المتغيرات الحرة والمتغيرات المقيدة

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ابحث عن المصادر:  "المتغيرات الحرة والمتغيرات المقيدة" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( ديسمبر 2008 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

في الرياضيات ، وفي التخصصات الأخرى التي تتضمن لغات رسمية ، بما في ذلك المنطق الرياضي وعلوم الكمبيوتر ، يمكن القول إن المتغير إما حر أو مقيد. تستخدم بعض الكتب القديمة مصطلحي المتغير الحقيقي والمتغير الظاهر للمتغير الحر والمتغير المقيد ، على التوالي. المتغير الحر هو تدوين (رمز) يحدد الأماكن في تعبير حيث يمكن أن يحدث الاستبدال وليس معلمة لهذا التعبير أو أي تعبير حاوية. ترتبط الفكرة بعلامة نائبة ( رمز سيتم استبداله لاحقًا بقيمة ما)، أو حرف بدل يمثل رمزًا غير محدد.

في برمجة الكمبيوتر ، يشير مصطلح المتغير الحر إلى المتغيرات المستخدمة في الدالة والتي لا تعد متغيرات محلية ولا معلمات لهذه الدالة. غالبًا ما يكون مصطلح المتغير غير المحلي مرادفًا في هذا السياق.

تكون حالة رمز المتغير مقيدة ، على النقيض من ذلك، إذا تم ربط قيمة رمز المتغير هذا بقيمة محددة أو نطاق من القيم في مجال الخطاب أو الكون . يمكن تحقيق ذلك من خلال استخدام الكميات المنطقية أو مشغلات ربط المتغير أو بيان صريح للقيم المسموح بها للمتغير (مثل "... حيث يكون عددًا صحيحًا موجبًا"). يكون رمز المتغير بشكل عام مقيدًا إذا تم ربط حدوث واحد على الأقل منه. ^{[1] ص 142--143} نظرًا لأن رمز المتغير نفسه قد يظهر في أماكن متعددة في تعبير، فقد تكون بعض حدوثات رمز المتغير حرة بينما تكون أخرى مقيدة، ^{[1] ص 78} وبالتالي يتم تعريف "حر" و"مقيد" في البداية للتكرارات ثم يتم تعميمهما على جميع حدوثات رمز المتغير المذكور في التعبير. ومهما كانت الطريقة التي يتم بها ذلك، يتوقف المتغير عن كونه متغيرًا مستقلاً تعتمد عليه قيمة التعبير، سواء كانت تلك القيمة قيمة حقيقة أو النتيجة العددية لحساب، أو بشكل عام، عنصرًا من مجموعة صور لدالة. ${\displaystyle n}$

في حين أن مجال الخطاب مفهوم في العديد من السياقات، فعندما لا يتم تحديد نطاق واضح للقيم للمتغير المحدد، فقد يكون من الضروري تحديد المجال من أجل تقييم التعبير بشكل صحيح. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التعبير التالي حيث يتم تقييد كلا المتغيرين بواسطة محددات كمية منطقية:

${\displaystyle \forall y\,\exists x\,\left(x={\sqrt {y}}\right).}$

يتم تقييم هذا التعبير على أنه خطأ إذا كان مجال و هو الأعداد الحقيقية، ولكن صحيح إذا كان مجال هو الأعداد المركبة. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

يُستخدم مصطلح "المتغير الوهمي" أيضًا في بعض الأحيان للإشارة إلى متغير محدد (وهو أكثر شيوعًا في الرياضيات العامة منه في علوم الكمبيوتر)، ولكن لا ينبغي الخلط بينه وبين مفهوم المتغير الوهمي الذي يحمل نفس الاسم ولكنه غير مرتبط به كما هو مستخدم في الإحصاء، وهو الأكثر شيوعًا في تحليل الانحدار. ^{[2] ص 17}

قبل وضع تعريف دقيق للمتغير الحر والمتغير المحدود، فيما يلي بعض الأمثلة التي ربما تجعل هذين المفهومين أكثر وضوحًا من التعريف:

في التعبير

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}f(k,n),}$

n هو متغير حر و k هو متغير مقيد؛ وبالتالي فإن قيمة هذا التعبير تعتمد على قيمة n ، ولكن لا يوجد شيء يسمى k يمكن أن يعتمد عليه.

