طوبولوجيا نيسنيفيتش

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 31 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، تُعرف طوبولوجيا نيسنيفيتش ، والتي تُسمى أحيانًا الطوبولوجيا المُفككة تمامًا ، بأنها طوبولوجيا غروتينديك على فئة المخططات ، وقد استُخدمت في نظرية K الجبرية ، ونظرية التماثل A¹ ، ونظرية الدوافع . وقد قدّمها في الأصل يفسي نيسنيفيتش ، الذي استلهمها من نظرية الأديل .

تعريف

تماثل المخططاتو:Y→X{\displaystyle f:Y\to X}يُطلق على التشاكل اسم تشاكل نيسنيفيتش إذا كان تشاكل إيتالي بحيث أنه لكل نقطة x ∈ X (قد تكون غير مغلقة ) ، توجد نقطة y ∈ Y في الليف f − 1 ( x ) بحيث يكون التطبيق المستحث لحقول البقايا k ( x ) → k ( y ) تشاكلاً. وبصورة مكافئة، يجب أن يكون f مسطحًا ، وغير متفرع ، وذو عرض محدود محليًا، ولكل نقطة x ∈ X ، يجب أن توجد نقطة y في الليف f − 1 ( x ) بحيث يكون k ( x ) → k ( y ) تشاكلاً.

تُسمى عائلة التشكلات { u α  : X α → X } غطاءً نيسنيفيتش إذا كان كل تشكل في العائلة إيتاليًا، ولكل نقطة x ∈ X (قد تكون غير مغلقة) ، يوجد α ونقطة y ∈ X α بحيث يكون u α ( y ) = x ، ويكون التطبيق المستحث لحقول البقايا k ( x ) → k ( y ) تماثلًا. إذا كانت العائلة منتهية، فإن هذا يكافئ التشكل التالي:∐uα{\displaystyle \coprod u_{\alpha }}من∐Xα{\displaystyle \coprod X_{\alpha }}إلى X باعتباره تشاكل نيسنيفيتش. تُعدّ أغطية نيسنيفيتش عائلات التغطية لطوبولوجيا ما قبل الطوبولوجيا على فئة المخططات وتشاكلات المخططات. يُولّد هذا طوبولوجيا تُسمى طوبولوجيا نيسنيفيتش . يُرمز لفئة المخططات ذات طوبولوجيا نيسنيفيتش بالرمز Nis .

يحتوي موقع نيسنيفيتش الصغير لـ X على نفس الفئة الأساسية لموقع إيتال الصغير، أي أن الكائنات هي مخططات U ذات تشاكل إيتال ثابت U → X ، والتشاكلات هي تشاكلات المخططات المتوافقة مع الخرائط الثابتة إلى X. الأغطية المقبولة هي تشاكلات نيسنيفيتش.

يحتوي موقع نيسنيفيتش الكبير لـ X على مخططات فئات أساسية ذات خريطة ثابتة إلى X ومورفيزمات مورفيزمات مخططات X. أما الطوبولوجيا فهي تلك التي تحددها مورفيزمات نيسنيفيتش.

تتضمن طوبولوجيا نيسنيفيتش عدة متغيرات مُكيَّفة لدراسة الأصناف الشاذة. وتشمل الأغطية في هذه الطوبولوجيا حلولاً للشذوذات أو أشكالاً أضعف من الحلول.

  • تسمح بنية cdh بتشكيلات ثنائية نسبية مناسبة كأغطية.
  • تسمح بنية h بتعديلات دي يونغ كأغطية.
  • تسمح طوبولوجيا l ′ بالتشكلات كما في استنتاج نظرية التوحيد المحلي لغابر .

لا يمكن مقارنة الطوبولوجيا cdh و l ′ بالطوبولوجيا étale ، والطوبولوجيا h أدق من الطوبولوجيا étale.

الشروط المكافئة لتغطية نيسنيفيتش

بافتراض أن الفئة تتكون من مخططات سلسة على مخطط شبه مضغوط وشبه منفصل (qcqs)، فإن التعريف الأصلي لنيسنيفيتش [ 1 ] ، الملاحظة 3.39 ، والذي يكافئ التعريف أعلاه، لعائلة من التشكلات{صα:يوα→X}α∈أ{\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}من بين المخططات التي تهدف إلى تغطية قضية نيسنيفيتش، ما إذا كان

  1. كلصα{\displaystyle p_{\alpha }}هو إيتال؛ و
  2. لجميع الحقولك{\displaystyle k}، على مستوىك{\displaystyle k}النقاط، الناتج المشترك (في نظرية المجموعات)صك:∐αيوα(ك)→X(ك){\displaystyle p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)}من بين جميع التشكلات المغطاةصα{\displaystyle p_{\alpha }}هو شامل.

