خاتم أديل

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 372 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ حلقة أديل بناءً في نظرية الأعداد يجمع جميع النسخ المحلية لحقل شامل في كائن واحد. بالنسبة للأعداد النسبية ، تشمل هذه النسخ المحلية الأعداد الحقيقية وحقول الأعداد الحقيقية.ص{\displaystyle p}الأعداد -أديك لجميع الأعداد الأوليةص{\displaystyle p}وبشكل أعم، إذاك{\displaystyle K}هو مجال عالمي، وحلقة أديل الخاصة به، والتي يُشار إليها غالبًا بـأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}، هي حلقة طوبولوجية مبنية من عمليات الإكمالكv{\displaystyle K_{v}}لك{\displaystyle K}في جميع أماكنهاv{\displaystyle v}. رسميًا، هو ناتج محدود للحقول المحليةكv{\displaystyle K_{v}}، فيما يتعلق بحلقات التقييم في المواضع غير الأرخميدية. وتسمى عناصرها أديل .

إن بنية المنتج المحدودة تجعلأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}حلقة طوبولوجية متراصة محليًا . الحقلك{\displaystyle K}يتم تضمينها قطريًا فيأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}كحلقة فرعية منفصلة، ​​والناتجأك/ك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}هي مضغوطة. وباعتبارها مجموعة أبيلية مضغوطة محليًا، فإن حلقة أديل ذاتية التناظر، مما يجعلها بيئة طبيعية لتحليل فورييه على الحقول العالمية.

مجموعة الوحدات في حلقة الأديل، بطوبولوجيتها الطبيعية، هي مجموعة الإيديلأك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}. الناتجأك×/ك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}تُعدّ مجموعة الفئات المثالية، التي تُسمى مجموعة الفئات المثالية ، عنصرًا أساسيًا في نظرية حقول الفئات . كما تُستخدم الفئات المثالية والفئات المثالية في أطروحة تيت ، ونظرية الأشكال التلقائية ، ومبادئ المحلية والعالمية ، والأوصاف المثالية للقواسم ، وحزم الخطوط ، والحزم الرئيسية على المنحنيات الجبرية .

تعريف

يتركك{\displaystyle K}ليكن حقلاً عاماً ، أي إما حقلاً عددياً أو حقلاً دالياً عاماً.v{\displaystyle v}تجري فوق أماكنك{\displaystyle K}لكل مكانv{\displaystyle v}، يترككv{\displaystyle K_{v}}يكون ذلك اكتمالاً لـك{\displaystyle K}فيv{\displaystyle v}. لوv{\displaystyle v}غير أرخميدس، دعياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}ليكن حلقة التقييم المقابلة. [ 1 ] [ 2 ]

مجموعة الأديلات المنتهية لـك{\displaystyle K}، المشار إليهأك،وأنان{\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}، هو الناتج المقيد للإكمالات غير الأرخميديةكv{\displaystyle K_{v}}فيما يتعلق بالحلقات الفرعيةياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}:

أك،وأنان=∏v∤∞′كv={(xv)v∈∏v∤∞كv:xv∈ياv بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من v}.{\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }={\prod _{v\nmid \infty }}'K_{v}=\left\{(x_{v})_{v}\in \prod _{v\nmid \infty }K_{v}:x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}{\text{ for all but finitely many }}v\right\}.}

وهي مزودة بطوبولوجيا المنتج المقيدة. يتم توفير أساس المجموعات المفتوحة بواسطة المنتجات

∏v∈هـيوv×∏v∉هـياv،{\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}{\mathcal {O}}_{v},}

أينهـ{\displaystyle E}هي مجموعة محدودة من الأماكن غير الأرخميدية وكل منهايوv{\displaystyle U_{v}}مفتوح فيكv{\displaystyle K_{v}}باستخدام الجمع والضرب لكل عنصر على حدة،أك،وأنان{\displaystyle \mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}هي حلقة طوبولوجية. [ 1 ] [ 3 ]

خاتم أديل​ك{\displaystyle K}، المشار إليهأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}، ويتم الحصول عليها عن طريق ضم الإكمالات في المواضع الأرخميدية:

أك=أك،وأنان×∏v|∞كv=∏v∤∞′كv×∏v|∞كv.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}={\prod _{v\nmid \infty }}'K_{v}\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}.}

عدد المواضع الأرخميدية محدود، وكل إكمال أرخميدي متماثل معR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }عناصرأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يُطلق عليهم اسم أديلك{\displaystyle K}يتم تعريف الجمع والضرب بشكل منفصل لكل عنصر. وللاختصار، غالبًا ما نكتب

أك=∏v′كv،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v}'K_{v},}

مع العلم أن شرط المنتج المقيد ينطبق فقط في الأماكن غير الأرخميدية. [ 2 ] [ 1 ]

لوك{\displaystyle K}إذا كان حقل دالة عام، فلا توجد أماكن أرخميدية، لذلكأك=أك،وأنان{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,\mathrm {fin} }}.

يوجد تضمين قطري طبيعي

ك↪أك،أ↦(أ،أ،...).{\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K},\qquad a\mapsto (a,a,\ldots ).}

هذه الخريطة محددة جيدًا لأن عنصرًاأ∈ك{\displaystyle a\in K}يكمن فيياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منهاv{\displaystyle v}بعد هذا التضمين،ك{\displaystyle K}تُعتبر حلقة فرعية منأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}وتُسمى عناصرها أحيانًا بالأديل الرئيسية لـأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}[ 3 ] [ 1 ]​

وبشكل أعم، إذاS{\displaystyle S}هي مجموعة من الأماكنك{\displaystyle K}يمكن تعريف حلقةS{\displaystyle S}-أديلس بواسطة

أك،S:=∏v∈S′كv،{\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:=\prod _{v\in S}'K_{v},}

باستخدام حلقات التقييم مرة أخرىياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}في الأماكن غير الأرخميدية فيS{\displaystyle S}. لو

أكS:=∏v∉S′كv،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:=\prod _{v\notin S}'K_{v},}

ثم يحدث تحلل للمنتج الطبيعي

أك≅أك،S×أكS.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}

تحفيز

الغرض من حلقة أديل هو النظر في جميع اكتمالات حقل عالميك{\displaystyle K}دفعة واحدة. بالنسبة للأعداد النسبية، تعطي القيمة المطلقة المعتادة الإكمالR{\displaystyle \mathbb {R} }لكن نظرية أوستروفسكي تُظهر أن هناك أيضًاص{\displaystyle p}القيم المطلقة -adic، قيمة واحدة لكل عدد أوليص{\displaystyle p}وبشكل أعم، يحتوي الحقل العالمي على مجموعة من عمليات الإكمالكv{\displaystyle K_{v}}واحد لكل مكانv{\displaystyle v}تجمع حلقة أديل هذه الإكمالات في كائن واحد، بحيث يمكن تطبيق الطرق التحليلية مع الاحتفاظ بالمعلومات الحسابية من جميع الأعداد الأولية المنتهية. [ 1 ] [ 2 ]

يُعد كتاب مينكوفسكي " هندسة الأعداد" بمثابة مقدمة لهذا الرأي .ك{\displaystyle K}هو حقل عددي يحتوي على حلقة من الأعداد الصحيحةياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}أماكن تضمين مينكوفسكي الكلاسيكيةياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}كشبكة في فضاء متجهي حقيقي محدود الأبعاد

ك⊗سؤالR≅Rر×جs.{\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {C} ^{s}.}

يُتيح ذلك دراسة المسائل الحسابية باستخدام حجج الحجم والتراص. ويمكن اعتبار حلقة أديل بمثابة توسيع محلي-عالمي لهذا البناء: فبدلاً من استخدام الإكمالات الأرخميدية فقط، فإنها تشمل جميع إكمالاتك{\displaystyle K}في البيئة الأديلية، المجال العالميك{\displaystyle K}تندمج هي نفسها قطريًا كمجموعة فرعية منفصلة منأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}، والناتجأك/ك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}مضغوط. [ 3 ] [ 1 ]

تُعرَّف حلقة الأديل بأنها ناتج مقيد وليس ناتجًا ديكارتيًا كاملًا لجميع الإكمالات. ينص شرط الناتج المقيد على أن حلقة الأديل متكاملة في جميع المواضع غير الأرخميدية تقريبًا. هذا الشرط طبيعي من وجهة نظر الحقل الكلي نفسه: إذاأ∈ك{\displaystyle a\in K}، ثمأ{\displaystyle a}ينتمي إلىياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}بالنسبة لجميع الأماكن باستثناء عدد محدود من الأماكن المحدودةv{\displaystyle v}وبالتالي فإن التضمين القطري

ك↪أك{\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}}

تقع الأراضي ضمن المنتجات المحظورة.

