حلقة معقدة

بالنسبة للحلقة المركبة ثنائية الأبعاد، فإن مصفوفة دورتها تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$ على سبيل المثال، المصفوفة $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$ يشكل مصفوفة دورية لأن المصفوفة الدورية المرتبطة بها لها محدد يساوي 4.

لأي حلقة معقدة${\displaystyle X=V/\Lambda }$من الأبعاد${\displaystyle g}$يحتوي على مصفوفة دورية${\displaystyle \Pi }$من الشكل $${\displaystyle (Z,1_{g})}$$أين${\displaystyle 1_{g}}$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$أين${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$يمكننا الحصول على ذلك من خلال تغيير أساس الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$مما يعطي مصفوفة كتلية بالشكل المذكور أعلاه. الشرط لـ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$ويتضح ذلك من خلال النظر إلى المقابل${\displaystyle P}$-مصفوفة $${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$ بما أن هذه المصفوفة يجب أن تكون غير منفردة. وذلك لأنه إذا قمنا بحساب محدد مصفوفة الكتلة، فسيكون هذا ببساطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$ وهذا ما يُعطي الدلالة.

للحصول على مصفوفة دورية تعطي مشعبًا معقدًا إسقاطيًا، وبالتالي تنوعًا جبريًا، يجب أن تحقق مصفوفة الدورة أيضًا علاقات ريمان الثنائية الخطية . ^{[ 3 ]}

The class of homomorphic maps between complex tori have a very simple structure. Of course, every homomorphism induces a holomorphic map, but every holomorphic map is the composition of a special kind of holomorphic map with a homomorphism. For an element ${\displaystyle x_{0}\in X}$ we define the translation map $${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$ sending ${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$ Then, if ${\displaystyle h}$ is a holomorphic map between complex tori ${\displaystyle X,X'}$, there is a unique homomorphism ${\displaystyle f:X\to X'}$ such that $${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$ showing the holomorphic maps are not much larger than the set of homomorphisms of complex tori.

One distinct class of homomorphisms of complex tori are called isogenies. These are endomorphisms of complex tori with a non-zero kernel. For example, if we let ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$ be an integer, then there is an associated map $${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$ sending ${\displaystyle x\mapsto nx}$ which has kernel $${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$ isomorphic to ${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$.

There is an isomorphism of complex structures on the real vector space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$ and the set $${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ and isomorphic tori can be given by a change of basis of their lattices, hence a matrix in ${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$. This gives the set of isomorphism classes of complex tori of dimension ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$, as the Double coset space $${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ Note that as a real manifold, this has dimension $${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$ this is important when considering the dimensions of moduli of Abelian varieties, which shows that there are far more complex tori than Abelian varieties.

Starting from the first group cohomology group $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$we recall how its elements can be represented. Since ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ acts on ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ there is an induced action on all of its sheaves, hence on $${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$The ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-action can then be represented as a holomorphic map ${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$. This map satisfies the cocycle condition if $${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$ for every ${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$ and ${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$. The abelian group of 1-cocycles ${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$ is called the group of factors of automorphy. Note that such functions ${\displaystyle f}$ are also just called factors.

Given a factor of automorphy ${\displaystyle f}$ we can define a line bundle on ${\displaystyle X}$ as follows: the trivial line bundle ${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$ has a ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-action given by $${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$ for the factor ${\displaystyle f}$. Since this action is free and properly discontinuous, the quotient bundle $${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$ is a complex manifold. Furthermore, the projection ${\displaystyle p:L\to X}$ناتج عن الإسقاط المغطي${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X} . هذا يعطي خريطة $${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$ مما يؤدي إلى تماثل $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$ تحقيق النتيجة المرجوة.

للحصول على باقة خطوط${\displaystyle L}$معطى بواسطة عامل التماثل الذاتي${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$، لذا${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$و${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$، وهناك حزمة أقسام مرتبطة بها${\displaystyle {\mathcal {L}}}$أين $${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta$$ :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C}  :{\begin{matrix}\theta {\text{ دالة تحليلية مع }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{لكل }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}} مع${\displaystyle U\subset X}$مفتوح. ثم، عند تقييمها على المقاطع العالمية، تكون هذه مجموعة الدوال التحليلية.${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$بحيث $${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$ وهي بالضبط دوال ثيتا على المستوى. وعلى العكس، يمكن عكس هذه العملية حيث يكون العامل الذاتي في دالة ثيتا هو في الواقع عامل التشاكل الذاتي الذي يُعرّف حزمة خطية على سطح حلقي معقد.

