التحول الكنسي

في ميكانيكا هاميلتون ، يُعرَّف التحويل الكنسي بأنه تغيير في الإحداثيات الكنسية $(q, p) \to (Q, P)$ يحافظ على شكل معادلات هاميلتون . يُعرف هذا أحيانًا باسم ثبات الشكل . مع أن معادلات هاميلتون محفوظة، إلا أنه ليس بالضرورة أن يحافظ على الشكل الصريح للدالة الهاميلتونية نفسها. تُعد التحويلات الكنسية مفيدة في حد ذاتها، كما أنها تُشكل أساسًا لمعادلات هاميلتون-جاكوبي (وهي طريقة مفيدة لحساب الكميات المحفوظة ) ونظرية ليوفيل (التي تُعد بدورها أساسًا للميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية ).

بما أن ميكانيكا لاغرانج تعتمد على إحداثيات معممة ، فإن تحويلات الإحداثيات $q \to Q$ لا تؤثر على شكل معادلات لاغرانج ، وبالتالي لا تؤثر على شكل معادلات هاميلتون إذا تغير الزخم في الوقت نفسه بتحويل ليجندر إلى $P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,$ أين $\left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}$ هي الإحداثيات الجديدة، مجمعة في أزواج مترافقة قانونية من الزخم $P_{i}$ والمواقع المقابلة $Q_{i},$ ل $i=1,2,\ldots \ N,$ مع $N$ يمثل عدد درجات الحرية في كلا نظامي الإحداثيات.

لذا، تُعدّ تحويلات الإحداثيات (وتُسمى أيضًا تحويلات النقاط ) نوعًا من التحويلات الأساسية. مع ذلك، فإنّ فئة التحويلات الأساسية أوسع بكثير، إذ يُمكن دمج الإحداثيات والزخم المعممين القديمين، وحتى الزمن، لتكوين إحداثيات وزخم معممين جديدين. تُسمى التحويلات الأساسية التي لا تتضمن الزمن صراحةً بالتحويلات الأساسية المقيدة (وتقتصر العديد من الكتب الدراسية على هذا النوع فقط).

تُعتبر الأوصاف الرياضية الحديثة للتحويلات الكنسية ضمن موضوع أوسع هو التماثل التبسيطي الذي يغطي الموضوع بمتطلبات رياضية متقدمة مثل حزم الظل المشترك والمشتقات الخارجية والمشعبات التبسيطية .

الترميز

تمثل المتغيرات المكتوبة بخط غامق مثل $q$ قائمة من $N$ إحداثيات معممة لا تحتاج إلى التحول مثل متجه تحت الدوران ، وبالمثل يمثل $p$ الزخم المعمم المقابل ، على سبيل المثال، $\begin{aligned}\mathbf{q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf{p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}$

تشير النقطة فوق متغير أو قائمة إلى المشتق الزمني ، على سبيل المثال، ${\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}$ وتُقرأ المعادلات على أنها مُحققة لجميع الإحداثيات، على سبيل المثال: ${\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).$

يُعدّ رمز الضرب النقطي بين قائمتين لهما نفس عدد الإحداثيات اختصارًا لمجموع نواتج المكونات المتناظرة، على سبيل المثال، $\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.$

يُحوّل الضرب النقطي (المعروف أيضًا باسم "الضرب الداخلي") قائمتي الإحداثيات إلى متغير واحد يُمثل قيمة عددية واحدة. وتُسمى الإحداثيات بعد التحويل بنفس الطريقة، حيث يُرمز لها بـ $Q$ للإحداثيات المعممة المُحوّلة، و $P$ للزخم المعمم المُحوّل.

شروط التحويل الكنسي المقيد

التحويلات الكنسية المقيدة هي تحويلات إحداثيات لا تعتمد فيها الإحداثيات المحولة $Q$ و $P على الزمن بشكل صريح، أي$ ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ و ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ الصيغة الوظيفية لمعادلات هاميلتون هي

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{محاذاة}}$

بشكل عام، لا يحافظ التحويل $(q, p) \to (Q, P)$ على شكل معادلات هاميلتون ، ولكن في حالة التحويل غير المعتمد على الزمن، يمكن تبسيط بعض المعادلات. باتباع التعريف الرسمي للتحويل الكنسي، يمكن إثبات أنه بالنسبة لهذا النوع من التحويل، يمكن التعبير عن الهاميلتوني الجديد (الذي يُسمى أحيانًا كاميلتوني ^{[ 1 ] ) على النحو التالي:}

$K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)$

حيث يختلف عن الهاميلتوني من خلال مشتق زمني جزئي لدالة تُعرف باسم المولد، والذي يختزل إلى كونه دالة زمنية فقط للتحويلات الكنسية المقيدة.

بالإضافة إلى الحفاظ على شكل الهاميلتوني دون تغيير، يسمح كاميلتونيان أيضًا باستخدام الهاميلتوني غير المتغير في معادلات حركة هاميلتون نظرًا للشكل المذكور أعلاه كما يلي:

$// ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{محاذاة}}}$

على الرغم من أن فئة التحويلات الأساسية أوسع من تلك التي يمكن الحصول عليها بهذه الصيغة المحدودة، إلا أن هذه الصيغة المحدودة توفر نقطة انطلاق جيدة للوصول إلى نتائج قابلة للتعميم. ويمكن تعميم جميع الشروط التالية، باستثناء شرط الثبات الثنائي الخطي، على كامل فئة التحويلات الأساسية، بما في ذلك التحويلات المعتمدة على الزمن.

الشروط غير المباشرة

بما أن التحويلات المقيدة لا تعتمد صراحةً على الزمن (بحسب التعريف)، فإن المشتق الزمني لإحداثي معمّم جديد $Q m$ هو

$\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}}$ حيث ${\cdot, \cdot}$ هو قوس بواسون .

وبالمثل، بالنسبة لهوية الزخم المرافق، P _m باستخدام شكل "الكاميلتوني"، فإنه يتبع ما يلي:

${\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}$

بسبب شكل معادلات الحركة الهاميلتونية،

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}$

إذا كان التحويل قانونيًا، فيجب أن تكون النتيجتان المشتقتان متساويتين، مما يؤدي إلى المعادلات التالية:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

وتؤدي الحجة المماثلة للزخم المعمم P _m إلى مجموعتين أخريين من المعادلات:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}$

هذه هي الشروط غير المباشرة للتحقق مما إذا كان التحويل المعطى قانونيًا.

الحالة التبسيطية

أحيانًا يتم تمثيل العلاقات الهاميلتونية على النحو التالي:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$

أين ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

و ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ وبالمثل، دع ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$ .