يُعدّ المنتج المقيد أيضًا الشرط الطوبولوجي الذي يجعل حلقة الأديل مفيدة للتحليل. بفضل طوبولوجيا المنتج المقيد الخاصة بها،أك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}هي حلقة طوبولوجية متراصة محليًا. تعطي خاصية التراص المحلي المجموعة الجمعية لـأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}مقياس هار، مما يُتيح إجراء التحليل التوافقي على حلقة الأديل. وهذا أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل حلقات الأديل مفيدة في نظرية الأعداد الحديثة. [ 1 ] [ 4 ]

على سبيل المثال، تُنشئ أطروحة تيت تحليل فورييه على حلقة الأديل والتكامل على مجموعة الأديل لإعطاء معالجة موحدة لهيكل{\displaystyle L}الدوال. في هذا النهج، تتحلل تكاملات زيتا العالمية إلى تكاملات محلية على الإكمالات.كv{\displaystyle K_{v}}ويشرح التركيب المحلي-العالمي لحلقة الأديل جداء أويلر، والاستمرار التحليلي، والمعادلة الوظيفية لهذهل{\displaystyle L}- الدوال. [ 5 ] [ 6 ]

أمثلة

أديل العقلانية

لك=سؤال{\displaystyle K=\mathbb {Q} }تنص نظرية أوستروفسكي على أن أماكنسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يتم تحديدها بالقيمة المطلقة المعتادة وص{\displaystyle p}القيم المطلقة -adic، قيمة واحدة لكل عدد أوليص{\displaystyle p}الإكمال في المكان اللانهائي هو

سؤال∞=R،{\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} ,}

وإتمام ذلك في المكان المقابل لـص{\displaystyle p}هو مجالص{\displaystyle p}الأعداد -adicسؤالص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}مع حلقة التقييمZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}وهكذا حلقة أديلسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكون

أسؤال=R×∏ص′سؤالص،{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p},}

حيث يتم أخذ المنتج المقيد فيما يتعلق بالحلقات الفرعيةZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}أو بعبارة أخرى،

أسؤال={(x∞،x2،x3،x5،...):x∞∈R، xص∈سؤالص، xص∈Zص بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من ص}.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\left\{(x_{\infty },x_{2},x_{3},x_{5},\ldots ):x_{\infty }\in \mathbb {R} ,\ x_{p}\in \mathbb {Q} _{p},\ x_{p}\in \mathbb {Z} _{p}{\text{ for all but finitely many }}p\right\}.}

وهكذا أديل منسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }هو عدد حقيقي بالإضافة إلىص{\displaystyle p}عدد نسبي -أدي لكل عدد أوليص{\displaystyle p}بحيث أن جميعها تقريبًا باستثناء عدد محدود جدًا منص{\displaystyle p}المكونات -adic هيص{\displaystyle p}الأعداد الصحيحة -adic. [ 1 ] [ 2 ]

الأديلات المحدودة لـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }نكون

أسؤال،وأنان=∏ص′سؤالص.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}.}

الأديلات المنتهية المتكاملة هي

Z^=∏صZص،{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p},}

حلقة الأعداد الصحيحة المنتهية . باستخدام هذه الصيغة،

أسؤال=R×أسؤال،وأنان،Z^⊂أسؤال،وأنان.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} },\qquad {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }.}

التضمين القطري لـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يرسل عددًا نسبيًاأ{\displaystyle a}إلى أديل

(أ،أ،أ،...).{\displaystyle (a,a,a,\ldots ).}

هذا تعريف دقيق لأن العدد النسبي لا يحتوي إلا على عدد محدود من العوامل الأولية في مقامه، لذلكأ∈Zص{\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}}لجميع الأعداد الأولية باستثناء عدد محدود منهاص{\displaystyle p}.

حقول الأرقام

يتركك{\displaystyle K}ليكن حقل عددي مع حلقة من الأعداد الصحيحةياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}في كل مكان محدودv{\displaystyle v}، الإتمامكv{\displaystyle K_{v}}هو امتداد محدود لـسؤالص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}ويُشار إلى حلقة تقييمها بـياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}في كل مكان لانهائي، يكون الإكمال متماثلاً مع إماR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }خاتم أديل هو

أك=∏v∤∞′كv×∏v|∞كv،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v\nmid \infty }'K_{v}\times \prod _{v\mid \infty }K_{v},}

حيث يتم حساب الضرب المقيد على الأماكن المحدودة بالنسبة للحلقاتياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}وهكذا فإن أديل منك{\displaystyle K}هي عائلة(xv)v{\displaystyle (x_{v})_{v}}معxv∈كv{\displaystyle x_{v}\in K_{v}}لكل مكانv{\displaystyle v}بحيثxv∈ياv{\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}بالنسبة لجميع الأماكن المحدودة باستثناء عدد محدود منها.

على سبيل المثال، إذاك{\displaystyle K}إذا كان حقل أعداد تربيعي، فإن عامله الأرخميدسي يكون إماR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}، متىك{\displaystyle K}له تضمينان حقيقيان، أوج{\displaystyle \mathbb {C} }، متىك{\displaystyle K}يحتوي على زوج واحد من التضمينات المعقدة. الجزء المحدود هو ناتج مقيد على المثاليّات الأولية غير الصفرية لـياك{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}[ 2 ] [ 1 ]​

لول/ك{\displaystyle L/K}إذا كان امتدادًا محدودًا لحقول الأعداد، فإن البناء الأديلي متوافق مع امتداد الكميات القياسية. وعلى وجه الخصوص، يوجد تماثل طبيعي

أل≅أك⊗كل،{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L,}

وفي الحالة الخاصةك=سؤال{\displaystyle K=\mathbb {Q} }،

أل≅أسؤال⊗سؤالل.{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }L.}

وهذا يُعطي طريقة أخرى للنظر إلى حلقة الأديل لحقل عددي باعتبارها امتدادًا أديلًا لحلقة الأديل النسبية. [ 3 ] [ 1 ]

حقول الدوال والمنحنيات

والآن خذ حقل الوظيفة

ك=Fq(P1)=Fq(ت){\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})=\mathbb {F} _{q}(t)}

الخط الإسقاطي فوق حقل منتهٍ. أماكنه تتوافق مع النقاط المغلقةx{\displaystyle x}لX=P1{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}يمكن وصف هذه النقاط بأنها خرائط

x:المواصفات⁡Fqن⟶P1{\displaystyle x:\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q^{n}}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}}

زيادةالمواصفات⁡Fq{\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}على سبيل المثال، هناكq+1{\displaystyle q+1}نقاط من الشكل

المواصفات⁡Fq⟶P1.{\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}.}

من أجل نقطةx{\displaystyle x}الحلقة المحلية المستخدمة في المنتج المقيد هي الحلقة المحلية المكتملة

يا^X،x،{\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x},}

والحقل المحلي المقابل هو حقل الكسر الخاص به، والذي يُشار إليه غالبًا بـكX،x{\displaystyle K_{X,x}}وهكذا حلقة أديلFq(P1){\displaystyle \mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}قد يكتب

أFq(P1)=∏x∈X′كX،x،{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}

حيث يتم أخذ المنتج المقيد فيما يتعلق بالحلقات المحلية المكتملةيا^X،x{\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}أو بعبارة أخرى، عناصرها هي عائلات(وx)x{\displaystyle (f_{x})_{x}}، معوx∈كX،x{\displaystyle f_{x}\in K_{X,x}}بحيثوx∈يا^X،x{\displaystyle f_{x}\in {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}بالنسبة لجميع النقاط باستثناء عدد محدود منهاx{\displaystyle x}[ 1 ]​

وينطبق الوصف نفسه على أي منحنى أملس مناسبX/Fq{\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}على حقل منتهٍ. إذاك=Fq(X){\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(X)}هو حقل وظيفته، إذن

أك=∏x∈X′كX،x،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}

أينx{\displaystyle x}يمر فوق النقاط المغلقة لـX{\displaystyle X}على عكس حقول الأرقام، لا تحتوي حقول الدوال العامة على أماكن أرخميدية، لذا فإن حلقة أديل المحدودة وحلقة أديل الكاملة متطابقتان.

الطوبولوجيا والخصائص الرئيسية

تُعرف الطوبولوجيا على حلقة أديل باسم طوبولوجيا الضرب المقيد. بالنسبة لمجموعة محدودة من المواضعP{\displaystyle P}تحديد الأماكن التي تحتوي على أرخميدس

أك(P):=∏v∈Pكv×∏v∉Pياv.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}{\mathcal {O}}_{v}.}

مزودة ببنية المنتج وعمليات الجمع والضرب لكل مكون على حدة،أك(P){\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}هي حلقة طوبولوجية متراصة محليًا. إذاP′{\displaystyle P'}هي مجموعة أخرى محدودة من الأماكنك{\displaystyle K}يحتوي علىP{\displaystyle P}، ثمأك(P){\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}هي حلقة فرعية مفتوحة منأك(P′){\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P')}حلقة أديل هي اتحاد كل هذه الحلقات الفرعية المفتوحة:

أك=⋃P⊃P∞، |P|<∞أك(P).{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },\ |P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}

وبعبارة أخرى،أك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}هي مجموعة الكلx=(xv)v{\displaystyle x=(x_{v})_{v}}بحيث|xv|v≤1{\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية تقريبًاv{\displaystyle v}طوبولوجياأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}وينتج ذلك عن اشتراط أن يكون كلأك(P){\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}تكون حلقات فرعية مفتوحة. وبالتاليأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}هي حلقة طوبولوجية متراصة محليًا. [ 1 ] [ 3 ]

ينطبق نفس التركيب على مجموعات الأماكن. لكل مجموعة من الأماكنS{\displaystyle S}خاتمS{\displaystyle S}-أديلس

أك،S=∏v∈S′كv{\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}=\prod _{v\in S}'K_{v}}

هي حلقة طوبولوجية متراصة محليًا، ذات طوبولوجيا ضرب مقيدة. إذا

أكS=∏v∉S′كv،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}=\prod _{v\notin S}'K_{v},}

