نظرية عدم الانضغاط

تُعدّ نظرية عدم الانضغاط، أو نظرية غروموف لعدم الانضغاط ، من أهم النظريات في الهندسة التبسيطية . ^{[ 1 ]} وقد أثبتها ميخائيل غروموف لأول مرة عام 1985. ^{[ 2 ]} تنصّ النظرية على أنه لا يمكن تضمين كرة داخل أسطوانة باستخدام تحويل تبسيطي إلا إذا كان نصف قطر الكرة أقل من أو يساوي نصف قطر الأسطوانة. تكمن أهمية هذه النظرية في قلة المعلومات المتوفرة سابقًا حول الهندسة الكامنة وراء التحويلات التبسيطية. ومن النتائج المباشرة لكون التحويل تبسيطيًا أنه يحافظ على الحجم . ^{[ 3 ]} يمكن بسهولة تضمين كرة بأي نصف قطر داخل أسطوانة بأي نصف قطر آخر باستخدام تحويل يحافظ على الحجم : تخيّل فقط ضغط الكرة داخل الأسطوانة (ومن هنا جاء اسم نظرية عدم الانضغاط). وبالتالي، فإن نظرية عدم الانضغاط تخبرنا أنه على الرغم من أن التحويلات التبسيطية تحافظ على الحجم، إلا أن كون التحويل تبسيطيًا أكثر تقييدًا بكثير من كونه يحافظ على الحجم.

لننظر في الفضاءات التبسيطية

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

${\displaystyle B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},}$

${\displaystyle Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<R^{2}\},}$

كل منها مزود بالشكل التبسيطي

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

المساحة${\displaystyle B^{2n}(r)}$تُسمى كرة نصف قطرها${\displaystyle r}$و${\displaystyle Z^{2n}(R)}$يُطلق عليه اسم الأسطوانة ذات نصف القطر${\displaystyle R}$إن اختيار محاور الأسطوانة ليس عشوائيًا بالنظر إلى الشكل التبسيطي الثابت أعلاه؛ تقع كل دائرة من دوائر الأسطوانة في فضاء تبسيطي فرعي من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

لو${\displaystyle (M,\eta )}$و${\displaystyle (N,\nu )}$هي مشعبات سيمبلكتية، وتضمين سيمبلكتي${\displaystyle \varphi$ :(M,\eta )\to (N,\nu )} هو تضمين سلس${\displaystyle \varphi :M\to N}$بحيث${\displaystyle \varphi ^{*}\nu =\eta }$. ل${\displaystyle r\leq R}$، يوجد تضمين سيمبليكتيكي${\displaystyle B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$الأمر الذي يأخذ${\displaystyle x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$إلى نفس النقطة${\displaystyle x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$.

تنص نظرية غروموف لعدم الانضغاط على أنه إذا كان هناك تضمين تماثلي${\displaystyle \varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$، ثم${\displaystyle r\leq R}$[ ^{3 ]​}

السعة التبسيطية هي خريطة${\displaystyle c:\{{\text{symplectic manifolds}}\}\to [0,\infty ]}$مُرضٍ

1. (الرتابة) إذا كان هناك تضمين تماثلي${\displaystyle (M,\omega )\to (N,\eta )}$و${\displaystyle \dim M=\dim N}$، ثم${\displaystyle c(M,\omega )\leq c(N,\eta )}$،
2. (الامتثال)${\displaystyle c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )}$،
3. (غير تافه)${\displaystyle c(B^{2n}(1))>0}$و${\displaystyle c(Z^{2n}(1))<\infty }$[ ^{3 ]​}

وجود سعة تماثلية تحقق

${\displaystyle c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi }$

يكافئ ذلك نظرية غروموف لعدم الانضغاط. وبمعرفة هذه السعة، يمكن التحقق من نظرية عدم الانضغاط، وبناءً على نظرية عدم الانضغاط، يكون عرض غروموف

${\displaystyle w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}}$

هذه إحدى هذه القدرات. ^{[ 3 ]}

أصبحت نظرية غروموف لعدم الانضغاط تُعرف أيضًا باسم مبدأ الجمل التبسيطي، وذلك لأن إيان ستيوارت أشار إليها مستشهدًا بمثل الجمل وثقب الإبرة . ^{[ 4 ]} كما يقول موريس أ. دي غوسون :

لماذا نشير إلى الجمل التبسيطي في عنوان هذه الورقة؟ ذلك لأنه يمكن إعادة صياغة نظرية غروموف على النحو التالي: لا توجد طريقة لتشويه كرة فضاء الطور باستخدام التحويلات القانونية بحيث يمكننا جعلها تمر عبر ثقب في مستوى الإحداثيات المترافقة.${\displaystyle x_{j}}$ ،${\displaystyle p_{j}}$إذا كانت مساحة تلك الحفرة أصغر من مساحة المقطع العرضي لتلك الكرة.

بصورة مماثلة:

بشكل بديهي، لا يمكن تمديد حجم في فضاء الطور بالنسبة لمستوى تماثلي معين أكثر مما يسمح به "عرضه التماثلي". بعبارة أخرى، يستحيل حشر جمل تماثلي في ثقب إبرة، إذا كانت الإبرة صغيرة بما يكفي. هذه نتيجة بالغة الأهمية، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بطبيعة هاميلتون للنظام، وهي نتيجة مختلفة تمامًا عن نظرية ليوفيل ، التي تهتم فقط بالحجم الكلي ولا تفرض أي قيود على الشكل .

على الرغم من أن مصطلح "الجمل التبسيطي" يُستخدم أحيانًا بشكل فضفاض لوصف نظرية غروموف لعدم الانضغاط في صيغتها الساكنة، فإن خبراء الطوبولوجيا التبسيطية يحصرونه في الصيغة البارامترية، التي تتعلق باستحالة نقل كرة تبسيطية من جانب إلى آخر من مستوى فائق H عبر عائلة ذات بارامتر واحد من التضمينات التبسيطية، بحيث تكون الاختزالات التبسيطية لتقاطعات الكرات مع المستوى الفائق H محصورة دائمًا في أسطوانة ذات سعة أصغر. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

أثبت دي غوسون أن نظرية عدم الانضغاط مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمتباينة روبرتسون-شرودنغر-هايزنبرغ ، وهي تعميم لعلاقة هايزنبرغ للشك . وتنص متباينة روبرتسون-شرودنغر-هايزنبرغ على ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

حيث Q و P هما الإحداثيات الأساسية ، و var و cov هما دالتا التباين والتباين المشترك. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

• دي جوسون، موريس أ. (2012). "البيضة التبسيطية". arXiv : 1208.5969 [ math-ph ].- يتضمن برهانًا على صيغة معدلة من النظرية لحالة التحويلات القانونية الخطية
• دوسا ماكدوف : ما هي الهندسة التبسيطية؟، 2009