انطلاقاً من علاقة المشتقات الجزئية، يتم تحويل ${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H$ العلاقة بدلالة المشتقات الجزئية مع متغيرات جديدة تعطي ${\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$ أين ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ وبالمثل بالنسبة لـ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ ،

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H$

بسبب شكل معادلات هاميلتون لـ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ ،

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H$

أين ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$ يمكن استخدامها بسبب شكل كاميلتونيان. مساواة المعادلتين تعطي الشرط التبسيطي كما يلي: ^{[ 2 ]}

$MJM^{T}=J$

يُطلق على الجانب الأيسر من المعادلة أعلاه اسم مصفوفة بواسون لـ $\varepsilon$ ، المشار إليه بـ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ وبالمثل، فإن مصفوفة لاغرانج من $\eta$ يمكن بناؤها على النحو التالي ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ [ ^{3 ]} يمكن إثبات أن الشرط التبسيطي مكافئ أيضًا ^لـ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ باستخدام ${\textstyle J^{-1}=-J}$ الخاصية. مجموعة جميع المصفوفات ${\textstyle M}$ تشكل العناصر التي تحقق الشروط التبسيطية مجموعة تبسيطية . وتكافئ الشروط التبسيطية الشروط غير المباشرة، حيث يؤدي كلاهما إلى المعادلة. ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$ ، والتي تستخدم في كلا الاشتقاقين.

ثبات قوس بواسون

قوس بواسون الذي يُعرَّف على النحو التالي: $\{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)$ يمكن تمثيلها في شكل مصفوفة كما يلي:

$\{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)$

وبالتالي فإن استخدام علاقات المشتقات الجزئية والشرط التبادلي يعطي: ^{[ 4 ]} $\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }$

ويمكن استعادة الحالة التبسيطية أيضًا عن طريق أخذ ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ و ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ مما يدل على أن ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ وبالتالي، فإن هذه الشروط مكافئة للشروط التبادلية. علاوة على ذلك، يمكن ملاحظة أن ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$ وهو أيضاً نتيجة لحساب عنصر المصفوفة بشكل صريح عن طريق توسيعه. ^{[ 3 ]}

ثبات قوس لاغرانج

قوس لاغرانج الذي يُعرَّف على النحو التالي:

$[u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)$

يمكن تمثيلها في شكل مصفوفة كما يلي:

$[u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)$

باستخدام اشتقاق مماثل، نحصل على:

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }$

ويمكن استعادة الحالة التبسيطية أيضًا عن طريق أخذ ${\textstyle u=\eta _{i}}$ و ${\textstyle v=\eta _{j}}$ مما يدل على أن ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ وبالتالي، فإن هذه الشروط مكافئة للشروط التبادلية. علاوة على ذلك، يمكن ملاحظة أن ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$ وهو أيضاً نتيجة لحساب عنصر المصفوفة بشكل صريح عن طريق توسيعه. ^{[ 3 ]}

شروط الثبات الثنائي الخطي

تنطبق هذه المجموعة من الشروط فقط على التحويلات القانونية المقيدة أو التحويلات القانونية المستقلة عن متغير الزمن.

ضع في اعتبارك التغيرات العشوائية من نوعين، في زوج واحد من الإحداثيات المعممة والزخم المقابل: ^{[ 5 ]}

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

مساحة متوازي الأضلاع المتناهي الصغر تُعطى بالصيغة التالية:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

ويترتب على ذلك ${\textstyle M^{T}JM=J}$ الشرط التبسيطي الذي ينص على أن المساحة المتناهية الصغر محفوظة تحت التحويل الكنسي:

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

لاحظ أن الإحداثيات الجديدة لا يلزم أن تكون موجهة بالكامل في مستوى زخم إحداثي واحد.

وبالتالي، يمكن صياغة الشرط بشكل عام على أنه ثبات من الشكل ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$ في ظل التحول الكنسي، تم توسيعه على النحو التالي:

$\sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ$

إذا تحققت الشروط المذكورة أعلاه لأي اختلافات عشوائية، فلن يكون ذلك ممكناً إلا إذا تحققت الشروط غير المباشرة. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} شكل المعادلة، ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ يُعرف أيضًا باسم الضرب التبسيطي للمتجهات ${\textstyle {v}}$ و ${\textstyle w}$ ويمكن صياغة شرط الثبات الثنائي الخطي على أنه حفظ محلي للمنتج التبسيطي. ^{[ 8 ]}

نظرية ليوفيل

تسمح لنا الشروط غير المباشرة بإثبات نظرية ليوفيل ، التي تنص على أن الحجم في فضاء الطور محفوظ في ظل التحويلات القانونية، أي

$\int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P}$

بحسب حساب التفاضل والتكامل ، يجب أن يساوي التكامل الأخير التكامل الأول مضروبًا في محدد جاكوبيان $M$

$\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p}$ أين ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

يؤدي استغلال خاصية "القسمة" للمصفوفات اليعقوبية إلى $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.$

يؤدي حذف المتغيرات المتكررة إلى $M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.$

يؤدي تطبيق الشروط غير المباشرة المذكورة أعلاه إلى $\operatorname {det} (M)=1$ [ ⁹^]

نهج توليد الوظائف

لضمان تحويل صحيح بين $($ $q$ $,$ $p$ $,$ $H$ $)$ و $($ $Q$ $,$ $P$ $,$ $K$ $)$ ، يمكننا اللجوء إلى منهج الدالة المولدة المباشرة . يجب أن تخضع كلتا مجموعتي المتغيرات لمبدأ هاميلتون ، أي تكامل الفعل على دوال لاغرانج . ${\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ و ${\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ ، والتي تم الحصول عليها من الهاميلتوني المعني عبر تحويل ليجندر "العكسي" ، يجب أن تكون ثابتة في كلتا الحالتين (بحيث يمكن استخدام معادلات أويلر-لاغرانج للوصول إلى معادلات حركة هاميلتونية بالشكل المحدد؛ كما هو موضح هنا على سبيل المثال ):

${\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}$

إحدى طرق تحقيق كلا المعادلتين التكامليتين المتغيرتين هي أن يكون

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

ليست دوال لاغرانج فريدة: يمكن دائمًا الضرب بثابت $λ$ وإضافة مشتقة زمنية كلية $dG / dt ،$ والحصول على معادلات الحركة نفسها (كما هو موضح في ويكي بوكس ). عمومًا، يُضبط عامل القياس $λ$ على واحد؛ وتُسمى التحويلات الكنسية التي يكون فيها $λ$ ≠ $1 بالتحويلات$ الكنسية الموسعة . يُحتفظ $بـ dG$ $/$ $dt$ $،$ $وإلا$ ستصبح المسألة تافهة ولن يكون هناك مجال كبير لاختلاف المتغيرات الكنسية الجديدة عن القديمة.

هنا، $G$ هي دالة مولدة لإحداثية قانونية قديمة واحدة ( $q$ أو $p$ )، وإحداثية قانونية جديدة واحدة ( $Q$ أو $P$ )، وربما الزمن $t$ . بالتالي، توجد أربعة أنواع أساسية من الدوال المولدة (مع إمكانية وجود مزيج من هذه الأنواع الأربعة)، وذلك تبعًا لاختيار المتغيرات. وكما سيتبين لاحقًا، تُعرّف الدالة المولدة تحويلًا من الإحداثيات القانونية القديمة إلى الجديدة ، وأي تحويل من هذا القبيل $(q, p) \to (Q, P)$ يكون قانونيًا.

