على ذلك${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$لكن بعد ذلك

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

يميل إلى الصفر عندما${\displaystyle k}$و${\displaystyle h}$يميل إلى الصفر، مما يثبت أن${\displaystyle g}$هو C ¹ مع${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$.

البرهان أعلاه مُقدَّم لفضاء ذي أبعاد منتهية، ولكنه ينطبق بنفس القدر على فضاءات باناخ . إذا كانت دالة قابلة للعكس${\displaystyle f}$هو C ^k مع${\displaystyle k>1}$إذن، يكون معكوسها كذلك. ويستنتج هذا بالاستقراء باستخدام حقيقة أن الخريطة${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$على المشغلين C ^k لأي${\displaystyle k}$(في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، تُعد هذه حقيقة أساسية لأن معكوس المصفوفة يُعطى بقسمة المصفوفة المرافقة على محددها ). ^{[ 3 ] [ 9 ]} يمكن إيجاد طريقة البرهان هنا في كتب هنري كارتان ، وجان ديودونيه ، وسيرج لانغ ، وروجر غودمان ، ولارس هورماندر .

إليكم برهانًا قائمًا على نظرية الانكماش . وبالتحديد، استنادًا إلى T. Tao، ^{[ 10 ]} فإنه يستخدم النتيجة التالية لنظرية الانكماش.

باختصار، تنصّ اللمة على أن أي تغيير طفيف في دالة التطابق بواسطة دالة انكماش يكون أحاديًا ويحافظ على شكل الكرة بمعنى ما. بافتراض صحة اللمة مؤقتًا، سنبرهن على النظرية أولًا. وكما في البرهان السابق، يكفي إثبات الحالة الخاصة عندما${\displaystyle a=0,b=f(a)=0}$و${\displaystyle f'(0)=I}$. يترك${\displaystyle g=f-I}$. متباينة القيمة المتوسطة المطبقة على${\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}$يقول:

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.}$

منذ${\displaystyle g'(0)=I-I=0}$و${\displaystyle g'}$إذا كانت متصلة، فيمكننا إيجاد${\displaystyle r>0}$بحيث

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|}$

للجميع${\displaystyle x,y}$في${\displaystyle B(0,r)}$ثم تقول اللمة المبكرة أن${\displaystyle f=g+I}$حقني على${\displaystyle B(0,r)}$و${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$. ثم

${\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)}$

هي دالة تقابلية، وبالتالي لها دالة عكسية. سنعرض فيما يلي الدالة العكسية.${\displaystyle f^{-1}}$قابلة للتفاضل باستمرار (هذا الجزء من الحجة هو نفسه الموجود في البرهان السابق). هذه المرة، ليكن${\displaystyle g=f^{-1}}$يرمز إلى معكوس${\displaystyle f}$و${\displaystyle A=f'(x)}$. ل${\displaystyle x=g(y)}$نكتب${\displaystyle g(y+k)=x+h}$أو${\displaystyle y+k=f(x+h)}$الآن، وبحسب التقديرات الأولية، لدينا

${\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2}$

وهكذا${\displaystyle |h|/2\leq |k|}$. كتابة${\displaystyle \|\cdot \|}$بالنسبة لمعيار المشغل،

${\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.}$

مثل${\displaystyle k\to 0}$لدينا${\displaystyle h\to 0}$و${\displaystyle |h|/|k|}$محدودة. لذا،${\displaystyle g}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle y}$مع المشتق${\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}}$. أيضًا،${\displaystyle g'}$هو نفسه التركيب${\displaystyle \iota \circ f'\circ g}$أين${\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}}$؛ لذا${\displaystyle g'}$متصل.

يبقى أن نوضح اللمة. أولاً، لدينا:

${\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,}$

وهذا يعني

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.}$

وهذا يثبت الجزء الأول. بعد ذلك، سنوضح${\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)}$الفكرة هي ملاحظة أن هذا يعادل، بالنظر إلى نقطة معينة${\displaystyle y}$في${\displaystyle B(0,(1-c)r)}$إيجاد نقطة ثابتة على الخريطة

${\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)}$

أين${\displaystyle 0<r'<r}$بحيث${\displaystyle |y|\leq (1-c)r'}$والشريط يعني كرة مغلقة. لإيجاد نقطة ثابتة، نستخدم نظرية الانكماش ونتحقق من ذلك.${\displaystyle F}$إن تعريف دالة الانكماش الصارمة أمرٌ واضح ومباشر. وأخيرًا، لدينا:${\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$منذ

${\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square }$

كما قد يكون واضحاً، فإن هذا البرهان لا يختلف اختلافاً جوهرياً عن البرهان السابق، حيث أن برهان نظرية الانكماش يتم عن طريق التقريب المتتالي.