الشرط المكافئ التالي لأغطية نيسنيفيتش يعود إلى لوري : يتم توليد طوبولوجيا نيسنيفيتش بواسطة جميع العائلات المنتهية من التشكلات الإيتالية.{صα:يوα→X}α∈أ{\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}بحيث يكون هناك تسلسل محدود من المخططات الفرعية المغلقة المعروضة بشكل محدود

∅=Zن+1⊆Zن⊆⋯⊆Z1⊆Z0=X{\displaystyle \varnothing =Z_{n+1}\subseteq Z_{n}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X}

بحيث يكون لـ0≤م≤ن{\displaystyle 0\leq m\leq n}،

∐α∈أصα-1(Zم-Zم+1)→Zم-Zم+1{\displaystyle \coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m+1})\to Z_{m}-Z_{m+1}}

يسمح بقسم.

لاحظ أنه عند تقييم هذه التشاكلات علىS{\displaystyle S}-نقاط، وهذا يعني أن الخريطة هي دالة شاملة. على العكس من ذلك، بأخذ المتتالية التافهةZ0=X{\displaystyle Z_{0}=X}يعطي النتيجة في الاتجاه المعاكس.

تحفيز

أحد الدوافع الرئيسية [ 2 ] لإدخال طوبولوجيا نيسنيفيتش في علم التماثل التحفيزي هو حقيقة أن الغطاء المفتوح زاريسكيπ:يو→X{\displaystyle \pi :U\to X}لا يؤدي إلى حل لحزم زاريسكي [ 3 ]

⋯→Zتر(يو×Xيو)→Zتر(يو)→Zتر(X)→0{\displaystyle \cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0}

أين

Zتر(Y)(Z):=هومجoر(Z،Y){\displaystyle \mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)}

هو المؤثر التمثيلي على فئة الحزم المسبقة مع التحويلات. بالنسبة لطوبولوجيا نيسنيفيتش، فإن الحلقات المحلية هي حلقات هينسلية، ويُعطى غطاء منتهٍ لحلقة هينسلية بواسطة حاصل ضرب حلقات هينسلية، مما يدل على الدقة.

الحلقات المحلية في طوبولوجيا نيسنيفيتش

إذا كانت x نقطة في مخطط X ، فإن الحلقة المحلية لـ x في طوبولوجيا نيسنيفيتش هي تطبيق هينسل للحلقة المحلية لـ x في طوبولوجيا زاريسكي. وهذا يختلف عن طوبولوجيا إيتال حيث تكون الحلقات المحلية هي تطبيقات هينسل صارمة . ويمكن ملاحظة إحدى النقاط المهمة بين الحالتين عند النظر إلى حلقة محلية.(R،ص){\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}مع حقل البقاياκ{\displaystyle \kappa }في هذه الحالة، تختلف حقول البقايا لعملية هينسل وعملية هينسل الصارمة [ 4 ]

(R،ص)ح⇝κ(R،ص)sح⇝κsهـص{\displaystyle {\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}}

وبالتالي، فإن حقل البقايا لعملية هينسل الصارمة يعطي الإغلاق القابل للفصل لحقل البقايا الأصليκ{\displaystyle \kappa }.

أمثلة على تغطية نيسنيفيتش

لنفترض الغطاء الإيتالي المعطى بواسطة

المواصفات(ج[x،ت،ت-1]/(x2-ت))→المواصفات(ج[ت،ت-1]){\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}

إذا نظرنا إلى التشكل المرتبط بحقول البقايا للنقطة العامة للقاعدة، فسنجد أن هذا امتداد من الدرجة 2

ج(ت)→ج(ت)[x](x2-ت){\displaystyle \mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}}

هذا يعني أن هذا الغطاء الإيتالي ليس نيسنيفيتش. يمكننا إضافة التشكل الإيتاليأ1-{0،1}→أ1-{0}{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}للحصول على غطاء نيسنيفيتش، حيث يوجد تماثل للنقاط بالنسبة للنقطة العامة لـأ1-{0}{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}.

تغطية مشروطة

إذا أخذناأ1{\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}كمخطط على حقلك{\displaystyle k}ثم غطاء [ 1 ] صفحة 21 معطى بواسطة

أنا:أ1-{أ}↪أ1و:أ1-{0}→أ1{\displaystyle {\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}}

أينأنا{\displaystyle i}وهي الإدراج وو(x)=xك{\displaystyle f(x)=x^{k}}إذاً، يكون هذا الغطاء نيسنيفيتش إذا وفقط إذاxك=أ{\displaystyle x^{k}=a}يوجد حل علىك{\displaystyle k}وإلا، فلا يمكن أن يكون الغطاء عبارة عن إسقاط شامل علىك{\displaystyle k}-نقاط. في هذه الحالة، الغطاء هو مجرد غطاء إيتالي.