ثم يحدث تحلل للمنتج الطبيعي

أك≅أك،S×أكS.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}

التضمين القطري

ك↪أك،أ↦(أ،أ،...){\displaystyle K\hookrightarrow \mathbb {A} _{K},\qquad a\mapsto (a,a,\ldots )}

يحددك{\displaystyle K}مع حلقة فرعية منأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}باستخدام هذا التضمين، تصبح عناصرك{\displaystyle K}تُسمى هذه العناصر الرئيسية بالأديلات. صورة لـك{\displaystyle K}منفصل فيأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}، والناتج

أك/ك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}

صغير الحجم. على وجه الخصوص،ك{\displaystyle K}مغلق فيأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}تُعدّ خاصية التراص هذه أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل حلقة أديل مفيدة في التحليل التوافقي وفي التطبيقات الحسابية. [ 3 ] [ 1 ]

تنفصل حلقة أديل بشكل طبيعي إلى أي عامل محلي مختار والعوامل المتبقية. حدد مكانًاv{\displaystyle v}لك{\displaystyle K}. يتركP{\displaystyle P}لتكن مجموعة منتهية من الأماكن التي تحتويv{\displaystyle v}وP∞{\displaystyle P_{\infty }}، وتحديد

أك′(P،v):=∏w∈P∖{v}كw×∏w∉Pياw.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}

ثم

أك(P)≅كv×أك′(P،v).{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}

علاوة على ذلك، حدد

أك′(v):=⋃P⊃P∞∪{v}أك′(P،v)،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}

أينP{\displaystyle P}يمر عبر جميع المجموعات المنتهية التي تحتويP∞∪{v}{\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}}. ثم

أك≅كv×أك′(v)،{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}

عبر الخريطة

(أw)w↦(أv،(أw)w≠v).{\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}

وبالتالي يوجد تضمين طبيعيكv↪أك{\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}}وبروز طبيعيأك↠كv{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}}ينطبق نفس التركيب على أي مجموعة محدودة من الأماكن بدلاً من المكان الواحد.v{\displaystyle v}.

منذأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}باعتبارها مجموعةً مترابطةً محليًا، فإن لها مقياس هار جمعي. يُستخدم هذا المقياس في التحليل التوافقي على الحقول العالمية، وعادةً ما يُعَيَّر كحاصل ضرب مقاييس هار المحلية. مع التعيير القياسي في المواضع غير الأرخميدية، تكون حلقة التقييمياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}له مقياس1{\displaystyle 1}بالنسبة لجميع الأماكن المحدودة تقريبًا. [ 5 ] [ 4 ]

مقياس هار وتحليل فورييه

منذأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}إذا كانت المجموعة متراصة محليًا كمجموعة جمعية، فإن لها مقياس هار جمعي ، ويرمز إليه عادةً بـدx{\displaystyle dx}يمكن تطبيع هذا المقياس كناتج لمقاييس هار المحلية على عمليات الإكمال.كv{\displaystyle K_{v}}في مكان غير أرخميدسv{\displaystyle v}المقياس المحليدxv{\displaystyle dx_{v}}يتم عادةً تطبيعها بحيث تكون حلقة التقييمياv{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}له مقياس1{\displaystyle 1}في الأماكن الأرخميدية، يُستخدم مقياس لوبيغ المعتاد.R{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }[ 1 ] [ 4 ]​

وظيفةو:أك→ج{\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }يُطلق عليه اسم بسيط إذا

و=∏vوv،{\displaystyle f=\prod _{v}f_{v},}

حيث كلوv:كv→ج{\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }قابل للقياس ووv=1ياv{\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية تقريبًاv{\displaystyle v}مع التطبيع القياسي، تحقق كل دالة بسيطة قابلة للتكامل ما يلي:

∫أكودx=∏v∫كvوvدxv.{\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v}.}

الناتج محدود بمعنى أن جميع العوامل تقريبًا متساوية.1{\displaystyle 1}[ 7 ] [ 1 ]​

يعتمد تحليل فورييه لحلقة الأديل على خصائص مجموعتها الجمعية. إذاجي{\displaystyle G}هي مجموعة أبيلية متراصة محليًا، ومجموعة خصائصهاجي^{\displaystyle {\widehat {G}}}هي مجموعة جميع التشاكلات المستمرة منجي{\displaystyle G}ل

تي={z∈ج:|z|=1}،{\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} z = 1

مع طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المدمجة. حلقة أديل ذاتية التناظر كمجموعة أبيلية مدمجة محليًا:

أك≅أك^.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}

يتم إثبات ذلك عن طريق اختزال كل عملية إكمال إلى العبارة المحلية المقابلة.كv{\displaystyle K_{v}}على سبيل المثال، الشخصية المعتادة

هـ∞(ت)=خبرة⁡(2πأنات){\displaystyle e_{\infty }(t)=\exp(2\pi it)}

يعطي تماثلًا

R⟶R^،s↦(ت↦هـ∞(تs)).{\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow {\widehat {\mathbb {R} }},\qquad s\mapsto {\bigl (}t\mapsto e_{\infty }(ts){\bigr )}.}

تُستخدم رموز محلية مماثلة في الأماكن غير الأرخميدية، ويعطي ناتجها المحدود الازدواجية الذاتية العالمية لـأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}[ 1 ] [ 4 ]​

بعد اختيار خاصية إضافية غير تافهةχ:أك→تي{\displaystyle \chi :\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {T} } ، تحويل فورييه لدالة مناسبةو{\displaystyle f}علىأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يتم تعريفها بواسطة

و^(y)=∫أكو(x)χ(xy)دx.{\displaystyle {\widehat {f}}(y)=\int _{\mathbb {A} _{K}}f(x)\chi (xy)\,dx.}

باختيار مناسب لمقياس هار، يحقق تحويل فورييه هذا صيغتي الانعكاس وبلانشيريل المعتادتين. ومن السمات المهمة للإطار الأديلي أن تحليل فورييه العالمي يُدمج في تحليل فورييه المحلي على الإكمالات.كv{\displaystyle K_{v}}.

بمساعدة شخصياتأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يمكن إجراء تحليل فورييه على حلقة الأديل. في أطروحة تيت ، استخدم جون تيت تحليل فورييه على حلقة الأديل والتكامل على مجموعة الأيديل لدراسة دالة زيتا لريمان ، وديريشليه.ل{\displaystyle L}-الوظائف، و Hecke بشكل عامل{\displaystyle L}الدوال. يمكن تمثيل الأشكال الأديلية لهذه الدوال كتكاملات على حلقة الأديل أو مجموعة الإيديل، بالنسبة لمقاييس هار المناظرة. ويمكن بعد ذلك إثبات معادلاتها الوظيفية واستمراراتها الميرومورفية بتطبيق تحليل فورييه وجمع بواسون في الإطار الأديل. [ 5 ] [ 6 ] [ 8 ]

على سبيل المثال، لـيكرر⁡(s)>1{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}،

∫Z^|x|sد×x=ζ(s)،{\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}\,d^{\times }x=\zeta (s),}

أيند×x{\displaystyle d^{\times }x}هي مقياس هار الضربي على مجموعة الأيديلي المنتهيةأناسؤال،وأنان{\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }}، مُعَيَّرَة بحيثZ^×{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}له حجم1{\displaystyle 1}وتمديدها بمقدار الصفر إلى حلقة أديل المحدودة. وبالتالي، يمكن كتابة دالة زيتا لريمان كتكامل على مجموعة جزئية من حلقة أديل. [ 9 ]

التطبيقات

نظرية الحقول الطبقية

تدخل حلقة أديل إلى نظرية حقل الفئات من خلال مجموعة وحداتها، وهي مجموعة إيديل.أك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}. الناتج

جك=أك×/ك×{\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}

هي مجموعة فئة idele منك{\displaystyle K}تصف نظرية حقل الفئة العالمية الامتدادات الأبيلية لـك{\displaystyle K}من حيث النسب الطوبولوجية لـجك{\displaystyle C_{K}}في إحدى الصيغ، يعطي قانون التبادلية العالمي لآرتين تشاكلًا تبادليًا من زمرة فئة إيديل إلى زمرة غالوا للامتداد الأبلي الأقصى لـك{\displaystyle K}عند مستوى محدود، بالنسبة لامتداد أبيلي محدودل/ك{\displaystyle L/K}، وهو ناتج القسمة المقابل لـجك{\displaystyle C_{K}}يتم وصفها باستخدام المجموعة الفرعية المعيارية منجل{\displaystyle C_{L}}[ 10 ] [ 11 ]​

تُغلف هذه الصيغة الأديلية خرائط التبادلية المحلية لنظرية حقل الفئة المحلية في بيان شامل. وهي تحل محل الصيغة النظرية المثالية القديمة، التي تتضمن مجموعات الفئة المثالية ومجموعات فئة الأشعة، ببيان حول طوبولوجيا وقسمة مجموعة فئة الأيديل.