يمكن استخدام نظرية الدالة العكسية لحل نظام من المعادلات

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}}$

أي، التعبير عن${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$كوظائف لـ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$بشرط أن تكون مصفوفة جاكوبي قابلة للعكس. تسمح نظرية الدالة الضمنية بحل نظام معادلات أكثر عمومية:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}}$

ل${\displaystyle y}$من ناحية${\displaystyle x}$على الرغم من أن هذه النظرية أكثر عمومية، إلا أنها في الواقع نتيجة لنظرية الدالة العكسية. أولاً، الصيغة الدقيقة لنظرية الدالة الضمنية هي كما يلي: ^{[ 11 ]}

• بالنظر إلى خريطة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$، لو${\displaystyle f(a,b)=0}$،${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل باستمرار في جوار من${\displaystyle (a,b)}$ومشتق من${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$في${\displaystyle b}$إذا كانت الدالة قابلة للعكس، فإنه يوجد تطبيق قابل للتفاضل${\displaystyle g:U\to V}$بالنسبة لبعض الأحياء${\displaystyle U,V}$ل${\displaystyle a,b}$بحيث${\displaystyle f(x,g(x))=0}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V}$، ثم${\displaystyle y=g(x)}$؛ أي،${\displaystyle g(x)}$إنه حل فريد.

لتوضيح ذلك، انظر إلى الخريطة${\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))}$بحسب نظرية الدالة العكسية،${\displaystyle F:U\times V\to W}$له العكس${\displaystyle G}$بالنسبة لبعض الأحياء${\displaystyle U,V,W}$ثم لدينا:

${\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))),}$

يعني${\displaystyle x=G_{1}(x,y)}$و${\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).}$هكذا${\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)}$يمتلك الخاصية المطلوبة.${\displaystyle \square }$

في الهندسة التفاضلية، تُستخدم نظرية الدالة العكسية لإثبات أن الصورة العكسية لقيمة منتظمة تحت تطبيق سلس هي متعددة الشعب. ^{[ 12 ]} في الواقع، ليكن${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}}$أن تكون خريطة سلسة من مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(بما أن النتيجة محلية، فلا يوجد فقدان للعمومية عند النظر في مثل هذه الخريطة). حدد نقطة${\displaystyle a}$في${\displaystyle f^{-1}(b)}$ثم، عن طريق تبديل الإحداثيات على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، افترض المصفوفة${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}$لديه رتبة${\displaystyle r}$ثم الخريطة${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})}$بحيث${\displaystyle F'(a)}$لديه رتبة${\displaystyle n}$وبالتالي، باستخدام نظرية الدالة العكسية، نجد الدالة العكسية الملساء${\displaystyle G}$ل${\displaystyle F}$محدد في حي${\displaystyle V\times W}$ل${\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}$ثم لدينا

${\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),}$

وهذا يعني

${\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).}$

أي بعد تغيير الإحداثيات بواسطة${\displaystyle G}$،${\displaystyle f}$هو إسقاط إحداثي (وهذه الحقيقة تُعرف باسم نظرية الغمر ). علاوة على ذلك، بما أن${\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}$هي دالة تقابلية، الخريطة

${\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})}$

هي دالة تقابلية مع معكوسها الأملس. أي بمعنى آخر،${\displaystyle g}$يُعطي تمثيلاً محلياً لـ${\displaystyle f^{-1}(b)}$حول${\displaystyle a}$. لذلك،${\displaystyle f^{-1}(b)}$هو متعدد الشعب.${\displaystyle \square }$(لاحظ أن البرهان مشابه تمامًا لبرهان نظرية الدالة الضمنية، وفي الواقع، يمكن استخدام نظرية الدالة الضمنية بدلاً من ذلك أيضًا.)

وبشكل أعم، تُظهر النظرية أنه إذا كانت الخريطة سلسة${\displaystyle f:P\to E}$هو متعامد مع متعدد الشعب الفرعي${\displaystyle M\subset E}$ثم الصورة السابقة${\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}$هو متعدد الشعب الفرعي. ^{[ 13 ]}

ضع في اعتبارك فضاءات باناخ ${\displaystyle X\subset C^{1}([0,1])}$من الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل باستمرار على الفترة [0, 1] بحيث${\displaystyle f(0)=0}$، و${\displaystyle Y=C([0,1])}$تعريف الدوال المتصلة على الفترة [0، 1]. $${\displaystyle F:X\to Y,\qquad F(u)=u'+u^{2}.}$$ ثم​${\displaystyle F}$قابلة للتفاضل بشكل مستمر وفقًا لـ Fréchet ، و $${\displaystyle DF(u)h=h'+2uh.}$$ في${\displaystyle u=0}$، المشتق هو المؤثر${\displaystyle h\mapsto h'}$هذا تماثل من${\displaystyle X}$إلى​​${\displaystyle Y}$، مع العكس $${\displaystyle g\mapsto \left(t\mapsto \int _{0}^{t}g(s)\,ds\right).}$$ وبالتالي، فإن نظرية الدالة العكسية لفضاءات باناخ تعني أن${\displaystyle F}$يكون قابلاً للانعكاس محلياً بالقرب من${\displaystyle 0}$. على وجه الخصوص، لكل قيمة صغيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle g\in C([0,1])}$مسألة القيمة الابتدائية $${\displaystyle u'(t)+u(t)^{2}=g(t),\qquad u(0)=0,}$$ يتميز بحل صغير فريد من نوعه${\displaystyle u\in C^{1}([0,1])}$وهذا الحل يعتمد بشكل تفاضلي مستمر على${\displaystyle g}$⁠ .