القطع الزائد ذو التسع نقاط

في الهندسة الإقليدية مع المثلث △ ABC ، يعتبر القطع الزائد ذو النقاط التسع مثالاً على القطع المخروطي ذي النقاط التسع الذي وصفه عالم الرياضيات الأمريكي ماكسيم بوشيه في عام 1892. أما الدائرة الشهيرة ذات النقاط التسع فهي مثال منفصل على القطع المخروطي الذي وصفه بوشيه:

بفرض وجود مثلث △ ABC ونقطة P في مستواه، يمكن رسم قطع مخروطي يمر عبر النقاط التسع التالية:

منتصفات أضلاع المثلث ABC ،​

نقاط منتصف الخطوط الواصلة بين النقطة P والرؤوس، و

النقاط التي تقطع عندها هذه الخطوط المذكورة أضلاع المثلث.

يكون القطع المخروطي قطعًا ناقصًا إذا كانت النقطة P تقع داخل المثلث ABC أو في إحدى مناطق المستوى المفصولة عن الداخل بضلعين من المثلث؛ وإلا، يكون القطع المخروطي قطعًا زائدًا . ويشير بوشيه إلى أنه عندما تكون P هي مركز التعامد ، نحصل على دائرة النقاط التسع، وعندما تقع P على الدائرة المحيطة بالمثلث ABC ، يكون القطع المخروطي قطعًا زائدًا متساوي الأضلاع.

ابتكر إي إف ألين في عام 1941 منهجًا للقطع الزائد ذي النقاط التسع باستخدام الهندسة التحليلية للأعداد المركبة المنقسمة. ^{[ 1 ]} كتابة${\displaystyle z=a+bj}$، j ² = 1 ، يستخدم الحساب المركب المنفصل للتعبير عن القطع الزائد على النحو التالي

${\displaystyle zz^{*}=a^{2}.}$

يُستخدم كدائرة محيطة بالمثلث${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}.}$يترك${\displaystyle s=t_{1}+t_{2}+t_{3}.}$ثم يكون القطع المخروطي ذو النقاط التسع هو

${\displaystyle \left(z-{\frac {s}{2}}\right)\left(z^{*}-{\frac {s^{*}}{2}}\right)={\frac {a^{2}}{4}}.}$

جاء وصف ألين للقطع الزائد ذي النقاط التسع بعد تطوير الدائرة ذات النقاط التسع التي نشرها فرانك مورلي وابنه في عام 1933. وقد استعانوا بدائرة الوحدة في المستوى المركب كدائرة محيطة بالمثلث المعطى.

في عام 1953، وسّع ألين دراسته لتشمل القطع المخروطي التساعي للمثلث المحاط بأي قطع مخروطي مركزي. ^{[ 2 ]}

يرى ياغلوم أن القطع الزائد هو دائرة مينكوفسكية كما في مستوى مينكوفسكي . يُمكن الاطلاع على وصف ياغلوم لهذا النوع من الهندسة في فصل "الخاتمة" من كتاب يتناول في بدايته الهندسة الغاليلية. ^{[ 3 ]} يتناول ياغلوم مثلثًا مرسومًا داخل "دائرة محيطة" وهو في الواقع قطع زائد. في مستوى مينكوفسكي، يُوصف القطع الزائد ذو النقاط التسع أيضًا بأنه دائرة.

تقع منتصفات أضلاع المثلث △ ABC وقواعد ارتفاعاته (وكذلك منتصفات القطع المستقيمة الواصلة بين مركز تعامد المثلث △ABC ورؤوسه) على دائرة مينكوفسكية S نصف قطرها نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. ومن الطبيعي الإشارة إلى S على أنها دائرة النقاط الست (أو التسع) للمثلث المينكوفسكي △ABC؛ فإذا كان للمثلث △ ABC دائرة داخلية s ، فإن دائرة النقاط الست ( أو التسع ) S للمثلث △ ABC تلامس دائرته الداخلية s (الشكل 173).

في عام ٢٠٠٥، استخدم جيه. إيه. سكوت ^{[ ٤ ]} القطع الزائد الواحدي كقطع محيط بالمثلث ABC، ووجد شروطًا لاحتوائه على ستة مراكز للمثلث: مركز الثقل X(٢)، ومركز التعامد X(٤)، ونقطتي فيرما X(١٣) وX(١٤)، ونقطتي نابليون X(١٧) وX(١٨)، كما هو مُدرج في موسوعة مراكز المثلثات . يُعدّ قطع سكوت الزائدي قطع كيبرت الزائدي للمثلث.

يصف كريستوفر باث ^{[ 5 ]} قطعًا زائدًا مستطيلًا من تسع نقاط يمر عبر هذه المراكز: المركز الداخلي X(1)، والمراكز الخارجية الثلاثة ، والمركز X(2)، ونقطة دي لونجشامب X(20)، والنقاط الثلاث التي تم الحصول عليها عن طريق تمديد متوسطات المثلث إلى ضعف طولها السيفياني .

• ماكسيم بوشيه (1892) القطع المخروطي ذو التسع نقاط ، حوليات الرياضيات ، رابط من Jstor .
• مود أ. مينثورن (1912) ، "المخروط ذو النقاط التسع" ، رسالة ماجستير من جامعة كاليفورنيا، بيركلي ، رابط من هاثي تراست . وُلدت مود إيلين مينثورن عام 1883 في ليمارس، أيوا، وتُوفيت عام 1966 في سانت بطرسبرغ، فلوريدا. ابنة بينينغتون مينثورن (1856-1939)، (شقيق هولدا مينثورن هوفر، والدة الرئيس هربرت هوفر) وآنا ماري هيلد (1887-1940)، (شقيقة فرانكلين هيرمان هيلد، مؤسس بحيرة إلسينور، كاليفورنيا). كما درّست مود مينثورن في مدرسة فريسنو الثانوية في كاليفورنيا بين عامي 1935 و1940.
• بيورن فيلساجر (2004) هندسة مينكوفسكي، الجزء 1 ، هندسة مينكوفسكي، الجزء 2 ICME-10 كوبنهاغن.