الفصول والوحدات الدراسية المثالية

تُقدّم مجموعة الأيديل تحسينًا طوبولوجيًا لمجموعة المُثُل الكسرية لحقل عددي. بالنسبة لحقل عدديك{\displaystyle K}، الجزء المحدود من مجموعة المثاليات يُسقط على مجموعة المثاليات الكسرية بواسطة

(xص)ص⟼∏صصvص(xص).{\displaystyle (x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}

النواة هي حاصل ضرب مجموعات الوحدات المحلية. بالتالي، يمكن استعادة مجموعة فئات المثالي العادية كحاصل قسمة على مجموعة فئات المثالي. تُعطي هذه النظرة تفسيرًا أديليًا لنهائية عدد الفئات: فتراص فئات المثالي ذات المعيار الواحد يعني أن مجموعة فئات المثالي متراصة، ولأنها منفصلة، ​​فهي نهائية. [ 3 ] [ 1 ]

تُقدّم نفس دائرة الأفكار صياغةً أديليكية لنظرية الوحدة. إذاP{\displaystyle P}هي مجموعة محدودة من الأماكن التي تحتوي على الأماكن الأرخميدية، وهي مجموعة منP{\displaystyle P}تظهر الوحدات كتقاطع لـك×{\displaystyle K^{\times }}مع مجموعة فرعية مفتوحة طبيعية من مجموعة الأيديل. على وجه الخصوص، بالنسبة لحقل عدديك{\displaystyle K}تنص نظرية ديريشليه للوحدات على أن

ياك×≅μ(ك)×Zر+s-1،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}

أينμ(ك){\displaystyle \mu (K)}هي المجموعة الدورية المنتهية لجذور الوحدة فيك{\displaystyle K}،ر{\displaystyle r}يمثل عدد التضمينات الحقيقية، وs{\displaystyle s}يمثل عدد الأزواج المترافقة للتضمينات المعقدة. [ 1 ] [ 3 ]

أطروحة تيت ووظائف L

الطوبولوجيا علىأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يجعل الناتجأك/ك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}صغير الحجم، مما يسمح بإجراء تحليل توافقي على حلقة أديل. بمساعدة خصائصأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يمكن إجراء تحليل فورييه على حلقة الأديل؛ ثم يُعطي التكامل على مجموعة الإيديل تكاملات زيتا. [ 5 ] [ 4 ]

في أطروحة تيت ، استخدم جون تيت تحليل فورييه على حلقة الأديل ومجموعة الإيديل لدراسة دالة زيتا لريمان ، ديريشليهل{\displaystyle L}-الوظائف، و Hecke بشكل عامل{\displaystyle L}الدوال. يمكن تمثيل الأشكال الأديلية لهذه الدوال كتكاملات على حلقة الأديل أو مجموعة الإيديل، بالنسبة لمقاييس هار المناظرة. ويمكن بعد ذلك إثبات معادلاتها الوظيفية واستمراراتها الميرومورفية باستخدام تحليل فورييه ومجموع بواسون في الإطار الأديل. [ 5 ] [ 12 ] [ 6 ]

على سبيل المثال، لـيكرر⁡(s)>1{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}، يمتلك المرء تمثيلاً تكاملياً أديلياً لدالة زيتا لريمان،

∫Z^|x|sد×x=ζ(s)،{\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}\,d^{\times }x=\zeta (s),}

أيند×x{\displaystyle d^{\times }x}هي مقياس هار الضربي على مجموعة الأيديلي المنتهيةأناسؤال،وأنان{\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }}، مُعَيَّرَة بحيثZ^×{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}له حجم1{\displaystyle 1}وتمديدها بمقدار الصفر إلى حلقة أديل المحدودة. وبالتالي، يمكن كتابة دالة زيتا لريمان كتكامل على مجموعة جزئية من حلقة أديل.

الأشكال التلقائية

توفر الأديل أيضًا اللغة الطبيعية للأشكال التلقائية . بدلاً من دراسة الدوال بشكل منفصل على الأعداد الحقيقية والمركبة وص{\displaystyle p}عند دراسة النقاط الأدية لمجموعة جبرية، يتم دراسة الدوال على المجموعات الأديلية مثلجي(أك){\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}على سبيل المثال، الأشكال التلقائية لـGL2{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}زيادةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يمكن اعتبارها وظائف على

GL2⁡(سؤال)∖GL2⁡(أسؤال){\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Q} )\backslash \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}

تحقيق الشروط الجبرية والتحليلية وشروط النمو المناسبة. في هذا السياق، يكون الشكل التلقائيل{\displaystyle L}يمكن وصف الدوال - في كثير من الأحيان بواسطة تكاملات على مجموعات أديلية. [ 13 ] [ 14 ]

وبشكل أعم، استخدام النقاط الأديليةجي(أك){\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}للمجموعات الجبرية المختزلةجي{\displaystyle G}يُعد هذا المفهوم محورياً في النظرية الحديثة للتمثيلات الذاتية. كما تُشكّل هذه النظرة إحدى نقاط الانطلاق لبرنامج لانجلاندز ، الذي يربط التمثيلات الذاتية للمجموعات الأديلية بتمثيلات غالوا. [ 13 ]

التقريب والمبادئ المحلية والعالمية

توفر حلقة أديل تفسيرًا موحدًا لنظريات التقريب والمسائل المحلية والعالمية. تنص نظرية التقريب الضعيف على أنه بالنسبة لعدد محدود من التقييمات غير المتكافئة لـك{\displaystyle K}، الصورة القطرية لـك{\displaystyle K}تكون كثيفة في حاصل ضرب الإكمالات المقابلة. تنص نظرية التقريب القوي على أنه بعد حذف مكان واحدv0{\displaystyle v_{0}}، المجالك{\displaystyle K}تكون كثيفة في الضرب المقيد على جميع المواضع الأخرى. وبالتالي، يكون الحقل العالمي منفصلاً في حلقة الأديل الكاملة، ولكنه يصبح كثيفًا عند حذف موضع واحد. [ 3 ]

تُستخدم لغة أديلك أيضًا لصياغة مبادئ محلية-عالمية ، مثل مبدأ هاس . في مثل هذه المسائل، تتم مقارنة الحلول على المجال العالمي.ك{\displaystyle K}مع عائلات حلول متوافقة تغطي جميع عمليات الإنجازكv{\displaystyle K_{v}}توفر حلقة أديل مساحة واحدة يمكن فيها جمع هذه الظروف المحلية ودراستها معًا.

المنحنيات، والقواسم، والحزم

للحصول على منحنى سلس ومناسبX/Fq{\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}مع حقل الوظيفةك{\displaystyle K}، خاتم أديلك{\displaystyle K}يمكن وصفها باستخدام عمليات الإكمال عند النقاط المغلقة لـX{\displaystyle X}في هذا السياق، تستعيد الأيديلات مجموعات القواسم ومجموعات بيكارد للمنحنى. لدينا

قسم⁡(X)=أX×/ياX×{\displaystyle \operatorname {Div} (X)=\mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }}

و

صورة⁡(X)=ك×∖أX×/ياX×.{\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=K^{\times }\backslash \mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }.}

وبالتالي يمكن التعبير عن وصف فئة القاسم لحزم الخطوط على منحنى بشكل غير مباشر.

وبشكل أعم، بالنسبة لمجموعة جبريةجي{\displaystyle G}تصف معاملات القسمة المزدوجة الأديلية معاملات الحزم على المنحنيات. في توحيد ويل، بالنسبة للمجموعات المناسبة مثل المجموعات شبه البسيطة ، وكذلك لـGLن{\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}، لدى المرء وصف أديلي للشكل

كعكةجي⁡(X)=جي(ك)∖جي(أX)/جي(ياX).{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)=G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{X})/G(\mathbb {O} _{X}).}

لجي=جيم{\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}، وهذا يستعيد الوصف الأديلي لمجموعة بيكارد.

ازدواجية سير على المنحنيات

تظهر الأديلات أيضًا في علم التماثل للمنحنيات الجبرية. إذاX{\displaystyle X}إذا كان منحنىً أملسًا مناسبًا على الأعداد المركبة، فيمكن تعريف أديلات حقل دالتهج(X){\displaystyle \mathbb {C} (X)}بطريقة مماثلة لحالة حقل الدالة على الحقول المنتهية. أثبت تيت أن ازدواجية سير علىX{\displaystyle X}،

ح1(X،ل)≃ح0(X،ΩX⊗ل-1)*،{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\simeq H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*},}

يمكن استنتاج ذلك من خلال العمل مع خاتم أديل هذاأج(X){\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} (X)}}، أينل{\displaystyle {\mathcal {L}}}هي حزمة خطوط علىX{\displaystyle X}[ 15 ]​

مجموعة إيديل

مجموعة إيديلي في مجال عالميك{\displaystyle K}هي مجموعة العناصر القابلة للعكس في حلقة أديلأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}ويُشار إليه عادةً بـ

أك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}

أوأناك{\displaystyle I_{K}}أو بعبارة أخرى، هو الناتج المباشر المقيد

أك×=∏v′كv×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}

من المجموعات الضربية للإكمالاتكv{\displaystyle K_{v}}، مأخوذة فيما يتعلق بمجموعات الوحداتياv×{\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}في الأماكن غير الأرخميدية. وهكذا فإنّ idele هي عائلةx=(xv)v{\displaystyle x=(x_{v})_{v}}، معxv∈كv×{\displaystyle x_{v}\in K_{v}^{\times }}لكل مكانv{\displaystyle v}بحيثxv∈ياv×{\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من غير الأرخميديينv{\displaystyle v}.

بالرغم منأك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}هي مجموعة وحدات حلقة أديل، ولا تُعطى طوبولوجيا الفضاء الجزئي الموروثة منأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}بدلاً من ذلك، تُعطى طوبولوجيا المنتج المقيدة، أو ما يعادلها الطوبولوجيا الناتجة عن التضمين.