سيتم مناقشة الدوال المولدة المختلفة وخصائصها الموضحة في الجدول أدناه بالتفصيل:

خصائص التحويلات الكنسية الأساسية الأربعة ^{[ 10 ]}
دالة توليد	مشتقات الدوال المولدة		الهاميلتوني المحوّل	الحالات التافهة
$G=G_{1}(q,Q,t)$	$p={\frac {\partial G_{1}}{\partial q}}$	$P=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q}}$	${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$	$G_{1}=qQ$	$Q=p$	$P=-q$
$G=G_{2}(q,P,t)-QP$	$p={\frac {\partial G_{2}}{\partial q}}$	$Q={\frac {\partial G_{2}}{\partial P}}$		$G_{2}=qP$	$Q=q$	$P=p$
$G=G_{3}(p,Q,t)+qp$	$q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}$	$P=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}$		$G_{3}=pQ$	$Q=-q$	$P=-p$
$G=G_{4}(p,P,t)+qp-QP$	$q=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial p}}$	$Q={\frac {\partial G_{4}}{\partial P}}$		$G_{4}=pP$	$Q=p$	$P=-q$

دالة توليد من النوع 1

تعتمد الدالة المولدة من النوع 1، $G1 ،$ فقط على الإحداثيات المعممة القديمة والجديدة ${\textstyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ لاستنتاج التحويل الضمني، نقوم بتوسيع المعادلة التعريفية أعلاه. $\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

بما أن الإحداثيات الجديدة والقديمة مستقلة كل منهما، فإن المعادلات 2N + 1 التالية $يجب$ أن $تكون صحيحة$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}$

تُعرّف هذه المعادلات التحويل $(q, p) \to (Q, P)$ على النحو التالي: المجموعة الأولى من $N$ معادلة ${\textstyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$ حدد العلاقات بين الإحداثيات المعممة الجديدة $Q$ والإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . من الناحية المثالية، يمكن عكس هذه العلاقات للحصول على صيغ لكل $Q k$ كدالة للإحداثيات الكنسية القديمة. استبدل هذه الصيغ لإحداثيات $Q$ في المجموعة الثانية من المعادلات $N.$ ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ينتج عن ذلك صيغ مماثلة للزخم المعمم الجديد $P$ بدلالة الإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . ثم نعكس كلا مجموعتي الصيغ للحصول على الإحداثيات الكنسية القديمة $($ $q$ $,$ $p$ $)$ كدوال للإحداثيات الكنسية الجديدة $($ $Q$ $,$ $P$ $)$ . وبتعويض الصيغ المعكوسة في المعادلة النهائية ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$ ينتج عنه صيغة لـ $K$ كدالة للإحداثيات الكنسية الجديدة $(Q ، P)$ .

في الواقع، هذه العملية أسهل مما تبدو عليه، لأن الدالة المولدة عادةً ما تكون بسيطة. على سبيل المثال، لنفترض ${\textstyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$ وينتج عن ذلك تبديل الإحداثيات المعممة للزخم والعكس صحيح.

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}$

و $K = H.$ يوضح هذا المثال مدى استقلالية الإحداثيات والزخم في صياغة الهاميلتوني؛ فهما متغيران متكافئان.

دالة توليد من النوع 2

دالة التوليد من النوع 2 $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ يعتمد فقط على الإحداثيات المعممة القديمة والزخم المعمم الجديد ${\textstyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ حيث $-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ تمثل هذه الحدود تحويل ليجندر لتغيير الطرف الأيمن من المعادلة أدناه. لاستنتاج التحويل الضمني، نقوم بتوسيع المعادلة المحددة أعلاه.

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

بما أن الإحداثيات القديمة والزخم الجديد مستقلان، فإن $المعادلات$ 2N + 1 التالية يجب $أن تتحقق$

${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}$

تُعرّف هذه المعادلات التحويل $(q, p) \to (Q, P)$ على النحو التالي: المجموعة الأولى من $N$ معادلة ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$ حدد العلاقات بين الزخم المعمم الجديد $P$ والإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p) .$ $من$ الناحية المثالية، يمكن عكس هذه العلاقات للحصول على صيغ لكل $Pk$ كدالة للإحداثيات الكنسية القديمة. استبدل هذه الصيغ لإحداثيات $P$ في المجموعة الثانية من المعادلات $N.$ ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ينتج عن ذلك صيغ مماثلة للإحداثيات المعممة الجديدة $Q$ بدلالة الإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . ثم نعكس كلا مجموعتي الصيغ للحصول على الإحداثيات الكنسية القديمة $($ $q$ $,$ $p$ $)$ كدوال للإحداثيات الكنسية الجديدة $($ $Q$ $,$ $P$ $)$ . وبتعويض الصيغ المعكوسة في المعادلة النهائية ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$ ينتج عنه صيغة لـ $K$ كدالة للإحداثيات الكنسية الجديدة $(Q ، P)$ .

في الواقع، هذه العملية أسهل مما تبدو عليه، لأن الدالة المولدة عادةً ما تكون بسيطة. على سبيل المثال، لنفترض ${\textstyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$ حيث $g$ هي مجموعة من $N$ دالة. ينتج عن ذلك تحويل نقطي للإحداثيات المعممة ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$ .

دالة توليد من النوع 3

دالة التوليد من النوع 3 $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ يعتمد فقط على الزخم المعمم القديم والإحداثيات المعممة الجديدة ${\textstyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$ حيث $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p}$ تمثل هذه الحدود تحويل ليجندر لتغيير الطرف الأيسر من المعادلة أدناه. لاستنتاج التحويل الضمني، نقوم بتوسيع المعادلة المحددة أعلاه. $-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}$

بما أن الإحداثيات الجديدة والقديمة مستقلة كل منهما، فإن المعادلات 2N + 1 التالية $يجب$ أن $تكون صحيحة$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}$

تُعرّف هذه المعادلات التحويل $(q, p) \to (Q, P)$ على النحو التالي: المجموعة الأولى من $N$ معادلة ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$ حدد العلاقات بين الإحداثيات المعممة الجديدة $Q$ والإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . من الناحية المثالية، يمكن عكس هذه العلاقات للحصول على صيغ لكل $Q k$ كدالة للإحداثيات الكنسية القديمة. استبدل هذه الصيغ لإحداثيات $Q$ في المجموعة الثانية من المعادلات $N.$ ${\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$ ينتج عن ذلك صيغ مماثلة للزخم المعمم الجديد $P$ بدلالة الإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . ثم نعكس كلا مجموعتي الصيغ للحصول على الإحداثيات الكنسية القديمة $($ $q$ $,$ $p$ $)$ كدوال للإحداثيات الكنسية الجديدة $($ $Q$ $,$ $P$ $)$ . وبتعويض الصيغ المعكوسة في المعادلة النهائية ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$ ينتج عنه صيغة لـ $K$ كدالة للإحداثيات الكنسية الجديدة $(Q ، P)$ .

من الناحية العملية، هذا الإجراء أسهل مما يبدو، لأن الدالة المولدة عادة ما تكون بسيطة.

دالة توليد من النوع 4

دالة التوليد من النوع 4 $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ يعتمد فقط على الزخم العام القديم والجديد ${\textstyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$ حيث $\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P}$ تمثل هذه الحدود تحويل ليجندر لتغيير طرفي المعادلة أدناه. لاستنتاج التحويل الضمني، نقوم بتوسيع المعادلة المحددة أعلاه.

