مجموعة بيكارد

في الرياضيات ، تُعرف زمرة بيكارد للفضاء الحلقي X ، والتي يُرمز لها بـ Pic( X )، بأنها زمرة فئات التشاكل للحزم القابلة للعكس (أو حزم الخطوط ) على X ، حيث تكون عملية الزمرة هي الضرب الموتري . يُعد هذا البناء نسخة شاملة من بناء زمرة فئات القواسم، أو زمرة فئات المثالي ، ويُستخدم بكثرة في الهندسة الجبرية ونظرية المشعبات المركبة .

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف مجموعة بيكارد على أنها مجموعة تماثل الحزم

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

بالنسبة للمخططات التكاملية، فإن زمرة بيكارد متماثلة مع زمرة فئات قواسم كارتييه . أما بالنسبة للمشعبات المركبة، فإن متتالية الحزم الأسية تعطي معلومات أساسية عن زمرة بيكارد.

جاء هذا الاسم تكريماً لنظريات إميل بيكارد ، وخاصةً نظريات القواسم على الأسطح الجبرية .

• مجموعة بيكارد لطيف مجال ديديكيند هي مجموعة الفئات المثالية الخاصة به .
• الحزم القابلة للعكس على الفضاء الإسقاطي P ⁿ ( k ) حيث k حقل ، هي الحزم الملتوية .${\displaystyle {\mathcal {O}}(م),\,}$إذن فإن مجموعة بيكارد لـ P ⁿ ( k ) متماثلة مع Z .
• مجموعة بيكارد للخط الأفيني ذي الأصلين على k متماثلة مع Z.
• مجموعة بيكارد من${\displaystyle n}$فضاء أفيني معقد ذو أبعاد :${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$في الواقع، ينتج عن المتتالية الأسية المتتالية التامة الطويلة التالية في علم التماثل.

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

ومنذ ذلك الحين${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$^{[ 1 ]} لدينا${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$لأن${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$إذا كان قابلاً للانقباض، فـ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$ويمكننا تطبيق تماثل دولبو لحساب${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$بواسطة معضلة دولبو-غروتينديك .

يُعدّ بناء بنية مخطط على ( نسخة الدالة التمثيلية من) مجموعة بيكارد، أي مخطط بيكارد ، خطوةً مهمةً في الهندسة الجبرية، ولا سيما في نظرية الازدواجية للأصناف الأبيلية . وقد بناه غروتينديك (1962) ، ووصفه أيضًا مامفورد (1966) وكليمان (2005) .

في الحالات ذات الأهمية القصوى للهندسة الجبرية الكلاسيكية، بالنسبة لمتنوعة كاملة غير شاذة V على حقل ذي خاصية صفرية، يكون المكون المتصل للهوية في مخطط بيكارد منوعًا أبيليًا يُسمى منوع بيكارد ويُرمز له بـ Pic ⁰ ( V ). والمُزدوج لمتنوع بيكارد هو منوع ألبانيز ، وفي الحالة الخاصة حيث V منحنى، يكون منوع بيكارد متماثلًا طبيعيًا مع منوع جاكوبي لـ V. أما بالنسبة للحقول ذات الخاصية الموجبة، فقد بنى إيغوسا مثالًا لسطح إسقاطي أملس S حيث Pic ⁰ ( S ) غير مُختزل، وبالتالي ليس منوعًا أبيليًا .

الزمرة الخارجة Pic( V )/Pic0 ⁽ V ) هي زمرة أبيلية مولدة منتهية، ويرمز لها بـ NS( V )، وهي زمرة نيرون-سيفيري للفضاء V. بعبارة أخرى، تتناسب زمرة بيكارد مع متتالية تامة.

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

إن حقيقة أن رتبة NS( V ) محدودة هي نظرية فرانشيسكو سيفيري للأساس ؛ والرتبة هي عدد بيكارد لـ V ، والذي يُرمز إليه غالبًا بـ ρ ( V ). هندسيًا، تصف NS( V ) فئات التكافؤ الجبري للقواسم على V ؛ أي باستخدام علاقة تكافؤ أقوى وغير خطية بدلًا من التكافؤ الخطي للقواسم ، يصبح التصنيف قابلًا للثوابت المنفصلة. يرتبط التكافؤ الجبري ارتباطًا وثيقًا بالتكافؤ العددي ، وهو تصنيف طوبولوجي أساسًا يعتمد على أعداد التقاطع .

ليكن f : X → S تشاكلاً بين المخططات . يُعطى المؤثر البيكاردي النسبي (أو المخطط البيكاردي النسبي إذا كان مخططًا) بالصيغة التالية: ^{[ 2 ]} لأي مخطط S - T ،

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

أين${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$يمثل التغير الأساسي لـ f و f _T ^* هو التراجع.

نقول حرف اللام في${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$تكون درجة السحب r إذا كان لأي نقطة هندسية s → T${\displaystyle s^{*}L}$لـ L على طول s درجة r كحزمة قابلة للعكس على الألياف X _s (عندما يتم تعريف الدرجة لمجموعة بيكارد لـ X _s .)

• علم التماثل الحزمي
• أصناف تشاو
• قسيمة كارتييه
• حزمة خطية هولومورفية
• مجموعة الفصل المثالية
• مجموعة أراكيلوف الصفية
• مجموعة مكدس
• فئة بيكارد

• Grothendieck، A. (1962)، V. Les schémas de Picard. نظريات الوجود ، ندوة بورباكي، ر. 14: سنة 1961/62، المعروضات 223-240، رقم. 7، الحديث رقم. 232، ص 143 – 161 
• جروتينديك، أ. (1962)، السادس. مخططات بيكارد. الملكية العامة , Séminaire Bourbaki, t. 14: سنة 1961/62، المعروضات 223-240، رقم. 7، الحديث رقم. 236، ص 221 – 243 
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، OCLC 13348052  
• إيغوسا، جون-إيتشي (1955)، "حول بعض المسائل في الهندسة الجبرية المجردة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 41 (11): 964-967 ، رمز Bibcode : 1955PNAS...41..964I ، doi : 10.1073/pnas.41.11.964 ، PMC 534315 ، PMID 16589782  
• كلايمان، ستيفن ل. (2005)، "مخطط بيكارد"، الهندسة الجبرية الأساسية ، سلسلة دراسات الرياضيات، المجلد  123، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 235-321 ، arXiv : math/0504020 ، Bibcode : 2005math......4020K ، MR 2223410  
• مامفورد، ديفيد (1966)، محاضرات حول المنحنيات على سطح جبري ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد  59، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-07993-6، MR 0209285 ، OCLC 171541070  
• مومفورد، ديفيد (1970)، أصناف أبيلية ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-560528-0، OCLC 138290