بالنسبة للحلقة المعقدة${\displaystyle X=V/\Lambda }$يمكننا تعريف مجموعة نيرون-سيرفيري${\displaystyle NS(X)}$كمجموعة من الأشكال الهرميتية${\displaystyle H}$على${\displaystyle V}$مع $${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$ بصورة مكافئة، هي صورة التشاكل $${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$ من فئة تشيرن الأولى. ويمكننا أيضًا تعريفها بمجموعة الأشكال المتناوبة ذات القيم الحقيقية.${\displaystyle E}$على${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$.

بالنسبة لـ ^{[ 4 ]} منحنى إهليلجي${\displaystyle {\mathcal {E}}}$مُعطى بواسطة الشبكة${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$أين${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$يمكننا إيجاد الصيغة التكاملية${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$من خلال النظر إلى مصفوفة متناوبة عامة وإيجاد شروط التوافق الصحيحة لكي تتصرف كما هو متوقع. إذا استخدمنا الأساس القياسي${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ل${\displaystyle \mathbb {C} }$ كمساحة متجهة حقيقية (لذا${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$ثم يمكننا كتابة مصفوفة متناوبة $${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$ واحسب نواتج الضرب المرتبطة بالمتجهات المرتبطة بـ${\displaystyle 1,\tau }$هذه هي $${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ ثم، بأخذ الضرب الداخلي (مع الضرب الداخلي القياسي) لهذه المتجهات مع المتجهات${\displaystyle 1,\tau }$نحصل $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$ إذا${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$، ثم $${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ يمكننا حينها التحقق مباشرة${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$وهذا ينطبق على المصفوفة أعلاه. بالنسبة لقيمة ثابتة${\displaystyle a}$سنكتب الصيغة التكاملية على النحو التالي:${\displaystyle E_{a}}$ثم هناك شكل هيرميتي مرتبط به $${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$ مقدم من $${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ أين${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

للحصول على شكل هيرميتي${\displaystyle H}$الشخصية شبه المحددة هي خريطة ${\displaystyle \chi$ :\Lambda \to U(1)} بحيث $${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$ ومن هنا الخريطة${\displaystyle \chi }$يتصرف كشخصية مشوهة بفعل الشكل الهرمستي. لاحظ أنه إذا${\displaystyle H}$هو العنصر الصفري في${\displaystyle NS(X)}$لذا فهو يتوافق مع حزمة الخطوط التافهة${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$ثم إن الشخصيات شبه المرتبطة بها هي مجموعة الشخصيات الموجودة${\displaystyle \Lambda }$سيتضح أن هذا يتوافق مع المجموعة${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$درجة علمية${\displaystyle 0}$حزم الخطوط على${\displaystyle X}$أو بصورة مكافئة، حلقته الثنائية، والتي يمكن رؤيتها من خلال حساب مجموعة الأحرف ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ والتي يمكن تحليل عناصرها كخرائط ${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$ يكون عرض الحرف على النحو التالي: ${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$ بالنسبة لبعض متجهات الشبكة الثنائية الثابتة${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$وهذا يعطي التماثل ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$ من مجموعة الأحرف ذات الطارة الحقيقية. مجموعة جميع أزواج الأحرف شبه الحقيقية وشكلها الهرميتي المرتبط بها${\displaystyle (\chi ,H)}$أو أزواج الأحرف الجزئية ، تشكل مجموعة${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$أين $${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$ ينتج هذا الهيكل الجماعي عن تطبيق قانون التبديل السابق للأحرف شبهية على الحرف شبهي الجديد.${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$ اتضح أن هذه المجموعة تندرج على${\displaystyle NS(X)}$وله نواة${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$، مما يعطي تسلسلًا دقيقًا قصيرًا $${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$ يمكن إنشاء هذا التطبيق الشامل من خلال ربط كل زوج من الأحرف الجزئية بحزمة خطية${\displaystyle L(H,\chi )}$.