$-\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}$

بما أن الإحداثيات الجديدة والقديمة مستقلة كل منهما، فإن المعادلات 2N + 1 التالية $يجب$ أن $تكون صحيحة$

${\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}$

تُعرّف هذه المعادلات التحويل $(q, p) \to (Q, P)$ على النحو التالي: المجموعة الأولى من $N$ معادلة ${\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$ حدد العلاقات بين الزخم المعمم الجديد $P$ والإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p) .$ $من$ الناحية المثالية، يمكن عكس هذه العلاقات للحصول على صيغ لكل $Pk$ كدالة للإحداثيات الكنسية القديمة. استبدل هذه الصيغ لإحداثيات $P$ في المجموعة الثانية من المعادلات $N.$ ${\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$ ينتج عن ذلك صيغ مماثلة للإحداثيات المعممة الجديدة $Q$ بدلالة الإحداثيات الكنسية القديمة $(q, p)$ . ثم نعكس كلا مجموعتي الصيغ للحصول على الإحداثيات الكنسية القديمة $($ $q$ $,$ $p$ $)$ كدوال للإحداثيات الكنسية الجديدة $($ $Q$ $,$ $P$ $)$ . وبتعويض الصيغ المعكوسة في المعادلة النهائية ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$ ينتج عنه صيغة لـ $K$ كدالة للإحداثيات الكنسية الجديدة $(Q ، P)$ .

القيود المفروضة على الأنواع الأربعة من الدوال المولدة

بالنظر إلى $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ كمثال على ذلك، باستخدام دالة توليد من النوع الثاني: ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ و ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ ، المجموعة الأولى من المعادلات التي تتكون من متغيرات ${\textstyle \mathbf {p} }$ ، ${\textstyle \mathbf {q} }$ و ${\textstyle \mathbf {P} }$ يجب عكسها للحصول على ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ تكون هذه العملية ممكنة عندما تكون المصفوفة المحددة بواسطة ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$ وهي غير منفردة باستخدام نظرية الدالة العكسية ، ويمكن إعادة صياغتها على النحو التالي. ^{[ 11 ]}

$\left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}$

وبالتالي، تُفرض قيود على الدوال المولدة للحصول على المصفوفات التالية: ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ، ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ، ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ و ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$ ، لكونها غير منفردة. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} تتوافق هذه الشروط أيضًا مع قابلية عكس الإحداثيات محليًا. من هذه القيود، يمكن القول إن الدوال المولدة من النوع 1 والنوع 4 لها دائمًا دالة غير منفردة. ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ بينما تحتوي الدوال المولدة من النوع 2 والنوع 3 دائمًا على مصفوفة غير منفردة ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ المصفوفة. وبالتالي، فإن التحويلات الأساسية الناتجة عن هذه الدوال المولدة الأربع وحدها ليست عامة تمامًا. ^{[ 14 ]}

الاستخدام المعمم للدوال المولدة

بمعنى آخر، بما أن $(Q, P)$ و $(q, p)$ دالتان مستقلتان من $الرتبة 2N$ $،$ فإنه يترتب على ذلك أن تكون الدالة المولدة على الصورة ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ و $G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ أو $G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ و $G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ ، ومصفوفات جاكوبيان المقابلة ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ و ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ $تُقيَّد هذه الدوال$ بأن تكون غير منفردة، مما يضمن أن تكون الدالة المولدة دالة لـ $2N + 1$ متغير مستقل. مع ذلك، وكخاصية من خصائص التحويلات القانونية، من الممكن دائمًا اختيار $2N$ دالة مستقلة من المجموعات $(q, p)$ أو $(Q, P) لتكوين تمثيل دالة مولدة للتحويلات القانونية، بما في ذلك متغير الزمن. وبالتالي$ $،$ يمكن إثبات أن كل تحويل قانوني محدود يمكن تقديمه بصيغة مغلقة ولكن ضمنية، وهي صيغة مختلفة من الصيغ البسيطة الأربع المعطاة. ^{[ 15 ]}

دليل

ضع في اعتبارك أخذ مجموعة كاملة من الإحداثيات المعممة ${\textstyle \{q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\}}$ وإضافة أكبر عدد ممكن من الإحداثيات المحولة إلى المجموعة، مع الحفاظ على قابلية عكس الإحداثيات محليًا في المجموعة، مع وضع علامات عليها. ${\textstyle \{Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{k}\}}$ دون فقدان للعمومية.

يمكن إثبات أن المجموعة، ${\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}}$ هي مجموعة من الإحداثيات المستقلة محليًا. يُبرهن على قابلية عكس مجموعة الإحداثيات محليًا من خلال إثبات عدم تفردها. ${\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}}$ أو عدم وجود متجه ذاتي صفري غير تافه بحيث ${\textstyle \sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}}=0,\,\forall s}$ حيث الفهرس ${\textstyle a=1,\ldots ,k}$ و ${\textstyle b=k+1,\ldots ,N}$ .

تأجير ${\textstyle Q_{b}=f_{b}(q_{s},Q_{a})}$ وبافتراض وجود متجه ذاتي صفري في الاشتقاق التالي:

${\textstyle \eta _{b'}=\sum _{a}\epsilon _{a}\{Q_{b'},Q_{a}\}+\sum _{b}\eta _{b}\{Q_{b'},P_{b}\}=\sum _{s}{\frac {\partial f_{b'}}{\partial q_{s}}}(\sum _{a}\epsilon _{a}{\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{s}}}+\sum _{b}\eta _{b}{\frac {\partial P_{b}}{\partial p_{s}}})=0}$

ومن ثم كل ذلك ${\textstyle \eta _{b}=0}$ وبناءً على شرط الانعكاسية المحلية، يترتب على ذلك أنه بالنسبة للجزء المتبقي من المعادلة، ${\textstyle \sum {\frac {\partial Q_{a}}{\partial p_{i}}}\epsilon _{i}=\delta Q_{a}(p_{1},\ldots ,p_{N})=0\implies \epsilon _{i}=0\quad \forall \,a=1,\ldots ,k}$ وبذلك يظهر أن المتجه الذاتي الصفري الوحيد ${\textstyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N})}{\partial (p_{1},\ldots ,p_{N})}}}$ المتجه التافه يعني أنه مصفوفة غير منفردة. ومن ثم، يتضح أنه من الممكن أخذ مجموعات مثل ${\textstyle \{q_{1},\ldots ,q_{N},Q_{1},\ldots ,Q_{k},P_{k+1},\ldots ,P_{N}\}}$ هذا عبارة عن مزيج من الإحداثيات الجديدة والقديمة التي تحافظ على خاصية $2N من$ المتغيرات المستقلة والتي يمكن استخدامها لتفسير أي تحويل إحداثي على أنه ناتج عن دالة مولدة على هذه المجموعة من الإحداثيات.