أك×⟶أك×أك،x↦(x،x-1).{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}

مع هذه البنية الطوبولوجية،أك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}هي مجموعة طوبولوجية أبيلية متراصة محلياً .

التضمين القطري لـك×{\displaystyle K^{\times }}داخلأك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}يُعطي المجموعة الفرعية من العناصر الرئيسية . ناتج القسمة

جك=أك×/ك×{\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}

هي مجموعة فئات إيديل . تُعد هذه المجموعة عنصرًا مركزيًا في نظرية حقول الفئات ، حيث تكون الامتدادات الأبيلية لـك{\displaystyle K}يتم وصفها من حيث النسب الطوبولوجية لـجك{\displaystyle C_{K}}.

تحمل مجموعة idele أيضًا قيمة مطلقة طبيعية، أو وحدة قياس.

|x|أ=∏v|xv|v،{\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }=\prod _{v}|x_{v}|_{v},}

حيث يتم تطبيع القيم المطلقة المحلية بالطريقة القياسية. يكون الناتج محدودًا بالنسبة للعناصر المثالية، لأن جميع المكونات المحدودة تقريبًا هي وحدات. المجموعة الفرعية

أك1={x∈أك×:|x|أ=1}{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\{x\in \mathbb {A} _{K}^{\times }:|x|_{\mathbb {A} }=1\}}

هي مجموعة المثاليّات المعيارية من الدرجة الأولى. وفقًا لصيغة الضرب،ك×{\displaystyle K^{\times }}يكمن فيأك1{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}، والناتجأك1/ك×{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}صغير الحجم.

بالنسبة لحقول الأعداد، فإن الجزء المنتهي من مجموعة المثاليّات يُسقط بشكل طبيعي على مجموعة المثاليّات الكسرية بواسطة

(xص)ص⟼∏صصvص(xص).{\displaystyle (x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}

النواة هييا^ك×{\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}وبالتالي، يتم استعادة مجموعة الفئات المثالية العادية كحاصل قسمة على مجموعة الفئات المثالية. وبهذه الطريقة، تعمل مجموعة الفئات المثالية على تحسين مجموعة الفئات المثالية من خلال الاحتفاظ ببيانات الوحدات المحلية ومعلومات أرخميدس.

تُستخدم الأيديلات أيضًا في التحليل التوافقي على الحقول العالمية. في أطروحة تيت ، يُعطي التكامل على حلقة الأديل ومجموعة الأيديل معالجة موحدة لهيك.ل{\displaystyle L}الدوال، بما في ذلك نواتج أويلر الخاصة بها، والاستمرار التحليلي، والمعادلات الوظيفية.

خصائص إضافية ورسومات توضيحية

تُقدّم الأقسام السابقة التعريف الأساسي والاستخدامات الرئيسية لحلقة أديل. ويسجّل هذا القسم بعض الحقائق الهيكلية القياسية ورسومات البرهان.

بنية المنتج المقيدة

يمكن توضيح الفرق بين طوبولوجيا المنتج المقيدة وغير المقيدة باستخدام تسلسل فيأسؤال{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}.

اللمة. لنعتبر المتتالية التالية فيأسؤال{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}:
x1=(12،1،1،...)x2=(1،13،1،...)x3=(1،1،15،1،...)x4=(1،1،1،17،1،...)⋮{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}
في بنية المنتج، يتقارب هذا إلى(1،1،...){\displaystyle (1,1,\ldots )}، لكنها لا تتقارب على الإطلاق في طوبولوجيا المنتج المقيد.

البرهان. في طوبولوجيا الضرب، يتوافق التقارب مع التقارب في كل إحداثية، وهو أمر بديهي لأن المتتاليات تصبح ثابتة. لا تتقارب المتتالية في طوبولوجيا الضرب المقيدة. لكل أليلأ=(أص)ص∈أسؤال{\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}ولكل مستطيل مفتوح مقيديو=∏ص∈هـيوص×∏ص∉هـZص،{\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}لديها1ص-أص∉Zص{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}لأص∈Zص{\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}وبالتالي1ص-أص∉Zص{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}للجميعص∉F.{\displaystyle p\notin F.}نتيجة لxن-أ∉يو{\displaystyle x_{n}-a\notin U}بالنسبة للجميع تقريباًن∈شمال.{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}وفي هذا السياق،هـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}هي مجموعات جزئية منتهية من مجموعة جميع الأماكن.

أوصاف بديلة لحقول الأرقام

تُعرَّف الأعداد الصحيحة المنتهية بأنها الإكمال المنتهي للحلقاتZ/نZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }مع الترتيب الجزئين≥م⇔م|ن،{\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}أي،

Z^:=ليم←ن⁡Z/نZ.{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}
اللمة.Z^≅∏صZص.{\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}

البرهان. هذا يتبع من نظرية الباقي الصينية .

اللمة.أسؤال،وأنان=Z^⊗Zسؤال.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}

البرهان. استخدم الخاصية العامة للجداء الموتري. عرّف aZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- دالة ثنائية الخطية

{Ψ:Z^×سؤال→أسؤال،وأنان((أص)ص،q)↦(أصq)ص.{\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}.\end{cases}}}

هذا محدد جيدًا لأنه بالنسبة لـq=من∈سؤال{\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }معم،ن{\displaystyle m,n}الأعداد الأولية فيما بينها: يوجد عدد محدود فقط من الأعداد الأولية التي تقسمن.{\displaystyle n.}يتركم{\displaystyle M}كن شخصًا آخرZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- وحدة معZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- خريطة ثنائية الخطيةΦ:Z^×سؤال→م.{\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.} يجب أن يكون الأمر كذلكΦ{\displaystyle \Phi }العوامل من خلالΨ{\displaystyle \Psi }بشكل فريد، أي يوجد شيء فريدZ{\displaystyle \mathbb {Z} }خريطة خطيةΦ~:أسؤال،وأنان→م{\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\to M}بحيثΦ=Φ~∘Ψ.{\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}Φ~{\displaystyle {\tilde {\Phi }}}يمكن تعريفها على النحو التالي: بالنسبة لـ(uص)ص{\displaystyle (u_{p})_{p}}يوجدu∈شمال{\displaystyle u\in \mathbb {N} }و(vص)ص∈Z^{\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}بحيثuص=1u⋅vص{\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}للجميعص.{\displaystyle p.}يُعرِّفΦ~((uص)ص):=Φ((vص)ص،1u).{\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}يمكن للمرء أن يُظهرΦ~{\displaystyle {\tilde {\Phi }}}محدد جيدًا،Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-خطي، يفي بالغرضΦ=Φ~∘Ψ{\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }وهو فريد من نوعه بهذه الخصائص.

نتيجة. تعريفأZ:=Z^×R.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}ينتج عن ذلك تماثل جبريأسؤال≅أZ⊗Zسؤال.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}

دليل.

أZ⊗Zسؤال=(Z^×R)⊗Zسؤال≅(Z^⊗Zسؤال)×(R⊗Zسؤال)≅(Z^⊗Zسؤال)×R=أسؤال،وأنان×R=أسؤال.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}
اللمة. لحقل عدديك{\displaystyle K}،أك=أسؤال⊗سؤالك.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}

ملاحظة. باستخدامأسؤال⊗سؤالك≅أسؤال⊕⋯⊕أسؤال،{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}حيث يوجد[ك:سؤال]{\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}بالنسبة للمُجمّعات، يستقبل الجانب الأيمن طوبولوجيا المنتج، ويتم نقل هذه الطوبولوجيا عبر التشاكل إلىأسؤال⊗سؤالك.{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}

الامتدادات المحدودة

لول/ك{\displaystyle L/K}إذا كان امتدادًا محدودًا،ل{\displaystyle L}هو مجال عالمي. وبالتاليأل{\displaystyle \mathbb {A} _{L}}يتم تعريفها، وأل=∏v′لv.{\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}'L_{v}.}الخاتمأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يمكن تحديدها من خلال حلقة فرعية منأل.{\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}رسم خريطةأ=(أv)v∈أك{\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}لأ′=(أw′)w∈أل{\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}، أينأw′=أv∈كv⊂لw{\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}لw|v.{\displaystyle w|v.}ثمأ=(أw)w∈أل{\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}موجود في الحلقة الفرعيةأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}لوأw∈كv{\displaystyle a_{w}\in K_{v}}لw|v{\displaystyle w|v}وأw=أw′{\displaystyle a_{w}=a_{w'}}للجميعw،w′{\displaystyle w,w'}يقع فوق نفس المكانv{\displaystyle v}لك.{\displaystyle K.}

اللمة. إذال/ك{\displaystyle L/K}إذا كان امتدادًا محدودًا،أل≅أك⊗كل{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}جبريًا وطوبولوجيًا.

