نظرية O-الحد الأدنى

في المنطق الرياضي ، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية النماذج ، بنية لا نهائية${\displaystyle (M,<,\dots )}$هذا يتم ترتيبه بالكامل بواسطة${\displaystyle <}$يُطلق عليها اسم بنية o-minimal إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة فرعية قابلة للتعريف${\displaystyle X\subseteq M}$(مع أخذ المعلمات من${\displaystyle M}$) هو اتحاد محدود من الفترات والنقاط.

يمكن اعتبار الحد الأدنى O شكلاً ضعيفاً من أشكال حذف الكميات . بنية${\displaystyle M}$تكون الصيغة o-minimal إذا وفقط إذا كانت كل صيغة تحتوي على متغير حر واحد ومعاملات في${\displaystyle M}$وهو ما يعادل صيغة خالية من المحددات الكمية تتضمن الترتيب فقط، وكذلك مع وجود معلمات في${\displaystyle M}$وهذا مماثل للهياكل الدنيا ، والتي هي بالضبط نفس الخاصية وصولاً إلى المساواة.

نظرية​${\displaystyle T}$تُعتبر نظرية o-minimal إذا كان كل نموذج من${\displaystyle T}$هي دالة دنيا من الدرجة o. من المعروف أن النظرية الكاملة${\displaystyle T}$إن نظرية البنية الدنيا من الرتبة o هي نظرية دنيا من الرتبة o. ^{[ 1 ]} هذه النتيجة لافتة للنظر لأنه، على النقيض من ذلك، لا يشترط أن تكون النظرية الكاملة للبنية الدنيا نظرية دنيا قوية ، أي أنه قد توجد بنية مكافئة لها من الناحية الأولية ولكنها ليست دنيا.

يمكن تعريف البنى الدنيا O دون اللجوء إلى نظرية النموذج. هنا نُعرّف بنية على مجموعة غير فارغة${\displaystyle M}$بطريقة نظرية المجموعات، كمتتالية${\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$بحيث

1. ${\displaystyle S_{n}}$هي جبر بولياني لمجموعات جزئية من${\displaystyle M^{n}}$
2. لو${\displaystyle D\in S_{n}}$ثم${\displaystyle M\times D}$و${\displaystyle D\times M}$في${\displaystyle S_{n+1}}$
3. المجموعة${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\in M^{n}:x_{1}=x_{n}\}}$هو في${\displaystyle S_{n}}$
4. لو${\displaystyle D\in S_{n+1}}$و${\displaystyle \pi :M^{n+1}\to M^{n}}$خريطة الإسقاط على الأول${\displaystyle n}$إحداثيات، ثم${\displaystyle \pi (D)\in S_{n}}$.

بالنسبة لمجموعة جزئية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle M}$، نأخذ في الاعتبار أصغر بنية${\displaystyle S(A)}$يحتوي على${\displaystyle S}$بحيث كل مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle A}$موجود في${\displaystyle S_{1}}$مجموعة فرعية${\displaystyle D}$ل${\displaystyle M^{n}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle A}$- قابلة للتحديد إذا كانت موجودة في${\displaystyle S_{n}(A)}$في هذه الحالة،${\displaystyle A}$يُطلق عليه مجموعة من المعاملات لـ${\displaystyle D}$تُسمى المجموعة الجزئية قابلة للتعريف إذا كانت${\displaystyle A}$- قابلة للتحديد بالنسبة للبعض${\displaystyle A}$.

لو${\displaystyle M}$له ترتيب خطي كثيف بدون نقاط نهاية، على سبيل المثال${\displaystyle <}$ثم هيكل${\displaystyle S}$على${\displaystyle M}$يُطلق عليه اسم o-minimal (بالنسبة إلى${\displaystyle <}$) إذا استوفى البديهيات الإضافية

6. المجموعة${\displaystyle <}$(محدد برسمه البياني)${\displaystyle \{(x,y)\in M^{2}:x<y\}}$) موجود في${\displaystyle S_{2}}$
7. المجموعات الفرعية القابلة للتحديد من${\displaystyle M}$هي تحديداً الاتحادات المحدودة للفترات والنقاط.

يشير الحرف "o" إلى "الترتيب"، حيث أن أي بنية دنيا من النوع o تتطلب ترتيبًا على المجموعة الأساسية.

نشأت البنى الدنيا من النوع O في نظرية النماذج، ولذا فإن لها تعريفًا أبسط - ولكنه مكافئ - باستخدام لغة نظرية النماذج. ^{[ 2 ]} أي، إذا${\displaystyle L}$هي لغة تتضمن علاقة ثنائية${\displaystyle <}$، و${\displaystyle (M,<,\dots )}$هو${\displaystyle L}$-هيكل حيث${\displaystyle <}$إذا تم تفسيرها على أنها تحقق بديهيات الترتيب الخطي الكثيف، ^{[ 3 ]} فإن${\displaystyle (M,<,\dots )}$يُطلق عليها اسم بنية o-minimal إذا كان لأي مجموعة قابلة للتعريف${\displaystyle X\subseteq M}$يوجد عدد محدود من الفترات المفتوحة${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{r}}$في${\displaystyle M\cup \{\pm \infty \}}$ومجموعة منتهية${\displaystyle X_{0}}$بحيث