شروط التحويل الكنسي

علاقات التحويل الكنسي

من: $K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}$ ، احسب ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$ :

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}$ بما أن الجانب الأيسر هو ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ وهو أمر مستقل عن ديناميكيات الجسيمات، مما يؤدي إلى مساواة معاملات ${\textstyle {\dot {q}}}$ و ${\textstyle {\dot {p}}}$ عند تساوي الصفر، نحصل على قواعد التحويل الأساسية. هذه الخطوة تعادل مساواة الطرف الأيسر بـ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ .

بما أن الجانب الأيسر هو ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ وهو أمر مستقل عن ديناميكيات الجسيمات، مما يؤدي إلى مساواة معاملات ${\textstyle {\dot {q}}}$ و ${\textstyle {\dot {p}}}$ عند تساوي الصفر، نحصل على قواعد التحويل الأساسية. هذه الخطوة تعادل مساواة الطرف الأيسر بـ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ .

بصورة مماثلة:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$

وبالمثل، يتم الحصول على قواعد التحويل الأساسية من خلال مساواة الجانب الأيسر بـ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ .

يمكن دمج العلاقتين المذكورتين أعلاه في شكل مصفوفة كما يلي: ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ (والتي ستحتفظ أيضًا بنفس الشكل للتحويل الكنسي الممتد) حيث تكون النتيجة ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ تم استخدامها. ولذلك يُقال إن علاقات التحويل الأساسية مكافئة لـ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ في هذا السياق.

يمكن الآن إعادة صياغة علاقات التحويل الأساسية لتشمل الاعتماد على الزمن:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

منذ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ و ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ إذا لم تعتمد $Q$ و $P بشكل صريح على الوقت،$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$ يمكن أخذ ذلك. وبالتالي فإن تحليل التحويلات القانونية المقيدة يتوافق مع هذا التعميم.

الحالة التبسيطية

تطبيق صيغة تحويل الإحداثيات لـ $\nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H$ ، في معادلات هاميلتونيان تعطي:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

وبالمثل بالنسبة لـ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$ :

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$

أو:

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

حيث تُحذف الحدود الأخيرة من كل معادلة بسبب ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ الشرط من التحويلات القانونية. ومن ثمّ ترك العلاقة التبادلية: ${\textstyle MJM^{T}=J}$ وهو ما يعادل الشرط أيضًا ${\textstyle M^{T}JM=J}$ يستنتج من المعادلتين السابقتين أن الشرط التبسيطي يستلزم المعادلة ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ومنها يمكن استخلاص الشروط غير المباشرة. وبالتالي، يمكن القول إن الشروط التبسيطية والشروط غير المباشرة متكافئة في سياق استخدام الدوال المولدة.

ثبات أقواس بواسون ولاغرانج

منذ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ و ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ حيث يتم استخدام الشرط التبسيطي في المعادلات الأخيرة. باستخدام ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ المساواة ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ و ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$ يتم الحصول على نتائج تشير إلى ثبات أقواس بواسون ولاغرانج.

التحويل الكنسي الموسع

علاقات التحويل الكنسي

عن طريق حل المعادلة التالية:

$\lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}$

مع وجود أشكال مختلفة من الدوال المولدة، تكون العلاقة بين K و H كما يلي: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ بل وينطبق ذلك أيضاً على ${\textstyle \lambda =1}$ قضية.

يمكن أيضًا الحصول على جميع النتائج المعروضة أدناه عن طريق الاستبدال ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ ، ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ و ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ انطلاقًا من الحلول المعروفة، نظرًا لأنها تحتفظ بشكل معادلات هاميلتون . ولذلك يُقال إن التحويلات القانونية الموسعة هي نتيجة لتحويل قانوني ( ${\textstyle \lambda =1}$ ) وتحويل قانوني تافه ( ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ) الذي يحتوي ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ (بالنسبة للمثال المذكور، ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$ (الذي يحقق الشرط). ^{[ 16 ]}

باستخدام نفس الخطوات المستخدمة سابقًا في التعميم السابق، مع ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ في الحالة العامة، مع الاحتفاظ بالمعادلة ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ، يتم الحصول على العلاقات التفاضلية الجزئية للتحويل الكنسي الموسع على النحو التالي:

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}$

الحالة التبسيطية

باتباع نفس الخطوات لاستنتاج الشروط التبسيطية، كما يلي:

${\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)$

و

${\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}$ حيث يتم استخدام ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ بل يعطي:

${\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)$

يُلغى الجزء الثاني من كل معادلة. وبالتالي، يصبح شرط التحويل الكنسي الموسع كما يلي: ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ [ ¹⁷^]

أقواس بواسون ولاغرانج

يتم تغيير أقواس بواسون على النحو التالي:

$\{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }$

بينما يتم تغيير أقواس لاغرانج على النحو التالي:

$[u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }$

وبالتالي، فإن قوس بواسون يتناسب عكسيًا مع ${\textstyle \lambda }$ بينما يتم قياس قوس لاغرانج بمعامل ${\textstyle \lambda }$ [ ¹⁸^]

التحويل الكنسي المتناهي الصغر

لنفترض التحويل الكنسي الذي يعتمد على معامل مستمر $\alpha$ ، كما يلي:

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

بالنسبة للقيم المتناهية الصغر لـ $\alpha$ ، وتسمى التحويلات المقابلة بالتحويلات القانونية المتناهية الصغر والتي تُعرف أيضًا بالتحويلات القانونية التفاضلية.

البناء الصريح

ضع في اعتبارك دالة التوليد التالية:

$G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)$

منذ ذلك الحين $\alpha =0$ ، $G_{2}=qP$ ينتج عنه التحويل الكنسي، $Q=q$ و $P=p$ يمكن استخدام هذا النوع من الدوال المولدة للتحويلات القانونية المتناهية الصغر عن طريق التقييد. $\alpha$ إلى قيمة متناهية الصغر.

من شروط المولدات من النوع الثاني:

${\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}$

منذ $P=P(q,p,t;\alpha )$ ، بتغيير متغيرات الدالة $G$ ل $G(q,p,t)$ وإهمال الحدود ذات الرتبة الأعلى من $\alpha$ ، يعطي: ^{[ 19 ]}

${\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}$

يمكن أيضًا اشتقاق التحويلات الكنسية المتناهية الصغر باستخدام الصيغة المصفوفية للشرط التبادلي. ^{[ 20 ]} الدالة $G(q,p,t)$ يُعدّ ذا أهمية بالغة في التحويلات القانونية المتناهية الصغر ويُشار إليه باسم مولد التحويل القانوني المتناهي الصغر.

التحولات النشطة والسلبية

في النظرة النشطة للتحولات، يتم تغيير نظام الإحداثيات دون تغيير النظام الفيزيائي ، بينما في النظرة السلبية للتحول، يتم الاحتفاظ بنظام الإحداثيات ويقال إن النظام الفيزيائي يخضع للتحولات.

نظرة فعّالة للتحول

وبالتالي، باستخدام العلاقات من التحويلات الكنسية المتناهية الصغر، يُقال إن التغيير في حالات النظام في ظل الرؤية الفعالة للتحويل الكنسي هو:

${\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}$

أو كما $\delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G$ في شكل مصفوفة.