وبمساعدة هذا التشاكل، يتم تضمينأك⊂أل{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}يُعطى بواسطة

{أك→ألα↦α⊗ك1.{\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1.\end{cases}}}

علاوة على ذلك، فإن الأديل الرئيسية فيأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يمكن تحديدها مع مجموعة فرعية من الأديلات الرئيسية فيأل{\displaystyle \mathbb {A} _{L}}عن طريق التضمين الطبيعيك→ل.{\displaystyle K\to L.}

البرهان. [ 16 ] ليكنω1،...،ωن{\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}أن يكون أساسًا لـل{\displaystyle L}زيادةك.{\displaystyle K.}ثم بالنسبة للجميع تقريباًv،{\displaystyle v,}

ياv~≅ياvω1⊕⋯⊕ياvωن.{\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}

علاوة على ذلك، توجد التشاكلات التالية:

كvω1⊕⋯⊕كvωن≅كv⊗كل≅لv=∏w|vلw.{\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}.}

أما بالنسبة للثاني، فاستخدم الخريطة

{كv⊗كل→لvαv⊗أ↦(αv⋅(τw(أ)))w{\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}

في أيτw:ل→لw{\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}هو التضمين المتعارف عليه وw|v.{\displaystyle w|v.}يتم أخذ المنتج المقيد من كلا الجانبين فيما يتعلق بـياv~:{\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}

أك⊗كل=(∏v′كv)⊗كل≅∏v′(كvω1⊕⋯⊕كvωن)≅∏v′(كv⊗كل)≅∏v′لv=أل.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}'K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}'(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}'(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}'L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}.\end{aligned}}}
نتيجة. كمجموعات إضافيةأل≅أك⊕⋯⊕أك،{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}حيث يحتوي الجانب الأيمن[ل:ك]{\displaystyle [L:K]}الأوامر.

مجموعة الأديلات الرئيسية فيأل{\displaystyle \mathbb {A} _{L}}يتم تحديدها مع المجموعةك⊕⋯⊕ك{\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K}حيث يحتوي الجانب الأيسر[ل:ك]{\displaystyle [L:K]}الأوامر وك{\displaystyle K}يُعتبر جزءًا منأك.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}

أديل الفضاءات المتجهة والجبر

يتركهـ{\displaystyle E}ليكن فضاء متجهي ذو أبعاد منتهية علىك{\displaystyle K}و{ω1،...،ωن}{\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}أساس لـهـ{\displaystyle E}زيادةك.{\displaystyle K.}لكل مكانv{\displaystyle v}لك{\displaystyle K}:

هـv:=هـ⊗ككv≅كvω1⊕⋯⊕كvωن،ياv~:=ياvω1⊕⋯⊕ياvωن.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.\end{aligned}}}

خاتم أديلهـ{\displaystyle E}يُعرَّف بأنه

أهـ:=∏v′هـv.{\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}'E_{v}.}

يستند هذا التعريف إلى الوصف البديل لحلقة أديل باعتبارها حاصل ضرب موتر مزودًا بنفس البنية الطوبولوجية التي تم تعريفها عند تقديم تعريف بديل لحلقة أديل لحقول الأعداد. بعد ذلك،أهـ{\displaystyle \mathbb {A} _{E}}مزود ببنية المنتج المقيدة. ثمأهـ=هـ⊗كأك{\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}وهـ{\displaystyle E}مضمنة فيأهـ{\displaystyle \mathbb {A} _{E}}بشكل طبيعي عبر الخريطةهـ↦هـ⊗1.{\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}

تعريف بديل للطوبولوجيا علىأهـ{\displaystyle \mathbb {A} _{E}}يمكن توفيرها. ضع في اعتبارك جميع الخرائط الخطيةهـ→ك.{\displaystyle E\to K.}استخدام التضمينات الطبيعيةهـ→أهـ{\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}وك→أك،{\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}قم بتوسيع هذه الخرائط الخطية إلىأهـ→أك.{\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}الطوبولوجيا علىأهـ{\displaystyle \mathbb {A} _{E}}هي أدق طوبولوجيا تكون فيها جميع هذه الامتدادات متصلة.

يمكن تعريف الطوبولوجيا بطريقة مختلفة. تحديد أساس لـهـ{\displaystyle E}زيادةك{\displaystyle K}ينتج عنه تماثلهـ≅كن.{\displaystyle E\cong K^{n}.}لذلك، فإن تثبيت أساس ما يؤدي إلى تماثل.(أك)ن≅أهـ.{\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}يُزوَّد الجانب الأيسر بطوبولوجيا الضرب، وتُنقل هذه الطوبولوجيا مع التشاكل إلى الجانب الأيمن. لا تعتمد الطوبولوجيا على اختيار الأساس، لأن أساسًا آخر يُعرِّف تشاكلًا ثانيًا. بتركيب التشاكلين، نحصل على تشاكل خطي ينقل الطوبولوجيتين إلى بعضهما البعض. بتعبير أدق،

أهـ=هـ⊗كأك≅(ك⊗كأك)⊕⋯⊕(ك⊗كأك)≅أك⊕⋯⊕أك،{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},\end{aligned}}}

حيث تكون المجاميعن{\displaystyle n}الأوامر. في حالةهـ=ل،{\displaystyle E=L,}يتوافق التعريف أعلاه مع النتائج المتعلقة بحلقة أديل لامتداد محدودل/ك.{\displaystyle L/K.}[ 17 ]

يتركأ{\displaystyle A}ليكن جبرًا محدود الأبعاد علىك.{\displaystyle K.}بخاصة،أ{\displaystyle A}هو فضاء متجهي ذو أبعاد محدودة علىك.{\displaystyle K.}ونتيجة لذلك،أأ{\displaystyle \mathbb {A} _{A}}يتم تعريفها وأأ≅أك⊗كأ.{\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}بما أن هناك عملية ضرب علىأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}وأ،{\displaystyle A,}عملية ضرب علىأأ{\displaystyle \mathbb {A} _{A}}يمكن تعريفها عبر

∀α،β∈أك و ∀أ،ب∈أ:(α⊗كأ)⋅(β⊗كب):=(αβ)⊗ك(أب).{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}

ونتيجة لذلك،أأ{\displaystyle \mathbb {A} _{A}}هو جبر ذو وحدة علىأك.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}يتركب{\displaystyle {\mathcal {B}}}لتكن مجموعة جزئية منتهية منأ{\displaystyle A}، والتي تتضمن أساسًا لـأ{\displaystyle A}زيادةك.{\displaystyle K.}لأي مكان محدودv{\displaystyle v}،مv{\displaystyle M_{v}}يُعرَّف بأنهياv{\displaystyle O_{v}}- وحدة تم إنشاؤها بواسطةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}فيأv.{\displaystyle A_{v}.}لكل مجموعة محدودة من الأماكنP⊃P∞،{\displaystyle P\supset P_{\infty },}يُعرِّف

أأ(P،α)=∏v∈Pأv×∏v∉Pمv.{\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}

يمكن للمرء أن يثبت وجود مجموعة منتهيةP0{\displaystyle P_{0}}لهذا السبب.أأ(P،α){\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}هي حلقة فرعية مفتوحة منأأ{\displaystyle \mathbb {A} _{A}}، لوP⊃P0.{\displaystyle P\supset P_{0}.}بالإضافة إلىأأ{\displaystyle \mathbb {A} _{A}}هو اتحاد كل هذه الحلقات الفرعية ولـأ=ك{\displaystyle A=K}، التعريف أعلاه يتوافق مع تعريف حلقة أديل.

التتبع والمعيار

يتركل/ك{\displaystyle L/K}ليكن امتدادًا محدودًا. بما أنأك=أك⊗كك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}وأل=أك⊗كل{\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}انطلاقاً من اللمة أعلاه،أك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}يمكن تفسيرها على أنها حلقة فرعية مغلقة منأل.{\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}لهذا التضمين، اكتبمحتالل/ك{\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}. بشكل صريح، لجميع الأماكنw{\displaystyle w}لل{\displaystyle L}فوقv{\displaystyle v}ولأيα∈أك{\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}،

(محتالل/ك⁡(α))w=αv∈كv.{\displaystyle (\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}

يتركم/ل/ك{\displaystyle M/L/K}كن برجًا للحقول العالمية. ثم

محتالم/ك⁡(α)=محتالم/ل⁡(محتالل/ك⁡(α))∀α∈أك.{\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}

علاوة على ذلك، يقتصر على الأديلات الرئيسيةمحتال{\displaystyle \operatorname {con} }الحقنة الطبيعيةك→ل.{\displaystyle K\to L.}

يترك{ω1،...،ωن}{\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}أن يكون أساسًا لتوسيع المجالل/ك.{\displaystyle L/K.}ثم كلα∈أل{\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}يمكن كتابتها على النحو التالي∑ج=1نαجωج{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j}}، أينαج∈أك{\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}فريدة من نوعها. الخريطةα↦αج{\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}متصلة. عرّفαأناج{\displaystyle \alpha _{ij}}، اعتمادا عليα{\displaystyle \alpha }، عبر المعادلات

αω1=∑ج=1نα1جωج،⋮αωن=∑ج=1نαنجωج.{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j},\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}.\end{aligned}}}

والآن، حدد أثر ومعيارα{\displaystyle \alpha }مثل

Trل/ك⁡(α):=Tr⁡((αأناج)أنا،ج)=∑أنا=1نαأناأنا،شمالل/ك(α):=شمال((αأناج)أنا،ج)=المحقق((αأناج)أنا،ج).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii},\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j}).\end{aligned}}}

هذان هما أثر ومحدد الخريطة الخطية

{أل→ألx↦αx.{\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x.\end{cases}}}

هي عبارة عن دوال متصلة على حلقة الأديل، وتفي بالمعادلات المعتادة:

Trل/ك⁡(α+β)=Trل/ك⁡(α)+Trل/ك⁡(β)∀α،β∈أل،Trل/ك⁡(محتال⁡(α))=نα∀α∈أك،شمالل/ك(αβ)=شمالل/ك(α)شمالل/ك(β)∀α،β∈أل،شمالل/ك(محتال⁡(α))=αن∀α∈أك.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L},\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K},\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L},\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.\end{aligned}}}

علاوة على ذلك، بالنسبة لـα∈ل{\displaystyle \alpha \in L}،Trل/ك⁡(α){\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}وشمالل/ك(α){\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}وهي مطابقة لأثر ومعيار امتداد الحقلل/ك.{\displaystyle L/K.}من أجل برج من الحقولم/ل/ك{\displaystyle M/L/K}والنتيجة هي

Trل/ك⁡(Trم/ل⁡(α))=Trم/ك⁡(α)∀α∈أم،شمالل/ك(شمالم/ل(α))=شمالم/ك(α)∀α∈أم.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M},\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}.\end{aligned}}}

علاوة على ذلك، يمكن إثبات ما يلي: [ 18 ]

Trل/ك⁡(α)=(∑w|vTrلw/كv⁡(αw))v∀α∈أل،شمالل/ك(α)=(∏w|vشماللw/كv(αw))v∀α∈أل.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L},\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}.\end{aligned}}}

انفصال الصورة القطرية وتماسكها

النظرية. [ 19 ]ك{\displaystyle K}منفصل ومدمج فيأك.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}بخاصة،ك{\displaystyle K}مغلق فيأك.{\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}

إثبات. أثبت القضيةك=سؤال.{\displaystyle K=\mathbb {Q} .}لإظهارسؤال⊂أسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}إذا كانت منفصلة، ​​يكفي إثبات وجود جوار لـ0{\displaystyle 0}والذي لا يحتوي على أي عدد نسبي آخر . الحالة العامة تتبع عن طريق الإزاحة. عرّف

يو:={(αص)ص:∀ص<∞، |αص|ص≤1و|α∞|∞<1}=Z^×(-1،1).{\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}:\forall p<\infty ,\ |\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}

يو{\displaystyle U}هو حي مفتوح0∈أسؤال.{\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}يُزعم أنيو∩سؤال={0}.{\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}يتركβ∈يو∩سؤال.{\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} .}ثمβ∈سؤال{\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }و|β|ص≤1{\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}للجميعص{\displaystyle p}وبالتاليβ∈Z.{\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}بالإضافة إلى ذلك،β∈(-1،1){\displaystyle \beta \in (-1,1)}وبالتاليβ=0.{\displaystyle \beta =0.}

بعد ذلك، ولإظهار التراص، حدد

دبليو:={(αص)ص:∀ص<∞، |αص|ص≤1و|α∞|∞≤12}=Z^×[-12،12].{\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}:\forall p<\infty ,\ |\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}

كل عنصر فيأسؤال/سؤال{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }لديه ممثل فيدبليو{\displaystyle W}أي لكلα∈أسؤال{\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}، يوجدβ∈سؤال{\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }بحيثα-β∈دبليو.{\displaystyle \alpha -\beta \in W.}يتركα=(αص)ص∈أسؤال{\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}أن يكون تعسفياً وص{\displaystyle p}كن رئيسًا لـ|αص|>1.{\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}ثم يوجدرص=zص/صxص{\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}، معzص∈Z{\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} }وxص∈شمال{\displaystyle x_{p}\in \mathbb {N} }بحيث|αص-رص|≤1.{\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}يستبدلα{\displaystyle \alpha }معα-رص{\displaystyle \alpha -r_{p}}ودعq≠ص{\displaystyle q\neq p}ليكن عددًا أوليًا آخر. ثم

|αq-رص|q≤الأعلى{|αq|q،|رص|q}≤الأعلى{|αq|q،1}≤1.{\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|\alpha _{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|\alpha _{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}

بعد ذلك، يمكن الادعاء بأن

|αq-رص|q≤1⟺|αq|q≤1.{\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}

الاستلزام العكسي صحيحٌ بديهيًا. الاستلزام صحيح لأن حدي متباينة المثلث القوية متساويان إذا كانت القيم المطلقة لكلا العددين الصحيحين مختلفة. ونتيجةً لذلك، فإن المجموعة المنتهية من الأعداد الأولية التي تكون فيها مكوناتα{\displaystyle \alpha }ليسوا فيZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}يتم تقليله بمقدار واحد. مع التكرار، يمكن استنتاج أنه يوجدر∈سؤال{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }بحيثα-ر∈Z^×R.{\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}اختر الآنs∈Z{\displaystyle s\in \mathbb {Z} }بحيثα∞-ر-s∈[-12،12].{\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}].}ثمα-(ر+s)∈دبليو.{\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}الإسقاط المستمرπ:دبليو→أسؤال/سؤال{\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }هو شامل، لذلكأسؤال/سؤال{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }باعتبارها الصورة المستمرة لمجموعة متراصة، فهي متراصة.

نتيجة. ليكنهـ{\displaystyle E}ليكن فضاء متجهي ذو أبعاد منتهية علىك.{\displaystyle K.}ثمهـ{\displaystyle E}منفصل ومدمج فيأهـ.{\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}

نظريات التقريب

نظرية التقريب الضعيف. [ 20 ] ليكن|⋅|1،...،|⋅|شمال{\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N}}تكون التقييمات غير متكافئة لـك.{\displaystyle K.}يترككن{\displaystyle K_{n}}يكون ذلك اكتمالاً لـك{\displaystyle K}بالنسبة إلى|⋅|ن.{\displaystyle |\cdot |_{n}.}تضمينك{\displaystyle K}بشكل قطري فيك1×⋯×كشمال.{\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}ثمك{\displaystyle K}كثيفة في كل مكانك1×⋯×كشمال.{\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}بمعنى آخر، لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}ولكل(α1،...،αشمال)∈ك1×⋯×كشمال{\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N}}، يوجدξ∈ك{\displaystyle \xi \in K}بحيث
∀ن∈{1،...،شمال}:|αن-ξ|ن<ε.{\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}
نظرية التقريب القوي. [ 21 ] ليكنv0{\displaystyle v_{0}}كن مكانًا لـك.{\displaystyle K.}يُعرِّف
V:=∏v≠v0′كv.{\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}'K_{v}.}
ثمك{\displaystyle K}كثيف فيV.{\displaystyle V.}

ملاحظة: الحقل العالمي منفصل في حلقة أديل الخاصة به. تنص نظرية التقريب القوي على أنه إذا تم حذف مكان واحد أو أكثر، فإن خاصية الانفصال لـك{\displaystyle K}يتحول إلى كثافة منك.{\displaystyle K.}

النتائج الحسابية

نظرية (انتهاء عدد الفئات لحقل عددي). ليكنك{\displaystyle K}ليكن حقلًا رقميًا. ثم|Clك⁡|<∞.{\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}

الدليل. الخريطة

{أناك1→جك((αv)v<∞،(αv)v|∞)↦∏v<∞صvv(αv){\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}

هو شامل، وبالتاليClك{\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}هي الصورة المتصلة للمجموعة المدمجةأناك1/ك×.{\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}هكذاClك{\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}إنها مضغوطة. بالإضافة إلى ذلك، فهي منفصلة وبالتالي محدودة.

ملاحظة: توجد نتيجة مماثلة في حالة حقل الدوال العام. في هذه الحالة، تُعرَّف ما يُسمى بمجموعة القواسم. ويمكن إثبات أن خارج قسمة مجموعة جميع قواسم الدرجة0{\displaystyle 0}[ 22 ] مجموعة القواسم الرئيسية هي زمرة منتهية.

يتركP⊃P∞{\displaystyle P\supset P_{\infty }}ليكن مجموعة محدودة من الأماكن. عرّف

Ω(P):=∏v∈Pكv××∏v∉Pياv×=(أك(P))×،هـ(P):=ك×∩Ω(P).{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times },\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P).\end{aligned}}}

ثمهـ(P){\displaystyle E(P)}هي مجموعة فرعية منك×{\displaystyle K^{\times }}، تحتوي على جميع العناصرξ∈ك×{\displaystyle \xi \in K^{\times }}مُرضٍv(ξ)=0{\displaystyle v(\xi )=0}للجميعv∉P.{\displaystyle v\notin P.}منذك×{\displaystyle K^{\times }}منفصل فيأناك{\displaystyle I_{K}}،هـ(P){\displaystyle E(P)}هي مجموعة فرعية منفصلة منΩ(P){\displaystyle \Omega (P)}وبنفس الحجة،هـ(P){\displaystyle E(P)}منفصل فيΩ1(P):=Ω(P)∩أناك1.{\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}

تعريف بديل هوهـ(P)=ك(P)×{\displaystyle E(P)=K(P)^{\times }}، أينك(P){\displaystyle K(P)}هي حلقة فرعية منك{\displaystyle K}محدد بواسطة

ك(P):=ك∩(∏v∈Pكv×∏v∉Pياv).{\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}

ونتيجة لذلك،ك(P){\displaystyle K(P)}يحتوي على جميع العناصرξ∈ك{\displaystyle \xi \in K}والتي تحققv(ξ)≥0{\displaystyle v(\xi )\geq 0}للجميعv∉P.{\displaystyle v\notin P.}

اللمة. ليكن0<ج≤ج<∞.{\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}المجموعة التالية منتهية:
{η∈هـ(P):{|ηv|v=1∀v∉P،ج≤|ηv|v≤ج∀v∈P.}}.{\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P,\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P.\end{cases}}\right\}\right\}.}

برهان. تعريف

دبليو:={(αv)v:{|αv|v=1∀v∉P،ج≤|αv|v≤ج∀v∈P.}}.{\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P,\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P.\end{cases}}\right\}\right\}.}

دبليو{\displaystyle W}هي مجموعة متراصة، والمجموعة الموصوفة أعلاه هي تقاطعدبليو{\displaystyle W}مع المجموعة الفرعية المنفصلةك×{\displaystyle K^{\times }}فيأناك{\displaystyle I_{K}}وبالتالي فهي محدودة.