في التعبير

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{y-1}e^{-x}\,dx,}$

y هو متغير حر و x هو متغير مقيد؛ وبالتالي فإن قيمة هذا التعبير تعتمد على قيمة y ، ولكن لا يوجد شيء يسمى x يمكن أن يعتمد عليه.

في التعبير

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},}$

x هو متغير حر و h هو متغير مقيد؛ وبالتالي فإن قيمة هذا التعبير تعتمد على قيمة x ، ولكن لا يوجد شيء يسمى h يمكن أن يعتمد عليه.

في التعبير

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ {\Big [}\varphi (x,y,z){\Big ]},}$

z هو متغير حر و x و y متغيران مرتبطان بكمّيات منطقية ؛ وبالتالي فإن القيمة المنطقية لهذا التعبير تعتمد على قيمة z ، ولكن لا يوجد شيء يسمى x أو y يمكن أن يعتمد عليه.

على نطاق أوسع، في معظم البراهين، يتم استخدام المتغيرات المقيدة. على سبيل المثال، يوضح البرهان التالي أن جميع مربعات الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة قابلة للقسمة على${\displaystyle 4}$

ليكن عددًا صحيحًا زوجيًا موجبًا. إذن يوجد عدد صحيح بحيث . بما أن ، لدينا قابل للقسمة على${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle n^{2}=4k^{2}}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle 4}$

لم يتم استخدام k فقط ولكن أيضًا n كمتغيرات مقيدة ككل في الإثبات.

التالي

${\displaystyle \sum _{x\in S}\quad \quad \prod _{x\in S}\quad \quad \int _{0}^{\infty }\cdots \,dx\quad \quad \lim _{x\to 0}\quad \quad \forall x\quad \quad \exists x}$

هناك بعض عوامل الربط المتغيرة الشائعة . كل منها يربط المتغير x بمجموعة S.

العديد من هذه هي مشغلات تعمل على وظائف المتغير المرتبط. في السياقات الأكثر تعقيدًا، يمكن أن تصبح مثل هذه التدوينات محرجة ومربكة. قد يكون من المفيد التبديل إلى تدوينات تجعل الارتباط واضحًا، مثل

${\displaystyle \sum _{1,\ldots ,10}\left(k\mapsto f(k,n)\right)}$

للمبالغ أو

${\displaystyle D\left(x\mapsto x^{2}+2x+1\right)}$

للتمايز.

تحدث آليات ربط المتغيرات في سياقات مختلفة في الرياضيات والمنطق وعلوم الكمبيوتر. ومع ذلك، في جميع الحالات، فهي خصائص نحوية بحتة للتعبيرات والمتغيرات فيها. في هذا القسم، يمكننا تلخيص بناء الجملة من خلال تحديد تعبير بشجرة تكون عقدها الورقية عبارة عن متغيرات أو ثوابت أو ثوابت دالة أو ثوابت مسندة وتكون عقدها غير الورقية عبارة عن عوامل منطقية. يمكن بعد ذلك تحديد هذا التعبير عن طريق إجراء مسح داخل الترتيب للشجرة. عوامل ربط المتغيرات هي عوامل منطقية تحدث في كل لغة رسمية تقريبًا. يأخذ عامل الربط Q وسيطتين: متغير v وتعبير P ، وعند تطبيقه على وسيطاته ينتج تعبيرًا جديدًا Q( v ، P ). يتم توفير معنى عوامل الربط من خلال دلالات اللغة ولا يهمنا هنا.

يرتبط ربط المتغيرات بثلاثة أشياء: متغير v وموقع a لذلك المتغير في تعبير وعقدة غير ورقية n من النموذج Q( v , P ). ملاحظة: نُعرّف موقعًا في تعبير كعقدة ورقية في شجرة بناء الجملة. يحدث ربط المتغيرات عندما يكون هذا الموقع أسفل العقدة n .

