تكامل أوغاوا

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، يُعرف تكامل أوغاوا ، أو التكامل العشوائي غير السببي ، بأنه تكامل عشوائي للعمليات غير المتكيفة كدوال تكامل . ويُطلق على الحساب المقابل اسم حساب التفاضل والتكامل غير السببي، وهو ما يميزه عن حساب التفاضل والتكامل الاستباقي لتكامل سكوروهود . ويشير مصطلح السببية إلى التكيف مع الترشيح الطبيعي للمكامل.

تم تقديم التكامل من قبل عالم الرياضيات الياباني شيغيوشي أوغاوا في عام 1979. [ 1 ]

تكامل أوغاوا

يترك

  • (Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}ليكن فضاء احتمالي ،
  • دبليو=(دبليوت)ت∈[0،تي]{\displaystyle W=(W_{t})_{t\in [0,T]}}أن تكون عملية وينر قياسية أحادية البعد معتي∈R+{\displaystyle T\in \mathbb {R} _{+}}،
  • Fتدبليو=σ(دبليوs؛0≤s≤ت)⊂F{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}}وFدبليو={Fتدبليو،ت≥0}{\displaystyle \mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}}أن تكون عملية الترشيح الطبيعية لعملية وينر،
  • ب([0،تي]){\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])}جبر سيجما بوريل ،
  • ∫وددبليوت{\displaystyle \int f\;dW_{t}}ليكن التكامل الفييني،
  • دت{\displaystyle dt}كن مقياس ليبيغ .

علاوة على ذلك، دعح{\displaystyle \mathbf {H} }لتكن مجموعة العمليات ذات القيم الحقيقيةX:[0،تي]×Ω→R{\displaystyle X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }التي هي ب([0،تي])×F{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}}-قابلة للقياس، ومن المؤكد تقريبًا فيل2([0،تي]،دت){\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}، أي

P(∫0تي|X(ت،ω)|2دت<∞)=1.{\displaystyle P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}\,dt<\infty \right)=1.}

تكامل أوغاوا

يترك{φن}ن∈شمال{\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}ليكن أساسًا متعامدًا كاملًا لفضاء هيلبرتل2([0،تي]،دت){\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}.

عمليةX∈ح{\displaystyle X\in \mathbf {H} }يُطلق عليه اسمφ{\displaystyle \varphi }قابلة للتكامل إذا كانت السلسلة العشوائية

∫0تيXتدφدبليوت:=∑ن=1∞(∫0تيXتφن(ت)دت)∫0تيφن(ت)ددبليوت{\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }W_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dW_{t}}

يتقارب في الاحتمالية ويسمى المجموع المقابل تكامل أوجاوا بالنسبة للأساس{φن}{\displaystyle \{\varphi _{n}\}}.

لوX{\displaystyle X}يكونφ{\displaystyle \varphi }قابلة للتكامل لأي أساس متعامد كامل منل2([0،تي]،دت){\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}وتشترك التكاملات المقابلة في نفس القيمة.X{\displaystyle X}يُطلق عليه اسم التكامل العالمي لأوجاوا (أو التكامل-u ). [ 2 ]

وبشكل أعم، يمكن تعريف تكامل أوغاوا لأيل2(Ω،P){\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}-عمليةZت{\displaystyle Z_{t}}(مثل الحركة البراونية الكسرية ) كمكاملات

∫0تيXتدφZت:=∑ن=1∞(∫0تيXتφن(ت)دت)∫0تيφن(ت)دZت{\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,d_{\varphi }Z_{t}:=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)\,dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}}

طالما أن التكاملات

∫0تيφن(ت)دZت{\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)\,dZ_{t}}

محددة جيدًا. [ 2 ]

ملاحظات

  • إن تقارب السلسلة لا يعتمد فقط على الأساس المتعامد، ولكن أيضًا على ترتيب هذا الأساس.
  • توجد تعريفات مكافئة متعددة لتكامل أوغاوا، ويمكن الاطلاع عليها في ( [ 2 ] : 239-241 ). إحدى هذه الطرق تستخدم نظرية إيتو-نيسيو .

انتظام الأساس المتعامد

يُعدّ انتظام الأساس المتعامد مفهومًا مهمًا في تكامل أوغاوا .{φن}ن∈شمال{\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}يُطلق عليه اسم منتظم إذا

رشفةن∫0تي(∑أنا=1نφأنا(ت)∫0تφأنا(s)دs)2دت<∞{\displaystyle \sup _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)\,ds\right)^{2}\,dt<\infty }

يحجز.

النتائج التالية المتعلقة بالانتظام معروفة:

  • كل شبه مارتينجال (سببي أو غير سببي) هوφ{\displaystyle \varphi }- قابلة للتكامل إذا وفقط إذا{φن}{\displaystyle \{\varphi _{n}\}}منتظم. [ 2 ] : 242-243
  • لقد ثبت وجود أساس غير منتظم لـل2([0،1]،دت){\displaystyle L^{2}([0,1],dt)}[ 3 ]​

مواضيع أخرى

العلاقة بالتكاملات الأخرى

  • تكامل ستراتونوفيتش : ليكنX{\displaystyle X}كن مستمراFدبليو{\displaystyle \mathbf {F} ^{W}}إذا كان شبه مارتينجال متكيفًا وقابلًا للتكامل العالمي وفقًا لعملية أوجاوا بالنسبة لعملية وينر، فإن تكامل ستراتونوفيتش موجود ويتطابق مع تكامل أوجاوا. [ 5 ]
  • التكامل Skorokhod : تمت دراسة العلاقة بين التكامل Ogawa والتكامل Skorokhod في ( [ 6 ] ).

الأدب

  • أوغاوا، شيجيوشي (2017). حساب التفاضل والتكامل العشوائي غير السببي . طوكيو: سبرينغر. دوى : 10.1007/978-4-431-56576-5 . رقم ISBN 978-4-431-56574-1.

مراجع

  1. ^ أوجاوا ، شيجيوشي (1979). "Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même". سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس سير. أ . 288 . غوتييه فيلار: 359 – 362.
  2. 1 2 3 4 5 أوغاوا، شيغيوشي (2007). "إعادة النظر في حساب التفاضل والتكامل العشوائي غير السببي - حول ما يسمى بتكامل أوغاوا". التقدم في التحليل الحتمي والعشوائي : 238. doi : 10.1142/9789812770493_0016 . ISBN 978-981-270-550-1.
  3. ^ ماجر بيترو. مانسينو، ماريا الفيرا (1997). "مثال مضاد فيما يتعلق بشرط تكامل أوغاوا" . ندوة الاحتمالات في ستراسبورغ . 31 : 198 – 206 . تم الاسترجاع في 26 يونيو 2023 .
  4. ↑ أوغاوا، شيغيوشي (2016). "نظرية جيرسانوف غير السببية ونظرية BPE". سانخيا أ . 78 (2): 304-323 . doi : 10.1007/s13171-016-0087-x . S2CID 258705123 . 
  5. ↑ نوالارت، ديفيد؛ زكاي، موشيه (1989). "حول العلاقة بين تكاملي ستراتونوفيتش وأوجاوا" . حوليات الاحتمالات . 17 (4): 1536-1540 . doi : 10.1214/aop/1176991172 . hdl : 1808/17063 .
  6. ↑ نوالارت، ديفيد؛ زكاي، موشيه (1986). "التكاملات العشوائية المعممة وحساب ماليافين" . نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة . 73 (2): 255-280 . doi : 10.1007/BF00339940 . S2CID 120687698 .