مرشح غير خطي

الموسوعة الحرة

في معالجة الإشارات ، المرشح غير الخطي هو مرشح لا يكون خرجه دالة خطية لمدخله. أي أنه إذا كان المرشح يُخرج الإشارتين R و S لإشارتي دخل r و s بشكل منفصل، فإنه لا يُخرج دائمًا αR + βS عندما يكون الدخل عبارة عن توليفة خطية αr + βs .

قد تكون المرشحات في كل من المجال المستمر والمجال المتقطع غير خطية. مثال بسيط على النوع الأول هو جهاز كهربائي يكون جهد خرجه R ( t ) في أي لحظة هو مربع جهد دخله r ( t ) ؛ أو يكون جهد دخله مقصوصًا ضمن نطاق ثابت [ a , b ] ، أي R ( t ) = max( a , min( b , r ( t ))) . مثال مهم على النوع الثاني هو مرشح الوسيط المتحرك ، حيث تكون كل عينة خرج Ri هي وسيط آخر ثلاث عينات دخل ri ، ri - 1 ، ri - 2 . ومثل المرشحات الخطية ، قد تكون المرشحات غير الخطية ثابتة عند الإزاحة أو غير ثابتة .

تُستخدم المرشحات غير الخطية في العديد من التطبيقات، لا سيما في إزالة أنواع معينة من الضوضاء غير الجمعية . على سبيل المثال، يُستخدم مرشح الوسيط على نطاق واسع لإزالة ضوضاء النبضات - التي تؤثر على نسبة ضئيلة من العينات، ولكن بنسب كبيرة جدًا. في الواقع، تستخدم جميع أجهزة استقبال الراديو مرشحات غير خطية لتحويل الإشارات من كيلوهرتز إلى جيجاهرتز إلى نطاق الترددات الصوتية ؛ وتعتمد جميع عمليات معالجة الإشارات الرقمية على مرشحات غير خطية ( محولات تناظرية إلى رقمية ) لتحويل الإشارات التناظرية إلى أرقام ثنائية .

مع ذلك، تُعدّ المرشحات غير الخطية أصعب بكثير في الاستخدام والتصميم من المرشحات الخطية، لأنّ أقوى الأدوات الرياضية لتحليل الإشارات (مثل استجابة النبضة واستجابة التردد ) لا يُمكن تطبيقها عليها. لذا، على سبيل المثال، تُستخدم المرشحات الخطية غالبًا لإزالة الضوضاء والتشويه الناتجين عن العمليات غير الخطية، ببساطة لأنّ تصميم وبناء مرشح غير خطي مناسب سيكون بالغ الصعوبة.

مما سبق، نستنتج أن المرشحات غير الخطية تختلف في سلوكها اختلافًا كبيرًا عن المرشحات الخطية. وأهم ما يميزها هو أن خرج المرشح أو استجابته لا يخضع للمبادئ المذكورة سابقًا، وخاصةً مبدأي التناسب والثبات عند الإزاحة. علاوة على ذلك، قد ينتج عن المرشح غير الخطي نتائج تتغير بطريقة غير متوقعة.

النظام الخطي

تُحدد عدة مبادئ النظام الخطي . التعريف الأساسي للخطية هو أن يكون الناتج دالة خطية للمدخلات، أي

αy1(ت)+βy2(ت)=ح{αx1(ت)+βx2(ت)}{\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}

لأي قيم عدديةα{\displaystyle \alpha \,}وβ{\displaystyle \beta \,}هذه خاصية أساسية في تصميم الأنظمة الخطية، وتُعرف بمبدأ التراكب. لذا، يُقال إن النظام غير خطي إذا لم تكن هذه المعادلة صحيحة. أي أنه عندما يكون النظام خطيًا، يمكن تطبيق مبدأ التراكب. هذه الحقيقة المهمة هي السبب وراء التطور الكبير الذي شهدته تقنيات تحليل الأنظمة الخطية.