لأي وظيفة $u(\eta )$ يتغير ذلك في ظل العرض النشط للتحويل وفقًا لما يلي:

$\delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.$

النظرة السلبية للتحول

بالنظر إلى تغير الهاميلتوني في المنظور السلبي ، أي بالنسبة لنقطة ثابتة، $K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}$

أين ${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ يتم رسم الخرائط حتى النقطة، ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ عن طريق التحويل الكنسي المتناهي الصغر، وتغيير مماثل للمتغيرات لـ $G(q,P,t)$ ل $G(q,p,t)$ يُعتبر حتى الدرجة الأولى من $\alpha$ وبالتالي، إذا كان الهاميلتوني ثابتًا بالنسبة للتحويلات الكنسية المتناهية الصغر، فإن مولده هو ثابت الحركة.

مولدات تحويلات التناظر الديناميكي

ضع في اعتبارك التحويل الذي يعتمد فيه تغيير الإحداثيات أيضًا على السرعات المعممة.

${\begin{aligned}q^{r}\to q^{r}+\delta q^{r}\\\delta q^{r}=\epsilon \phi ^{r}(q,{\dot {q}},t)\\\end{aligned}}$

إذا كان ما سبق يمثل تناظرًا ديناميكيًا، فإن دالة لاغرانج تتغير بمقدار:

$\delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)$

ويُقال إن لاغرانجيان الجديد مكافئ ديناميكيًا للاغرانجيان القديم، إذ يضمن تطابق معادلات الحركة الناتجة. ويمكن اشتقاق التغير في حدي السرعة والزخم المعممين كما يلي:

${\begin{aligned}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},\quad &{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}\\\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s},\quad &\delta {\dot {q}}^{r}=\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial q^{s}}}{\dot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\ddot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

مولد التحويل

باستخدام التغير في خاصية لاغرانج للتناظر الديناميكي:

${\frac {d}{dt}}F={\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {\delta L}{\epsilon }}=\left({\frac {\partial L}{\partial q^{r}}}\phi ^{r}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\right)+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}$

منذ ${\ddot {q}}$ تظهر الحدود مرة واحدة فقط في كل جانب، ويجب أن تظل المعادلة صحيحة بغض النظر عن الديناميكا أو معادلة الحركة التي ترتبط بها. ${\ddot {q}}$ ل $(q,{\dot {q}},t)$ ، يجب أن تكون معاملاته متساوية حتى يكون هذا صحيحًا، مما يعطي العلاقة التالية: ${\textstyle p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}$ وباستخدام ذلك، يمكن إثبات أن

$\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta q^{r},\quad \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}$

ومن هنا جاء المصطلح $p\phi -F$ يُولّد تحويل التناظر الديناميكي المتعارف عليه إذا كانت علاقة أويلر لاغرانج تساوي صفرًا، أو إذا ${\frac {\partial \phi _{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}=0\,\forall s,r$ وهو تحويل نقطي متناهي الصغر. تجدر الإشارة إلى أنه في حالة التحويل النقطي، تُولّد الكمية التحويل بغض النظر عما إذا كانت معادلات أويلر-لاغرانج مُحققة أم لا، ولأنها لا تعتمد على ديناميكيات المسألة، يُقال إنها علاقة حركية بحتة. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

تُحصل نتائج مماثلة في نظرية المجال الكلاسيكية، على سبيل المثال، في كثافة لاغرانجية ثابتة لورنتز حيث الشحنات المحفوظة المقابلة، وكثافة الزخم $P^{\mu }$ يقوم بإنشاء ترجمة للحقول و $M^{\mu \nu }$ ^[²³^] إن خاصية ثبات لورنتز تولد تحويل لورنتز للحقول.

دليل

أولاً، يمكن التعبير عن التغير في الزخم بشكل أكثر فائدة على النحو التالي: $\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\delta {\dot {q}}^{s}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})$

تبسيط أقواس بواسون المطلوبة،

${\begin{aligned}\{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(\phi _{r}+{\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial p_{r}}}{\cancelto {=0}{\left(p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\right)&=\delta q^{r}\\\{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}+{\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{m}}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{m}}}\right)}}\left({\frac {\partial {\dot {q}}^{m}}{\partial q^{r}}}\right)_{q,p,t}\right)&=\epsilon \left(-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}\right)\\\end{aligned}}$

كنتيجة أولية، لأي وظيفة من $(q,{\dot {q}},t)$ ، مع مراعاة السلوك الديناميكي لـ ${\ddot {q}}$ :

${\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {d}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial }{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}$

والتي يمكن استخدامها لحساب الكمية:

${\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {dF}{dt}}\right)-p_{s}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\left({\frac {d}{dt}}\phi ^{s}\right)\right)-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\phi ^{s})={\frac {d}{dt}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}F-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}\phi ^{s}\right)}}+{\frac {\partial {\ddot {q}}^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\cancel {\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}F-p_{m}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{s}}}\phi ^{m}\right)}}-p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}+{\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}=\{p_{r},(p\phi -F)\}$

يمكن إعادة صياغة هذه العلاقة ودمجها مع صيغة $\delta p_{r}$ لإعطاء العلاقة المطلوبة للزخم.

$\{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta L)-p_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta {\dot {q}}^{s})-{\dot {p}}_{s}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{r}}}(\delta q^{s})=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}$

ثابت نوثر

باستخدام علاقة أويلر لاغرانج للدالة اللاغرانجية المعطاة، يمكن اشتقاق ثوابت الحركة على النحو التالي: $\delta L-\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)=\epsilon \phi {\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial }{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}\right)L}}+\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=0$

لذلك $\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=p\phi -F$ هو ثابت حركة. وبالتالي، فإن ثابت نوثر المشتق يولد أيضًا نفس تحويل التناظر كما هو موضح سابقًا.

أمثلة على تكنولوجيا المعلومات والاتصالات

التطور الزمني

أخذ $G(q,p,t)=H(q,p,t)$ و $\alpha =dt$ ، ثم $\delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta$ وبالتالي، فإن التطبيق المستمر لمثل هذا التحويل يرسم الإحداثيات. $\eta (\tau )$ ل $\eta (\tau +t)$ وبالتالي، إذا كان الهاميلتوني ثابتًا بالنسبة للانتقال الزمني، أي أنه لا يعتمد على الزمن بشكل صريح، فإن قيمته محفوظة للحركة.

ترجمة

أخذ $G(q,p,t)=p_{k}$ ، $\delta p_{i}=0$ و $\delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}$ وبالتالي، فإن الزخم الكنسي يولد إزاحة في الإحداثي المعمم المقابل، وإذا كان الهاميلتوني ثابتًا بالنسبة للانتقال، فإن الزخم يكون ثابتًا للحركة.

تناوب

لنفترض نظامًا متعامدًا لنظام مكون من N جسيمًا:

${\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}$

اختيار المولد ليكون: $G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)$ والقيمة المتناهية الصغر لـ $\alpha =\delta \phi$ ثم يُعطى التغير في الإحداثيات لـ x بالصيغة التالية:

${\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}$

وبالمثل بالنسبة لـ y:

${\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}$

بينما يبقى المكون z لجميع الجسيمات دون تغيير: ${\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$ .