اللمة. ليكنهـ{\displaystyle E}مجموعة من كلξ∈ك{\displaystyle \xi \in K}بحيث|ξ|v=1{\displaystyle |\xi |_{v}=1}للجميعv.{\displaystyle v.}ثمهـ=μ(ك){\displaystyle E=\mu (K)}، مجموعة جميع جذور الوحدةك.{\displaystyle K.}وعلى وجه الخصوص، فهي محدودة ودورية.

برهان. جميع جذور وحدةك{\displaystyle K}لها قيمة مطلقة1{\displaystyle 1}، لذاμ(ك)⊂هـ.{\displaystyle \mu (K)\subset E.}أما بالنسبة للعكس، فلاحظ أن اللمة السابقة معج=ج=1{\displaystyle c=C=1}وأيP{\displaystyle P}يشير إلىهـ{\displaystyle E}محدود. علاوة على ذلكهـ⊂هـ(P){\displaystyle E\subset E(P)}لكل مجموعة محدودة من الأماكنP⊃P∞.{\displaystyle P\supset P_{\infty }.}وأخيرًا، لنفترض أن هناكξ∈هـ{\displaystyle \xi \in E}وهو ليس أصلاً لوحدةك.{\displaystyle K.}ثمξن≠1{\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}للجميعن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }، مما يناقض محدوديةهـ.{\displaystyle E.}

نظرية الوحدة.هـ(P){\displaystyle E(P)}هو نتاج مباشر لـهـ{\displaystyle E}ومجموعة متماثلة معZs{\displaystyle \mathbb {Z} ^{s}}، أينs=0{\displaystyle s=0}لوP=∅{\displaystyle P=\emptyset }وs=|P|-1{\displaystyle s=|P|-1}لوP≠∅.{\displaystyle P\neq \emptyset .}[ 23 ]
نظرية ديريشليه للوحدات. ليكنك{\displaystyle K}ليكن حقلًا رقميًا. ثم
يا×≅μ(ك)×Zر+s-1،{\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}

أينμ(ك){\displaystyle \mu (K)}هي المجموعة الدورية المنتهية لجميع جذور الوحدة لـك{\displaystyle K}،ر{\displaystyle r}يمثل عدد التضمينات الحقيقية لـك{\displaystyle K}، وs{\displaystyle s}يمثل عدد الأزواج المترافقة من التضمينات المعقدة لـك.{\displaystyle K.}يبقى أن[ك:سؤال]=ر+2s.{\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}

ملاحظة: تُعمم نظرية الوحدة نظرية ديريشليه للوحدة. ولإثبات ذلك، لنفترضك{\displaystyle K}ليكن حقلًا رقميًا. من المعروف مسبقًا أنهـ=μ(ك){\displaystyle E=\mu (K)}، تعيينP=P∞{\displaystyle P=P_{\infty }}ولاحظ|P∞|=ر+s.{\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}ثم هناك

هـ×Zر+s-1=هـ(P∞)=ك×∩(∏v|∞كv××∏v<∞ياv×)≅ك×∩(∏v<∞ياv×)≅يا×.{\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }.\end{aligned}}}

الازدواجية للفضاءات المتجهة الأديلية

تمتد خاصية الازدواجية الذاتية لحلقة الأديل إلى فضاءات المتجهات الأديلية.

نظرية (الثنائيات الجبرية والمتصلة لحلقة أديل). [ 24 ] ليكنχ{\displaystyle \chi }أن يكون سمة غير تافهة منأك{\displaystyle \mathbb {A} _{K}}وهو أمر تافه فيك.{\displaystyle K.}يتركهـ{\displaystyle E}ليكن فضاء متجهي ذو أبعاد منتهية علىك.{\displaystyle K.}يتركهـ⋆{\displaystyle E^{\star }}وأهـ⋆{\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}لتكن الثنائيات الجبرية لـهـ{\displaystyle E}وأهـ.{\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}لنرمز إلى الثنائي الطوبولوجي لـأهـ{\displaystyle \mathbb {A} _{E}}بواسطةأهـ′{\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}واستخدام⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }و[⋅،⋅]{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}للإشارة إلى الاقترانات الثنائية الخطية الطبيعية علىأهـ×أهـ′{\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}وأهـ×أهـ⋆.{\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}ثم الصيغة
⟨هـ،هـ′⟩=χ([هـ،هـ⋆]){\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}

للجميعهـ∈أهـ{\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}يحدد التشاكلهـ⋆↦هـ′{\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}لأهـ⋆{\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}علىأهـ′{\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}، أينهـ′∈أهـ′{\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}وهـ⋆∈أهـ⋆.{\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}علاوة على ذلك، إذاهـ⋆∈أهـ⋆{\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}يفي بالغرضχ([هـ،هـ⋆])=1{\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}للجميعهـ∈هـ{\displaystyle e\in E}، ثمهـ⋆∈هـ⋆.{\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ويل 1995 , الفصل. رابعا.
  2. 1 2 3 4 5 نوكيرش 1999 ، الفصل السادس ، §1.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كاسيلز وفروليتش ​​1967 , الفصل. ثانيا.
  4. 1 2 3 4 5 راماكريشنان وفالينزا 1999 ، الفصل. 5.
  5. 1 2 3 4 5 تيت 1967 .
  6. 1 2 3 راماكريشنان وفالينزا 1999 .
  7. ↑ ديتمار 2010 ، ص 126.
  8. ↑ ديتمار 2010 ، ص 128-139.
  9. ↑ ديتمار 2010 ، ص 128.
  10. ↑ نوكيرش 1999 ، الفصل السادس.
  11. ↑ ويل 1995 ، الفصل السابع.
  12. ^ كاسيلز وفروليتش ​​1967 .
  13. 1 2 Bump 1997 .
  14. ↑ ديتمار 2010 ، الفصلان 7-8.
  15. ↑ تيت 1968 .
  16. ↑ يمكن العثور على هذا الدليل في كاسيلز وفروهليش 1967 ، ص 64 . 
  17. ↑ تستند التعريفات إلى ويل 1967 ، ص 60 . 
  18. ^ انظر فايل 1967 ، ص. 64 أو كاسيلز وفروليتش ​​1967 ، ص. 74 .  
  19. ^ انظر كاسيلز وفروليتش ​​1967 ، ص. 64 ، نظرية أو ويل 1967 ، ص. 64 , النظرية 2.  
  20. ↑ يمكن العثور على دليل في كاسيلز وفروهليش 1967 ، ص 48 . 
  21. ↑ يمكن العثور على دليل في كاسيلز وفروهليش 1967 ، ص 67 . 
  22. ↑ لمزيد من المعلومات، انظر Cassels & Fröhlich 1967 ، ص 71 . 
  23. ↑ يمكن العثور على دليل في Weil 1967 ، ص 78 أو في Cassels & Fröhlich 1967 ، ص 72 .  
  24. ↑ يمكن العثور على دليل في Weil 1967 ، ص 66 . 

مصادر

  • بامب، دانيال (1997)، الأشكال والتمثيلات التلقائية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  55، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-65818-8
  • كاسيلز، جون ؛ فروليش، ألبريشت (1967). نظرية الأعداد الجبرية: وقائع مؤتمر تعليمي، نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) . المجلد  الثامن عشر. لندن: أكاديميك برس. ISBN 978-0-12-163251-9.366 صفحة.
  • ديتمار، أنطون (2010). أوتومورفي فورمين (في المانيا). المجلد.  ثامنا. برلين؛ هايدلبرغ (وا): سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-12389-4.250 صفحة.
  • نيوكيرش ، يورغن (1999)، نظرية الأعداد الجبرية ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد.  322، ترجمة شاباخر، نوربرت، سبرينغر، ISBN 978-3-540-65399-8
  • راماكريشنان، ديناكار؛ فالينزا، روبرت ج. (1999)، تحليل فورييه على حقول الأعداد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  186، سبرينغر، ISBN 978-0-387-98436-0
  • تيت، جون ( 1967)، "تحليل فورييه في حقول الأعداد، ودوال زيتا لهيكه"، في كاسيلز، جي دبليو إس؛ فروليش، ألبريشت (محرران)، نظرية الأعداد الجبرية ، لندن: أكاديميك برس، ص 305-347 
  • تيت ، جون (1968)، “بقايا التفاضلات على المنحنيات”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، 4، 1 (1): 149– 159، دوى : 10.24033 / asens.1162 ، Zbl 0159.22702 
  • ويل، أندريه (1967). نظرية الأعداد الأساسية . المجلد  الثامن عشر. برلين؛ هايدلبرغ؛ نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-3-662-00048-9.294 صفحة.
  • ويل، أندريه (1995)، نظرية الأعداد الأساسية ، سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-540-58655-5