التطبيقات

إزالة الضوضاء

تتعرض الإشارات للتشويش غالبًا أثناء الإرسال أو المعالجة؛ ومن الأهداف الشائعة في تصميم المرشحات استعادة الإشارة الأصلية، وهي عملية تُعرف باسم "إزالة التشويش". أبسط أنواع التشويش هو التشويش الجمعي، حيث تُضاف إشارة غير مرغوب فيها (N) إلى الإشارة المطلوبة (S) دون وجود صلة معروفة بينهما . إذا كان للتشويش (N) وصف إحصائي بسيط، مثل التشويش الغاوسي ، فإن مرشح كالمان يُقلل من (N) ويستعيد (S) بالقدر الذي تسمح به نظرية شانون . على وجه الخصوص، إذا لم تتداخل (S) و (N) في مجال التردد ، فيمكن فصلهما تمامًا باستخدام مرشحات تمرير النطاق الخطية .

أما بالنسبة لأي نوع آخر من الضوضاء تقريبًا، فسيكون من الضروري استخدام نوع من المرشحات غير الخطية لاستعادة الإشارة إلى أقصى حد. فعلى سبيل المثال، بالنسبة للضوضاء المضاعفة (التي تُضرب بالإشارة بدلًا من إضافتها إليها)، قد يكفي تحويل المدخلات إلى مقياس لوغاريتمي ، ثم تطبيق مرشح خطي، ثم تحويل النتيجة إلى مقياس خطي . في هذا المثال، الخطوتان الأولى والثالثة ليستا خطيتين.

قد تكون المرشحات غير الخطية مفيدة أيضًا عندما تكون بعض الخصائص "غير الخطية" للإشارة أكثر أهمية من محتوى المعلومات الإجمالي. في معالجة الصور الرقمية ، على سبيل المثال، قد يرغب المرء في الحفاظ على وضوح حواف الصور الظلية للأجسام في الصور الفوتوغرافية، أو ترابط الخطوط في الرسومات الممسوحة ضوئيًا. عادةً ما يؤدي مرشح إزالة الضوضاء الخطي إلى تشويش هذه الخصائص؛ وقد يُعطي المرشح غير الخطي نتائج أكثر إرضاءً (حتى لو كانت الصورة المشوشة أكثر "صحة" من الناحية النظرية للمعلومات).

تعمل العديد من مرشحات إزالة الضوضاء غير الخطية في المجال الزمني. وهي عادةً ما تفحص الإشارة الرقمية المدخلة ضمن نافذة زمنية محددة تحيط بكل عينة، وتستخدم نموذج استدلال إحصائي (ضمنياً أو صراحةً) لتقدير القيمة الأكثر احتمالاً للإشارة الأصلية عند تلك النقطة. يُعرف تصميم هذه المرشحات بمشكلة الترشيح لعملية عشوائية في نظرية التقدير ونظرية التحكم .

من أمثلة المرشحات غير الخطية ما يلي:

تحتل المرشحات غير الخطية مكانة حاسمة في وظائف معالجة الصور. ففي مسار معالجة الصور النموذجي في الوقت الحقيقي، من الشائع استخدام العديد من المرشحات غير الخطية لتشكيل معلومات الصورة ومعالجتها واكتشافها والتلاعب بها. علاوة على ذلك، يمكن ضبط كل نوع من هذه المرشحات ليعمل بطريقة معينة في ظروف محددة، وبطريقة أخرى في ظروف مختلفة، وذلك باستخدام توليد قواعد ترشيح تكيفية. وتتنوع الأهداف من إزالة التشويش إلى استخلاص الميزات. وتُعد عملية ترشيح بيانات الصور عملية قياسية تُستخدم في جميع أنظمة معالجة الصور تقريبًا. وتُعد المرشحات غير الخطية أكثر أنواع المرشحات استخدامًا. فعلى سبيل المثال، إذا كانت الصورة تحتوي على كمية قليلة من التشويش ولكن بدرجة عالية نسبيًا، فقد يكون مرشح الوسيط أكثر ملاءمة.