تتوافق هذه التحولات مع الدوران حول المحور z بزاوية $\delta \phi$ في تقريبها من الدرجة الأولى. وبالتالي، فإن التطبيق المتكرر للتحويل الكنسي المتناهي الصغر يُولّد دورانًا لنظام الجسيمات حول المحور z. إذا كان الهاميلتوني ثابتًا تحت الدوران حول المحور z، فإن المولد، وهو مركبة الزخم الزاوي على طول محور الدوران، يكون ثابتًا للحركة. ^{[ 20 ]}

مجموعة فرعية من معلمات التحويلات الكنسية

السماح بقيم $\alpha$ لأخذ نطاق متصل من القيم في:

${\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}$

والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )$ أين $\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;0)=\eta ^{\mu }$ .

تُعدّ إحدى المجموعات الفرعية للمعاملات في التحويلات الكنسية تلك التي يمكن فيها استخدام مولد التحويل لتوليد إحداثيات حيث $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ يتحقق الشرط، أي تركيب تحويلين قانونيين للمعامل $\alpha _{1}$ و $\alpha _{2}$ وهي مماثلة لتلك الخاصة بتحويل قانوني واحد للمعامل $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ .

يمكن التعبير عن الشرط المتعلق بتحويلات المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد بشكل مكافئ كمعادلة تفاضلية:

$\delta \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )=\delta \alpha \{\epsilon ^{\nu },G\}=\delta \alpha J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)\implies {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)$

للجميع $\eta$ بافتراض أن المولد لا يعتمد بشكل صريح على $\alpha$ الشروط $\epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})$ يمكن استعادة هذه المعادلة لأنها تتحقق بشكل بديهي عندما $\alpha _{2}=0$ والتي تُعتبر قيمًا ابتدائية، وتكون المعادلات التفاضلية لكلا الطرفين من نفس الشكل، مما يدل على العلاقة نظرًا لتفرد الحلول مع القيم الابتدائية المعطاة. وبالتالي، فإن مجموعات المعاملات الفرعية للتحويلات القانونية هي امتداد للتحويلات القانونية المتناهية الصغر إلى قيم محدودة. $\alpha$ باستخدام نفس الشكل الوظيفي لمولده بغض النظر عن المعلمة $\alpha$ [ ²⁴^]

نتيجة لعدم وجود اعتماد صريح للمولد على $\alpha$ كما أن المولد مستقل ضمنيًا عن $\alpha$ .

${\displaystyle {\frac {dG(\epsilon (\eta$

يمكن استخدام هذا للتعبير عن المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

${\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=\{\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha ),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}\epsilon ^{\mu }$

حيث يُعرَّف المؤثر التفاضلي الخطي على النحو التالي: ${\tilde {G}}:=(\nabla _{\eta }G)^{T}J\nabla _{\eta }$ .

نظرة فعّالة للتحول

وبحل المعادلة التفاضلية بشكل متكرر، يكون حل المعادلة التفاضلية كما يلي: ^{[ 24 ]}

$\epsilon (\eta ,t;\alpha )=\eta +\alpha \{\eta ,G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{\eta ,G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta$

تغيير في قيم الدالة ${\displaystyle {\frac {df(\epsilon (\eta$ عن طريق التكرار على خطوات واستخدام $\epsilon (\eta ,t;0)=\eta$ نحصل على نتائج مماثلة

${\displaystyle f(e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta ,t)=f(\epsilon (\eta$

النظرة السلبية للتحول

يمكن استدعاء التغيير في دالة ما عن طريق الحفاظ على قيمها في نفس الحالات الفيزيائية في فضاء الطور كما ${\displaystyle f(\epsilon ,t)=f(\epsilon (\eta$ حتى الدرجة الأولى كما يلي:

${\displaystyle \delta 'f=f'(\epsilon )-f(\epsilon )=f'(\epsilon )-f'(\epsilon ')\approx f(\epsilon (\eta$

بما في ذلك التغيير في الدالة كاعتماد صريح على معلمات التحويل $\alpha$ ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: $f(\epsilon ,t;\alpha )$ حيث يعتمد ذلك بشكل صريح على $\alpha$ بحيث ${\frac {\partial f(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}=-\{f,G\}$ مما يشير إلى أن الدالة تتحول عكسيًا عن تلك الناتجة عن الإحداثيات للحفاظ على ربط محدد جيدًا من نقطة فيزيائية في فضاء الطور إلى قيمها العددية. من الممكن أيضًا أن تتحول الدوال دون الحاجة إلى الحفاظ على قيمها في نفس الحالات الفيزيائية في فضاء الطور. على سبيل المثال، الهاميلتوني الذي قد يختلف اعتماده الصريح على التحويل الكنسي عن الشكل المذكور أعلاه، والذي أعيدت صياغته من اشتقاقه السابق على النحو التالي:

${\frac {\partial H(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}={\frac {dG}{dt}}$

وهذا مشابه للعلاقة السابقة، ولكنه يأخذ في الاعتبار أيضًا أي اعتماد زمني صريح للمولد. وبالتالي، إذا كان الهاميلتوني ثابتًا في المنظور السلبي للتحويلات الكنسية المتناهية الصغر، فإن مولده يكون ثابت الحركة. ^{[ 24 ]}

الحركة كتحول قانوني

الحركة بحد ذاتها (أو، بشكل مكافئ، التحول في نقطة الأصل الزمني) هي تحويل معياري. إذا $\mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )$ و $\mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )$ عندئذٍ يتحقق مبدأ هاميلتون تلقائيًا $\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0$ بما أن المسار صالح $(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))$ ينبغي أن يفي دائماً بمبدأ هاميلتون ، بغض النظر عن نقاط النهاية.

أمثلة

الترجمة $\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b}$ أين $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ التحويل الكنسي هو تحويل قانوني، حيث يمثل متجهين ثابتين. في الواقع، مصفوفة جاكوبي هي مصفوفة الوحدة، وهي مصفوفة تماثلية. $I^{\text{T}}JI=J$ .
تعيين $\mathbf {x} =(q,p)$ و $\mathbf {X} =(Q,P)$ التحول $\mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x}$ أين $R\in SO(2)$ مصفوفة الدوران من الرتبة 2 هي مصفوفة قياسية. مع الأخذ في الاعتبار أن المصفوفات المتعامدة الخاصة تخضع لـ $R^{\text{T}}R=I$ من السهل ملاحظة أن المصفوفة اليعقوبية متماثلة. مع ذلك، لا ينجح هذا المثال إلا في البعد الثاني. $SO(2)$ هي المجموعة المتعامدة الخاصة الوحيدة التي تكون فيها كل مصفوفة متماثلة. لاحظ أن الدوران هنا يؤثر على $(q,p)$ وليس على $q$ و $p$ بشكل مستقل، لذا فهذه ليست هي نفسها الدوران المادي لنظام إحداثيات مكانية متعامدة.
التحول $(Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)$ ، أين $f(p)$ هي دالة اختيارية لـ $p$ ، هي مصفوفة أساسية. مصفوفة جاكوبي معطاة بالفعل بواسطة ${\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}$ وهو أمرٌ تماثلي.

