مجموعة نيرون-سيفيري

الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، تُعرف زمرة نيرون-سيفيري لمتنوعة ما بأنها زمرة القواسم بتردد التكافؤ الجبري ؛ أي أنها زمرة مكونات مخطط بيكارد لتلك المتنوعة. ويُطلق على رتبتها اسم عدد بيكارد . وقد سُميت نسبةً إلى فرانشيسكو سيفيري وأندريه نيرون .

تعريف

في الحالات الأكثر أهمية للهندسة الجبرية الكلاسيكية، بالنسبة لمتنوعة كاملة V غير شاذة ، يكون المكون المتصل لهوية مخطط بيكارد عبارة عن متنوعة أبيلية مكتوبة

الصورة 0 ( V ).

الناتج

Pic( V )/Pic 0 ( V )

هي مجموعة أبيلية NS( V )، تسمى مجموعة نيرون-سيفيري لـ V. هذه مجموعة أبيلية مولدة بشكل منتهٍ وفقًا لنظرية نيرون-سيفيري، والتي أثبتها سيفيري على الأعداد المركبة ونيرون على حقول أكثر عمومية.

بمعنى آخر، تتناسب مجموعة بيكارد مع تسلسل دقيق

1→Pأناج0(V)→Pأناج(V)→شمالS(V)→0{\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 0}

حقيقة أن رتبة المجموعة محدودة هي نظرية فرانشيسكو سيفيري للأساس ؛ والرتبة هي عدد بيكارد للمجموعة V ، ويُرمز لها غالبًا بـ ρ( V ). تُسمى العناصر ذات الرتبة المحدودة قواسم سيفيري، وتشكل زمرة محدودة تُعد ثابتًا ثنائي النسب، وتُسمى رتبتها عدد سيفيري . هندسيًا، يصف NS( V ) فئات التكافؤ الجبري للقواسم على V ؛ أي باستخدام علاقة تكافؤ أقوى وغير خطية بدلًا من التكافؤ الخطي للقواسم ، يصبح التصنيف قابلًا للثوابت المنفصلة. يرتبط التكافؤ الجبري ارتباطًا وثيقًا بالتكافؤ العددي ، وهو تصنيف طوبولوجي أساسًا يعتمد على أعداد التقاطع .

الفئة الأولى من تشيرن والحلقات الثنائية ذات القيم التكاملية

متتالية الحزم الأسية

0→2πأناZ→ياV→ياV*→0{\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{V}\to {\mathcal {O}}_{V}^{*}\to 0}

يؤدي ذلك إلى تسلسل دقيق طويل يتميز

⋯→ح1(V،ياV*)→ح2(V،2πأناZ)→ح2(V،ياV)→⋯.{\displaystyle \cdots \to H^{1}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*})\to H^{2}(V,2\pi i\mathbb {Z} )\to H^{2}(V,{\mathcal {O}}_{V})\to \cdots .}

السهم الأول هو أول فئة تشيرن في مجموعة بيكارد

ج1:Pأناج(V)→ح2(V،Z)،{\displaystyle c_{1}\colon \mathrm {Pic} (V)\to H^{2}(V,\mathbb {Z} ),}

ويمكن تحديد مجموعة نيرون-سيفيري من خلال صورتها. وبالمثل، من حيث الدقة، فإن مجموعة نيرون-سيفيري هي نواة السهم الثاني.

خبرة*:ح2(V،2πأناZ)→ح2(V،ياV).{\displaystyle \exp ^{*}\colon H^{2}(V,2\pi i\mathbb {Z})\to H^{2}(V,{\mathcal {O}}_{V}).}

في الحالة المعقدة، فإن مجموعة نيرون-سيفيري هي بالتالي مجموعة الدورات الثنائية التي يتم تمثيل ثنائي بوانكاريه الخاص بها بواسطة سطح فائق معقد، أي قاسم ويل .

للحلقات المعقدة

تتميز الطورات المعقدة بوجود تعريفات متكافئة متعددة لمجموعة نيرون-سيفيري. يستخدم أحد هذه التعريفات بنيتها المعقدة [ 1 ] صفحة 30. بالنسبة للطورات المعقدةX=V/Λ{\displaystyle X=V/\Lambda }، أينV{\displaystyle V}هو فضاء متجهي معقد ذو بُعدن{\displaystyle n}وΛ{\displaystyle \Lambda }هي شبكة من الرتب2ن{\displaystyle 2n}التضمين فيV{\displaystyle V}أول فئة تشيرنج1{\displaystyle c_{1}}مما يجعل من الممكن تحديد مجموعة نيرون-سيفيري مع مجموعة الأشكال الهرميتيةح{\displaystyle H}علىV{\displaystyle V}بحيث

أناح(Λ،Λ)⊆Z{\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }

لاحظ أنأناح{\displaystyle {\text{Im}}H}هي شكل تكاملي متناوب على الشبكةΛ{\displaystyle \Lambda }.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيركنهاك، كريستينا؛ هربرت لانج (2004). أصناف أبيلية معقدة (الطبعة الثانية،  طبعة موسعة). برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558 . 
  • ف. أ. إسكوفسكيخ (2001) [1994]، "مجموعة نيرون-سيفيري" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  • أ. نيرون، مشاكل حسابية وهندسية مرتبطة بفكرة رن من مادة جبرية في جسم الثور. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. فرنسا، 80 (1952) ص  101-166
  • أ. نيرون، La théorie de la base pour les diviseurs sur les variétés algébriques ، Coll. جيوم. ألغ. لييج، ج. ثون (1952) ص  119 – 126
  • F. شديد، قاعدة جبرية متنوعة من أبعاد معينة تحتوي على بيانات واحدة والنظرية العامة للتوافق من نقطة إلى سطح الجبر المناسب. العقاد. إيتال.، 5 (1934) ص  239-283