ترشيح كوشنر-ستراتونوفيتش

يُركز هذا البحث على صياغة مشكلة الترشيح غير الخطي من منظور نظرية العمليات العشوائية. في هذا السياق، تُوصف كل من الإشارة العشوائية والملاحظات الجزئية المشوشة بعمليات عشوائية متصلة الزمن. تُنمذج الإشارة العشوائية غير المرصودة المراد تقديرها من خلال معادلة تفاضلية عشوائية غير خطية من نوع إيتو ، بينما دالة الملاحظة هي تحويل غير خطي متصل الزمن للإشارة غير المرصودة، أي ملاحظة مشوشة بضوضاء ملاحظة متصلة الزمن. نظرًا للطبيعة غير الخطية للديناميكيات، فإن مفاهيم مجال التردد المألوفة التي يمكن تطبيقها على المرشحات الخطية غير قابلة للتطبيق، ولذا تُصاغ نظرية قائمة على تمثيل فضاء الحالة. تتمثل المعلومات الكاملة عن المرشح غير الخطي عند لحظة زمنية معينة في قانون احتمالية الإشارة غير المرصودة عند تلك اللحظة، بشرط معرفة تاريخ الملاحظات حتى تلك اللحظة. قد يكون لهذا القانون كثافة احتمالية، وتأخذ المعادلة اللانهائية الأبعاد لكثافة هذا القانون شكل معادلة تفاضلية جزئية عشوائية . تم حل مشكلة الترشيح غير الخطي الأمثل في هذا السياق في أواخر الخمسينيات وأوائل الستينيات من القرن الماضي على يد روسلان ل. ستراتونوفيتش [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] وهارولد ج. كوشنر [ 5 ] . تُعرف معادلة كوشنر-ستراتونوفيتش التفاضلية الجزئية للمرشح الأمثل باسم معادلة كوشنر-ستراتونوفيتش . في عام 1969، قدم موشيه زكاي ديناميكيات مبسطة للقانون الشرطي غير المعياري للمرشح، والمعروفة باسم معادلة زكاي [ 6 ] . وقد أثبتت ميريل شاليات-موريل ودومينيك ميشيل [ 7 ] أن الحل لا نهائي الأبعاد بشكل عام، وبالتالي يتطلب تقريبات محدودة الأبعاد. قد تكون هذه الطرق قائمة على الاستدلالات، مثل مرشح كالمان الموسع أو مرشحات الكثافة المفترضة التي وصفها بيتر إس. مايبك [ 8 ] أو مرشحات الإسقاط التي قدمها داميانو بريغو وبرنارد هانزون وفرانسوا لو غلاند [ 9 ] ، والتي تبين أن بعض فروعها تتطابق مع مرشحات الكثافة المفترضة [ 10 ] . وتُعد مرشحات الجسيمات [ 11 ] خيارًا آخر، وهي مرتبطة بطرق مونت كارلو المتسلسلة.

الأنواع

مرشح مين

مرشح الحد الأدنى، المعروف أيضًا باسم التآكل في معالجة الصور المورفولوجية، هو مرشح مكاني يُستخدم في معالجة الصور. يستبدل هذا المرشح كل بكسل في الصورة بأقل قيمة بين البكسلات المجاورة له. يتم تحديد حجم وشكل الجوار بواسطة عنصر هيكلي، عادةً ما يكون قناعًا مربعًا أو دائريًا. يستبدل هذا التحويل البكسل المركزي بأغمق بكسل في نافذة المعالجة. على سبيل المثال، إذا كان لديك نص مطبوع بخط خفيف، فإن مرشح الحد الأدنى يجعل الأحرف أكثر سمكًا.