في حساب لامدا ، xهو متغير مرتبط في الحد M = λx. Tومتغير حر في الحد T. نقول xمرتبط في Mوحر في T. إذا كان Tيحتوي على حد فرعي λx. U، فإنه xيرتد في هذا الحد. ويقال إن هذا الارتباط الداخلي المتداخل xلـ "يظلل" الارتباط الخارجي. إن حدوثات في xهي Uحدوثات حرة للجديد x. ^[3]

المتغيرات المرتبطة بالمستوى الأعلى من البرنامج هي متغيرات حرة من الناحية الفنية ضمن الحدود التي ترتبط بها، ولكن غالبًا ما يتم التعامل معها بشكل خاص لأنها يمكن تجميعها كعناوين ثابتة. وعلى نحو مماثل، فإن المعرف المرتبط بدالة متكررة هو أيضًا متغير حر من الناحية الفنية ضمن جسمه الخاص ولكن يتم التعامل معه بشكل خاص.

المصطلح المغلق هو المصطلح الذي لا يحتوي على متغيرات حرة.

ولإعطاء مثال من الرياضيات، ضع في اعتبارك تعبيرًا يحدد دالة

${\displaystyle f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]}$

حيث t عبارة عن تعبير. قد يحتوي t على بعض أو كل أو لا شيء من x ₁ ، … ، x _n وقد يحتوي على متغيرات أخرى. في هذه الحالة نقول أن تعريف الدالة يربط المتغيرات x ₁ ، … ، x _n .

بهذه الطريقة، يمكن اعتبار تعبيرات تعريف الدالة من النوع الموضح أعلاه بمثابة عامل ربط متغير، على غرار تعبيرات لامدا في حساب لامدا . يمكن اعتبار عوامل الربط الأخرى، مثل علامة الجمع ، بمثابة دوال من الدرجة الأعلى تنطبق على دالة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار التعبير

${\displaystyle \sum _{x\in S}{x^{2}}}$

يمكن التعامل معها باعتبارها تدوينًا لـ

${\displaystyle \sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}}$

حيث هو عامل ذو معاملين - دالة ذات معامل واحد ومجموعة لتقييم تلك الدالة عليها. يمكن التعبير عن العوامل الأخرى المذكورة أعلاه بطرق مماثلة؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار الكمية الشاملة عاملاً يتم تقييمه إلى الاقتران المنطقي للدالة ذات القيمة المنطقية P المطبقة على المجموعة (التي قد تكون لا نهائية) S.${\displaystyle \sum _{S}{f}}$ ${\displaystyle \forall x\in S\ P(x)}$

This section has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2023) (Learn how and when to remove this message) This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2008) (Learn how and when to remove this message)

عند تحليلها في الدلالات الرسمية ، يمكن ملاحظة أن اللغات الطبيعية تحتوي على متغيرات حرة ومقيدة . في اللغة الإنجليزية، يمكن للضمائر الشخصية مثل he و she و they وما إلى ذلك أن تعمل كمتغيرات حرة.

وجدت ليزا كتابها .

في الجملة أعلاه، الضمير التملكي her هو متغير حر. قد يشير إلى ليزا المذكورة سابقًا أو إلى أي أنثى أخرى. بعبارة أخرى، يمكن أن يشير كتابها إلى كتاب ليزا ( مثال على الإحالة المشتركة ) أو إلى كتاب ينتمي إلى أنثى مختلفة (مثل كتاب جين). يمكن تحديد هوية المرجع لها وفقًا للسياق الموقفي (أي البراجماتي ). يمكن إظهار هوية المرجع باستخدام مؤشرات الفهرسة المشتركة حيث يشير i إلى مرجع واحد ويشير j إلى مرجع ثانٍ (مختلف عن i ). وبالتالي، فإن الجملة Lisa found her book لها التفسيرات التالية:

ليزا _{وجدتها في} كتابها . (التفسير رقم 1: لها = ليزا )

ليزا _وجدت كتابها _ج . (التفسير رقم 2: لها = أنثى ليست ليزا)

لا يعد هذا التمييز ذا أهمية أكاديمية بحتة، حيث إن بعض اللغات لها في الواقع أشكال مختلفة لـ her _i و her _j : على سبيل المثال، تترجم النرويجية والسويدية her _i ذات الإشارة المتبادلة إلى sin و her _j غير ذات الإشارة المتبادلة إلى hennes .