الوصف الرياضي الحديث

من الناحية الرياضية، الإحداثيات القانونية هي أي إحداثيات على فضاء الطور ( حزمة الظل التمام ) للنظام تسمح بكتابة الشكل القانوني الأحادي على النحو التالي: $\sum _{i}p_{i}\,dq^{i}$ حتى التفاضل الكلي ( الصيغة الدقيقة ). يُعد تغيير المتغير بين مجموعة من الإحداثيات الكنسية وأخرى تحويلاً كنسياً . يُكتب دليل الإحداثيات المعممة $q$ هنا كرمز علوي ( $q^{i}$ ), وليس كرمز سفلي كما هو موضح أعلاه ( $q_{i}$ يشير الرمز العلوي إلى خصائص التحويل المتغاير للإحداثيات المعممة، ولا يعني رفع الإحداثي إلى قوة. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في مقالة التشاكل التماثلي .

تاريخ

كان أول تطبيق رئيسي للتحويل الكنسي في عام 1846، على يد شارل دولوناي ، في دراسة نظام الأرض والقمر والشمس . وقد أسفر هذا العمل عن نشر مجلدين كبيرين كمذكرات من قبل الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، في عامي 1860 و1867.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 370
↑ غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 381-384
1 2 3 جياكاجليا 1972 ، ص 8-9
↑ ليموس 2018 ، ص 255
↑ هاند وفينش 1999 ، ص 250-251
↑ لانكزوس 2012 ، ص 121
^ جوبتا وجوبتا 2008 ، ص. 304
↑ لوري 2002 ، ص 337
↑ لوري 2002 ، ص 548-550
↑ غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 373
↑ جونز 2005 ، ص 438
↑ لوري 2002 ، ص 547
^ سودارشان وموكوندا 2010 ، ص. 58
↑ جونز 2005 ، ص 437-439
^ سودارشان وموكوندا 2010 ، ص 58-60
↑ جياكاجليا 1972 ، ص 18-19
↑ غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 383
^ جياكاجليا 1972 ، ص. 16-17
↑ جونز 2005 ، ص 452-454
1 2 هيرجرت، هايكو (10 ديسمبر 2021). "PHY422/820: الميكانيكا الكلاسيكية" (ملف PDF) . مؤرشف (PDF) من الأصل في 22 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه في 22 ديسمبر 2023 .
↑ موكوندا، ن. (1976-08-01). "التناظرات والقيود في ديناميكيات هاميلتون المعممة" . حوليات الفيزياء . 99 (2): 408-433 . doi : 10.1016/0003-4916(76)90101-9 . ISSN 0003-4916 .
↑ مالش، ك.س.؛ تشاتورفيدي، سوبهاش؛ بالاكريشنان، ف.؛ سيمون، ر.؛ موكوندا، ن. (2011-02-01). "التناظرات وقوانين الحفظ في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية" . الرنين . 16 (2): 129-151 . doi : 10.1007/s12045-011-0020-5 . ISSN 0973-712X .
↑ غرينر، والتر؛ راينهارت، يواكيم (1996). تكميم الحقول . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 49-54 . doi : 10.1007/978-3-642-61485-9 . ISBN 978-3-540-78048-9.
1 2 3 سودارشان وموكوندا 2010 ، ص. 50-57

مراجع

جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب.؛ سافكو، جون ل. (2007). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون [ua] ISBN 978-0-321-18897-7.
لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1975) [1939]. الميكانيكا . ترجمة بيل، إس جيه ؛ سايكس، جيه بي ( الطبعة الثالثة). أمستردام: إلسيفير. ISBN 978-0-7506-28969.
جياكاجليا، جورجيو أوجينيو أوسكاري (1972). طرق الاضطراب في الأنظمة غير الخطية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-90054-3. إل سي سي إن 72-87714 .
لانكزوس، كورنيليوس (24 أبريل 2012). مبادئ الميكانيكا التغيرية . دار نشر كورير. رقم ISBN 978-0-486-13470-3.
لوري، أناتولي آي. (2002). الميكانيكا التحليلية ( الطبعة الأولى). سبرينغر-فيرلاغ برلين. ISBN 978-3-642-53650-2.
غوبتا، برافين P .؛ غوبتا ، سانجاي (2008). ديناميات جامدة ( الطبعة العاشرة). كريشنا براكاشان ميديا.
جونز، أوليفر ديفيس (2005). الميكانيكا التحليلية للنسبية وميكانيكا الكم . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-856726-4.
ليموس، نيفالدو أ (2018). الميكانيكا التحليلية . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-108-41658-0.
هاند، لويس ن.؛ فينش، جانيت د. (1999). الميكانيكا التحليلية ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521573276.
سودارشان، إي سي جورج؛ موكوندا، ن (2010). الديناميكا الكلاسيكية: منظور حديث . وايلي. ISBN 9780471835400.

[1] غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 370

[2] غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 381-384

[:0-3] 1 2 3 جياكاجليا 1972 ، ص 8-9

[4] ليموس 2018 ، ص 255

[5] هاند وفينش 1999 ، ص 250-251

[6] لانكزوس 2012 ، ص 121

[7] جوبتا وجوبتا 2008 ، ص. 304

[8] لوري 2002 ، ص 337

[9] لوري 2002 ، ص 548-550

[10] غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 373

[11] جونز 2005 ، ص 438

[12] لوري 2002 ، ص 547

[13] سودارشان وموكوندا 2010 ، ص. 58

[14] جونز 2005 ، ص 437-439

[15] سودارشان وموكوندا 2010 ، ص 58-60

[16] جياكاجليا 1972 ، ص 18-19

[17] غولدشتاين، بول وسافكو 2007 ، ص 383

[18] جياكاجليا 1972 ، ص. 16-17

[19] جونز 2005 ، ص 452-454

[:1-20] 1 2 هيرجرت، هايكو (10 ديسمبر 2021). "PHY422/820: الميكانيكا الكلاسيكية" (ملف PDF) . مؤرشف (PDF) من الأصل في 22 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه في 22 ديسمبر 2023 .

[21] موكوندا، ن. (1976-08-01). "التناظرات والقيود في ديناميكيات هاميلتون المعممة" . حوليات الفيزياء . 99 (2): 408-433 . doi : 10.1016/0003-4916(76)90101-9 . ISSN 0003-4916 .

[22] مالش، ك.س.؛ تشاتورفيدي، سوبهاش؛ بالاكريشنان، ف.؛ سيمون، ر.؛ موكوندا، ن. (2011-02-01). "التناظرات وقوانين الحفظ في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية" . الرنين . 16 (2): 129-151 . doi : 10.1007/s12045-011-0020-5 . ISSN 0973-712X .

[23] غرينر، والتر؛ راينهارت، يواكيم (1996). تكميم الحقول . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 49-54 . doi : 10.1007/978-3-642-61485-9 . ISBN 978-3-540-78048-9.

[:2-24] 1 2 3 سودارشان وموكوندا 2010 ، ص. 50-57

[ 1 ] ) على النحو التالي:

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

9

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

17

18

[ 19 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