ماكس رات

مرشح الحد الأقصى ، المعروف أيضًا باسم التمدد في معالجة الصور المورفولوجية، هو مرشح آخر يُستخدم في معالجة الصور ضمن المجال المكاني. يستبدل هذا المرشح كل بكسل في الصورة بأعلى قيمة بين البكسلات المجاورة له، والتي تُحدد بدورها بواسطة عنصر هيكلي. مرشحا الحد الأقصى والحد الأدنى ثابتان بغض النظر عن الإزاحة. فبينما يستبدل مرشح الحد الأدنى البكسل المركزي بأغمق بكسل في نافذة المعالجة، يستبدله مرشح الحد الأقصى بأفتح بكسل. على سبيل المثال، إذا كان لديك نص مكتوب بقلم سميك، يمكنك جعله أرق.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ روسلان ل. ستراتونوفيتش (1959)، الأنظمة غير الخطية المثلى التي تؤدي إلى فصل إشارة ذات معلمات ثابتة عن الضوضاء . راديوفيزيكا، المجلد 2، العدد 6، الصفحات 892-901.
  2. ↑ روسلان ل. ستراتونوفيتش (1959). حول نظرية الترشيح الأمثل غير الخطي للدوال العشوائية . نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 4، الصفحات 223-225.
  3. ↑ روسلان ل. ستراتونوفيتش (1960)، تطبيق نظرية عمليات ماركوف على الترشيح الأمثل . هندسة الراديو والفيزياء الإلكترونية، المجلد 5، العدد 11، الصفحات 1-19.
  4. ↑ روسلان ل. ستراتونوفيتش (1960)، عمليات ماركوف الشرطية .رمز الوصول المغلقنظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 5، الصفحات 156-178.
  5. ↑ كوشنر، هارولد. (1967)، الترشيح غير الخطي: المعادلات الديناميكية الدقيقة التي يحققها الوضع الشرطي . معاملات IEEE في التحكم الآلي، المجلد 12، العدد 3، الصفحات 262-267
  6. ↑ موشيه زكاي (1969)، حول الترشيح الأمثل لعمليات الانتشار. مجلة الاحتمالات، المجلد 11، الصفحات 230-243. MR 0242552 Zbl 0164.19201 doi : 10.1007/BF00536382  
  7. ^ شاليا-موريل، ميراي ودومينيك ميشيل (1984)، نتائج عدم وجود مرشح البعد النهائي . الاستوكاستك، المجلد 13، العدد 1+2، الصفحات 83-102.
  8. ↑ بيتر س. مايبك (1979)، النماذج العشوائية، والتقدير، والتحكم. المجلد 141، سلسلة الرياضيات في العلوم والهندسة، دار النشر الأكاديمية
  9. ↑ داميانو بريغو، برنارد هانزون، وفرانسوا ليجلاند (1998) نهج هندسي تفاضلي للترشيح غير الخطي: مرشح الإسقاط ، معاملات IEEE للتحكم الآلي، المجلد 43، العدد 2، الصفحات 247-252.
  10. ↑ داميانو بريغو، برنارد هانزون، وفرانسوا ليجلاند (1999)، الترشيح غير الخطي التقريبي عن طريق الإسقاط على مشعبات الكثافة الأسية ، برنولي، المجلد 5، العدد 3، الصفحات 495-534
  11. ^ ديل مورال، بيير (1998). "قياس العمليات القيمة وأنظمة الجسيمات المتفاعلة. التطبيق على مشاكل التصفية غير الخطية " . حوليات الاحتمالية التطبيقية . 8 (2) (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) ed.): 438–495 . doi : 10.1214/aoap/1028903535 . 

للمزيد من القراءة

  • جازوينسكي، أندرو هـ. (1970). العمليات العشوائية ونظرية الترشيح . نيويورك: أكاديميك برس. ISBN 0-12-381550-9.
  • صفحة البروفيسور إيليا شموليفيتش حول معالجة الإشارات غير الخطية