تسمح اللغة الإنجليزية بتحديد المرجع المشترك، ولكن هذا اختياري، حيث أن كلا التفسيرين للمثال السابق صالحان (يتم الإشارة إلى التفسير غير النحوي بعلامة النجمة):

ليزا _وجدت كتابها _الخاص . (التفسير رقم 1: لها = ليزا )

* ليزا _وجدت كتابها _الخاص . (التفسير رقم 2: هي = أنثى ليست ليزا)

ومع ذلك، فإن الضمائر الانعكاسية ، مثل نفسه ، نفسها ، أنفسهم ، إلخ، والضمائر المتبادلة ، مثل بعضهم البعض ، تعمل كمتغيرات مقيدة. في جملة مثل التالية:

جين أذت نفسها .

لا يمكن للضمير المنعكس نفسه أن يشير إلا إلى السلف المذكور سابقًا ، في هذه الحالة جين ، ولا يمكنه أبدًا أن يشير إلى شخص أنثوي مختلف. في هذا المثال، يرتبط المتغير نفسه بالاسم جين الذي يظهر في موضع الفاعل . للإشارة إلى الفهرسة المشتركة، فإن التفسير الأول مع جين ونفسها مترابطان معًا مسموح به، لكن التفسير الآخر حيث لا يتم فهرستهما معًا غير نحوي :

جين _{لقد أذيت} نفسها ( التفسير رقم 1: نفسها = جين )

* جين _آذيت نفسها _ج . (التفسير رقم 2: نفسها = أنثى ليست جين)

يمكن تمثيل ارتباط المرجع المشترك باستخدام تعبير لامدا كما هو مذكور في قسم التفسير الرسمي السابق. يمكن تمثيل الجملة التي تحتوي على الانعكاس على النحو التالي

(λ x . x أذى x )جين

حيث أن Jane هي حجة المرجع الموضوعي و λx.x hurt x هي دالة المسند (تجريد لامدا) مع تدوين لامدا و x يشير إلى كل من الفاعل الدلالي والمفعول الدلالي للجملة باعتبارهما مرتبطين. هذا يعيد التفسير الدلالي JANE hurt JANE مع كون JANE هو نفس الشخص.

يمكن أن تتصرف الضمائر أيضًا بطريقة مختلفة. في الجملة أدناه

ضربتها اشلي .

الضمير her لا يمكن أن يشير إلا إلى أنثى ليست آشلي. وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون له معنى انعكاسي يعادل آشلي تضرب نفسها . التفسيرات النحوية وغير النحوية هي:

* اشلي ضربتها _انا . ( التفسير رقم 1: هي = اشلي ₎

أشلي _ضربتها ج . (التفسير رقم 2: هي = أنثى ليست أشلي ₎

التفسير الأول مستحيل، والتفسير الثاني هو الذي يجيزه النحو.

وبالتالي، يمكن ملاحظة أن الانعكاسات والمقلوبات هي متغيرات مقيدة (تُعرف تقنيًا باسم الضمائر الموصولة ) بينما الضمائر الحقيقية هي متغيرات حرة في بعض البنى النحوية ولكنها متغيرات لا يمكن تقييدها في بنى نحوية أخرى. كانت ظاهرة الربط الموجودة في اللغات الطبيعية مهمة بشكل خاص للحكومة النحوية ونظرية الربط (انظر أيضًا: الربط (علم اللغة) ).

• الإغلاق (علوم الكمبيوتر)
• المنطق التركيبي
• رفع لامدا
• ربط الاسم
• النطاق (البرمجة)
• النطاق (المنطق)

• تومسون، سيمون (1991). نظرية النوع والبرمجة الوظيفية . ووكينجهام، إنجلترا: أديسون ويسلي. ISBN 0201416670. OCLC  23287456.
• وولف، روبرت س. (2005). جولة عبر المنطق الرياضي . المجلد 30. الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 978-0-88385-042-8. JSTOR  10.4169/j.ctt5hh94h.

• جورز، تيموثي ؛ بارو-جرين، جون ؛ ليدر، إيمري ، محررون (2008). رفيق برينستون للرياضيات . برينستون، نيوجيرسي : مطبعة جامعة برينستون . ص. 15-16. doi :10.1515/9781400830398. ISBN 978-0-691-11880-2. جستور  j.ctt7sd01. LCCN  2008020450. السيد  2467561. OCLC  227205932. OL  19327100M. زبل  1242.00016.