أغطية زاريسكي

كل غطاء زاريسكي [ 1 ] صفحة 21 هو غطاء نيسنيفيتش، لكن العكس لا يصح عمومًا. [ 5 ] يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام أي من التعريفات، لأن حقول البقايا ستكون دائمًا متماثلة بغض النظر عن غطاء زاريسكي، وبحسب التعريف، فإن غطاء زاريسكي سيعطي تطبيقًا شاملًا على النقاط. إضافةً إلى ذلك، فإن تضمينات زاريسكي هي دائمًا تشاكلات إيتالية.

التطبيقات

قدّم نيسنيفيتش طوبولوجياه لتوفير تفسير كوهومولوجي لمجموعة فئات مخطط الزمرة الأفينية، والتي عُرّفت في الأصل بمصطلحات أديلية. استخدمها لإثبات جزئي لتخمين ألكسندر غروتينديك وجان بيير سير، والذي ينص على أن التورسور التافه عقلانيًا تحت مخطط زمرة اختزالي على مخطط قاعدة نوثرية منتظمة متكاملة يكون تافهًا محليًا في طوبولوجيا زاريسكي . إحدى الخصائص الرئيسية لطوبولوجيا نيسنيفيتش هي وجود متتالية طيفية تنازلية . ليكن X مخططًا نوثريًا ذا بُعد كرول محدود ، ولتكن G <sub>n</sub> ( X ) زمر كويلين K لفئة الحزم المتماسكة على X. إذاجي~نقرص مضغوط(X){\displaystyle {\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)}إذا كان تحويل هذه المجموعات إلى حزم بالنسبة إلى طوبولوجيا نيسنيفيتش، فهناك تسلسل طيفي متقارب

هـ2ص،q=حص(Xقرص مضغوط،جي~qقرص مضغوط)⇒جيq-ص(X){\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)}

لـ p ≥ 0 و q ≥ 0 و p - q ≥ 0. إذاℓ{\displaystyle \ell }إذا كان عددًا أوليًا لا يساوي خاصية X ، فإنه يوجد تسلسل طيفي متقارب مماثل للمجموعات K ذات المعاملات فيZ/ℓZ{\displaystyle \mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z} }.

كما وجدت طوبولوجيا نيسنيفيتش تطبيقات مهمة في نظرية K الجبرية ، ونظرية التماثل A¹، ونظرية الدوافع . [ 6 ] [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 أنتييو، بنيامين؛ إلمانتو، إلدن (2016-11-07). "مقدمة في نظرية التماثل التحفيزي غير المستقر". arXiv : 1605.00929 [ math.AG ].
  2. ↑ بلوخ، سبنسر. محاضرات في الدورات الجبرية . كامبريدج. ص. 9. 
  3. ↑ ملاحظات المحاضرة حول علم التماثل التحفيزي . مثال 6.13، الصفحات 39-40.
  4. ↑ "القسم 10.154 (0BSK): هينسل والهينسل الصارم - مشروع ستاكس" . stacks.math.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يناير 2021 .
  5. ↑ "أمثلة مضادة - غطاء نيسنيفيتش ليس زاريسكي" . MathOverflow . تم الاسترجاع في 25 يناير 2021 .
  6. ↑ فويفودسكي، فلاديمير . "الفئات المثلثية للدوافع على حقل k" (ملف PDF) . مجلة نظرية K. الاقتراح 3.1.3.
  7. ↑ "طوبولوجيا نيسنيفيتش" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-09-2017.{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  • نيسنيفيتش، يفسي أ. (1989). "الطوبولوجيا المُفكَّكة تمامًا على المخططات ومتواليات الطيف التنازلي المرتبطة بها في نظرية K الجبرية". في: ج. ف. جاردين وف. ب. سنايث (محرران). نظرية K الجبرية: صلاتها بالهندسة والطوبولوجيا. وقائع معهد الدراسات المتقدمة التابع لحلف الناتو، المنعقد في بحيرة لويز، ألبرتا، 7-11 ديسمبر 1987. سلسلة معاهد العلوم المتقدمة التابعة لحلف الناتو، المجلد ج: العلوم الرياضية والفيزيائية. المجلد  279. دوردريخت: مجموعة كلوير للنشر الأكاديمي. الصفحات 241-342 . متوفر على موقع نيسنيفيتش الإلكتروني
  • ليفين، مارك (2008)، نظرية التماثل التحفيزي (ملف PDF) ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2017-07-06 ، تم استرجاعه بتاريخ 2017-06-16