${\displaystyle X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.}$

من أمثلة النظريات ذات الحد الأدنى:

• النظرية الكاملة للترتيبات الخطية الكثيفة في اللغة التي تحتوي على الترتيب فقط.
• RCF، نظرية الحقول المغلقة الحقيقية . ^{[ 4 ]}
• النظرية الكاملة للحقل الحقيقي مع إضافة الدوال التحليلية المقيدة (أي الدوال التحليلية على جوار من${\displaystyle [0,1]^{n}}$، يقتصر على${\displaystyle [0,1]^{n}}$لاحظ أن دالة الجيب غير المقيدة لها عدد لا نهائي من الجذور، وبالتالي لا يمكن تعريفها في بنية دنيا.
• النظرية الكاملة للحقل الحقيقي مع رمز للدالة الأسية وفقًا لنظرية ويلكي . وبشكل أعم، النظرية الكاملة للأعداد الحقيقية مع إضافة دوال بفاف .
• يمكن دمج المثالين الأخيرين: فبمعرفة أي توسيع o-minimal للحقل الحقيقي (مثل الحقل الحقيقي ذي الدوال التحليلية المقيدة)، يمكن تعريف إغلاقه البفافي، وهو بدوره بنية o-minimal. ^{[ 5 ]} (يُعتبر الإغلاق البفافي لبنية ما، على وجه الخصوص، مغلقًا تحت سلاسل بفافية حيث تُستخدم دوال قابلة للتعريف بشكل عشوائي بدلًا من كثيرات الحدود).

في حالة RCF، تُعدّ المجموعات القابلة للتعريف مجموعات شبه جبرية . وبالتالي، فإن دراسة البنى والنظريات الدنيا-o تُعمّم الهندسة الجبرية الحقيقية . ويرتكز أحد أهم خطوط البحث الحالية على اكتشاف توسعات الحقل المرتب الحقيقي التي تكون دنيا-o. وعلى الرغم من عمومية التطبيق، يُمكن إظهار الكثير عن هندسة المجموعات القابلة للتعريف في البنى الدنيا-o. فهناك نظرية تجزئة الخلايا، ^{[ 6 ]} ونظريتا ويتني وفيردييه للتصنيف ، ومفهوم جيد للبعد والخاصية الأويلرية.

علاوة على ذلك، فإن الدوال القابلة للتفاضل باستمرار والقابلة للتعريف في بنية o-minimal تحقق تعميمًا لمتباينة لوياسيفيتش ، ^{[ 7 ]} وهي خاصية استُخدمت لضمان تقارب بعض طرق التحسين غير الملساء، مثل طريقة التدرج الفرعي العشوائي (في ظل بعض الافتراضات البسيطة). ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• مجموعة شبه جبرية
• الهندسة الجبرية الحقيقية
• نظرية بسيطة للغاية
• بنية ضعيفة الحد الأدنى o
• نظرية الحد الأدنى C
• طوبولوجيا الترويض

• فان دن دريس، لو (1998). الطوبولوجيا المروضة والبنى الدنيا-o . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  248. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-59838-5. Zbl 0953.03045 . 
• ماركر، ديفيد (2000). "مراجعة لكتاب "الطوبولوجيا المروضة والهياكل الدنيا"" (PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 37 (3): 351– 357. doi : 10.1090/S0273-0979-00-00866-1 .
• ماركر، ديفيد (2002). نظرية النماذج: مقدمة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  217. نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034 . 
• بيلاي، أناند؛ شتاينهورن، تشارلز (1986). "المجموعات القابلة للتعريف في البنى المرتبة 1" ( ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 295 (2): 565-592 . doi : 10.2307/2000052 . JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023 .  
• نايت، جوليا ؛ بيلاي، أناند؛ شتاينهورن، تشارلز (1986). " المجموعات القابلة للتعريف في البنى المرتبة II" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 295 (2): 593-605 . doi : 10.2307/2000053 . JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024 .  
• بيلاي، أناند؛ شتاينهورن، تشارلز (1988). " المجموعات القابلة للتعريف في البنى المرتبة III" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 309 (2): 469-476 . doi : 10.2307/2000920 . JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024 .  
• ويلكي، أ. ج. (1996). "نتائج اكتمال النموذج لتوسيعات الحقل المرتب للأعداد الحقيقية بواسطة دوال بفاف المقيدة والدالة الأسية" (ملف PDF) . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 9 (4): 1051-1095 . doi : 10.1090/S0894-0347-96-00216-0 .
• دينيف، ج.؛ فان دن دريس، ل. (1989). " المجموعات التحليلية الفرعية الحقيقية والمجموعات p -adic". حوليات الرياضيات . 128 (1): 79-138 . doi : 10.2307/1971463 . JSTOR 1971463 . 

• خادم ما قبل الطباعة لنظرية النماذج، مؤرشف بتاريخ 3 يوليو 2013 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• خادم ما قبل الطباعة للهندسة الجبرية والتحليلية الحقيقية