بالنسبة لزوج شبه شخصية${\displaystyle (H,\chi )}$يمكننا بناء دورة أحادية${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$على${\displaystyle \Lambda }$كخريطة $${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$ علاقة الدورة المشتركة $${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$ يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق الحساب المباشر. ومن ثم، تحدد الدورة المشتركة حزمة خطية $${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$ حيث${\displaystyle \Lambda }$- إجراء بشأن${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$ لاحظ أنه يمكن استخدام هذا الإجراء لعرض أقسام حزمة الخط${\displaystyle L(H,\chi )}$تُعطى بواسطة دوال ثيتا ذات عامل التماثل الذاتي${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$يُطلق على هذا أحيانًا اسم العامل الأساسي للتماثل الذاتي لـ${\displaystyle L}$لاحظ ذلك لأن كل حزمة خطوط${\displaystyle L\to X}$وله شكل هيرميتي مرتبط به${\displaystyle H}$ويمكن إنشاء شبه حرف باستخدام عامل التماثل الذاتي لـ${\displaystyle L}$، فنحصل على دالة شاملة $${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$ علاوة على ذلك، هذا تماثل زمر ذو نواة تافهة. يمكن تلخيص كل هذه الحقائق في المخطط التبادلي التالي $${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$ حيث تمثل الأسهم الرأسية التشاكلات أو المساواة. ويُطلق على هذا الرسم البياني عادةً اسم نظرية أبيل-هومبرت .

انطلاقاً من بناء الطارة المركبة المزدوجة، يُقترح وجود حزمة خطية${\displaystyle {\mathcal {P}}}$على ناتج الطارة${\displaystyle X}$وثنائيتها التي يمكن استخدامها لتمثيل جميع فئات التشاكل لحزم الخطوط من الدرجة 0 على${\displaystyle X}$يمكننا ترميز هذا السلوك باستخدام الخاصيتين التاليتين

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$لأي نقطة${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$إعطاء حزمة الخط${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$هي حزمة خطوط تافهة

حيث تمثل الخاصية الأولى الخاصية المذكورة أعلاه، بينما تعمل الخاصية الثانية كخاصية توحيد. يمكننا بناء${\displaystyle {\mathcal {P}}}$باستخدام الشكل الهرميتي التالي $${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$ والشخصية شبه النمطية $${\displaystyle {\begin{matrix}\chi$$ :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}} for${\displaystyle H}$إن إظهار هذه البيانات يُنشئ حزمة خطية بالخصائص المطلوبة، ويتضح ذلك من خلال النظر إلى العامل الكنسي المرتبط بها.${\displaystyle (H,\chi )}$ومراقبة سلوكه في ظل قيود مختلفة.

• روبرت، وولفغانغ م. (1990). "متى يكون السطح الأبلي متماثلًا أو متجانسًا مع حاصل ضرب منحنيات إهليلجية؟" . مجلة الرياضيات . 203 : 293-299 . doi : 10.1007/BF02570737 . S2CID 120799085 . - يوفر أدوات لإيجاد حلقات معقدة ليست من الأصناف الأبيلية
• ماركيزيو، مارينا روزانا (1998). "الأسطح الأبيلية ومنتجات المنحنيات الإهليلجية" . Bollettino dell'unione Matematica Italiana . 1-ب (2): 407- 427.

• بن-باسات، أورين (2012). "جيربس ومجموعة براور الهولومورفية للحلقات المعقدة". مجلة الهندسة غير التبادلية . 6 (3): 407-455 . arXiv : 0811.2746 . doi : 10.4171/JNCG/96 . S2CID 15049025 . - يوسع فكرة استخدام الأشكال المتناوبة على الشبكة إلى${\displaystyle {\text{Alt}}^{3}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$، لبناء جيربس على طارة معقدة
• بلوك، جوناثان؛ داينزر، كالدر (2008). "ازدواجية موكاي للجربات ذات الاتصال". مجلة كريل . arXiv : 0803.1529v2 .- يتضمن أمثلة على الجربات على أسطح حلقية معقدة
• بن بسات، أورين (2013). “جربس متساوي على توري معقدة”. مجلة الهندسة والفيزياء . 64 : 209 – 221. أرخايف : 1102.2312 . بيب كود : 2013JGP....64..209B . دوى : 10.1016/j.geomphys.2012.10.012 . S2CID 119599648 . 
• فيلدر، جيوفاني؛ هنريكيس، أندريه؛ روسي، كارلو أ. تشو، تشينشانغ (2008). “جربة لوظيفة غاما الإهليلجية”. مجلة ديوك الرياضية . 141 . أرخايف : الرياضيات/0601337 . دوى : 10.1215/S0012-7094-08-14111-0 . S2CID 817920 . - يمكن توسيعه ليشمل الحلقات المعقدة

• التكاملات الأبيلية p-adic: من النظرية إلى التطبيق